Danh sách bài tập ĐSTT số 1 cho K65, khoa Toán-TinGiảng viên : Trần Đức Anh Liên hệ qua hòm thư: ducanh@hnue.edu.vn nếu bạn có câu hỏi, thắc mắc, hay trao đổi học tập.. Sau khi tính, so
Trang 1Danh sách bài tập ĐSTT số 1 cho K65, khoa Toán-Tin
Giảng viên : Trần Đức Anh Liên hệ qua hòm thư: ducanh@hnue.edu.vn nếu bạn có câu hỏi, thắc mắc, hay trao đổi học tập.
Tháng 9/2015
Đại cương về lý thuyết tập hợp
Tập hợp
Bài tập 1 Cho các tập hợp, đều là tập con của tập các số tự nhiên, A = {11 20}, B = {5 15},
C = {10, 12, 13, 22, 25, 26} Tính các tập sau
(a) A ∪ B, A ∩ B, B ∪ C, B ∩ C, A ∪ C, A ∩ C
(b) A\B, B\C, A\C
(c) A ∪ (B ∩ C), (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Sau khi tính, so sánh hai tập này
(d) A ∩ (B ∪ C), (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Sau khi tính, so sánh hai tập này
(e) A\(B ∩ C), (A\B) ∪ (A\C) Sau khi tính, so sánh hai tập này
(f) A\(B ∪ C), (A\B) ∩ (A\C) Sau khi tính, so sánh hai tập này
Bài tập 2 Viết các biểu thức tương đương sau
(a) x ∈ A ∩ B ⇔ ?
(b) x 6∈ A ∩ B ⇔ ?
(c) x ∈ A ∪ B ⇔ ?
(d) x 6∈ A ∪ B ⇔ ?
(e) x ∈ A\B ⇔ ?
(f) x 6∈ A\B ⇔ ?
Bài tập 3 Cho A = {1, 2, 3} và B = {4, 5} Liệt kê các phần tử của tập hợp A × B và chỉ
ra số phần tử của tập hợp này
Bài tập 4 Cho tập hợp A = {1, 2} và B = {3, 4, 5} Liệt kê tất cả các tập con của A và B Hỏi A và B mỗi tập có bao nhiêu tập con?
Bài tập 5 Cho E là một tập hợp Cho A, B, C là các tập con của E Chứng minh các khẳng định sau:
(a) Nếu A ∩ B = A ∪ B thì A = B
(b) Nếu A ∩ B = A ∩ C và A ∪ B = A ∪ C thì B = C
1
Trang 2Bài tập 6 Cho A, B là các tập con của tập X nào đó Chứng minh rằng X − (A ∪ B) = (X − A) ∩ (X − B) và X − (A ∩ B) = (X − A) ∪ (X − B)
Bài tập 7 Từ bài tập 6, chứng minh rằng: Đẳng thức này
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
mà đúng thì sẽ kéo theo đẳng thức sau
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
đúng với mọi tập A, B, C
Bài tập 8 Cho F và G là các tập con của tập E nào đó Chứng minh các khẳng định sau
(a) F ⊂ G khi và chỉ khi F ∪ G = G
(b) F ⊂ G khi và chỉ khi (E − F ) ∪ G = E
(c) F ⊂ G khi và chỉ khi F ∩ G = F
(d) F ⊂ G khi và chỉ khi F ∩ (E − G) = ∅
Ánh xạ
Bài tập 9 Xét các ánh xạ f, g : R → R như sau: f (x) = 3x + 1 và g(x) = x2 − 1 Tính cụ thể ánh xạ f ◦ g và g ◦ f Hỏi rằng f ◦ g = g ◦ f ?
Bài tập 10 Xét ánh xạ f : R → R định nghĩa bởi f (x) = x2 với mọi x ∈ R
(a) Xác định các tập hợp sau: f ([−3, −1]), f ([−2, 5]), f ([−3, −1] ∪ [−2, 5]) và f ([−3, −1] ∩ [−2, 5]) So sánh các tập vừa tìm được Nghĩa là tập nào là tập con của tập nào, hoặc các mối quan hệ tập hợp trong đó có các phép toán hợp và giao
(b) Câu hỏi tương tự câu trên với các tập sau f−1((−∞, 2]), f−1([1, +∞)), f−1((−∞, 2] ∪ [1, +∞)) và f−1((−∞, 2] ∩ [1, +∞))
Bài tập 11 Cho a < b là hai số thực nào đó Ký hiệu (a, b) là tập tất cả các số thực x thỏa mãn a < x < b Chứng minh rằng ánh xạ f : (a, b) → R+ định nghĩa bởi f (x) = x − a
b − x là một song ánh Trong đó R+ là tập tất cả các số thực dương
Bài tập 12 Chứng minh rằng ánh xạ exp : R → R+ được định nghĩa bởi exp(x) = ex là một song ánh
Bài tập 13 Chỉ ra một song ánh từ N vào Z và một song ánh từ N∗× N∗
vào N∗ Ở đây, N∗
là tập tất cả các số nguyên dương
Gợi ý Với song ánh từ N → Z, ta chia tập số tự nhiên thành hai tập con: một tập gồm các
số chẵn, một tập gồm các số lẻ, rồi song ánh mỗi tập đó vào một tập con thích hợp của tập các số nguyên Z Với song ánh N∗× N∗
→ N∗ thì câu chuyện hơi mẹo mực, bạn nào làm được thì tốt, không làm được là bình thường
Bài tập 14 Chỉ ra một song ánh giữa đường tròn và hình vuông (hình vuông chỉ tính là gồm
4 cạnh mà thôi, không tính miền trong) trong mặt phẳng thông thường học ở phổ thông
2