Bồi dưỡng học sinh lớp 9 phần hệ thức vi ét

Đặc biệt đại số được rất nhiều em yêu thích, tuy nhiên yêuthích là một chuyện, còn hiểu rõ bản chất kiến thức để vận dụng một cách bàibản đòi hỏi các em phải có một quá trình rèn kỹ năng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ THANH HOÁ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

BỒI DƯỠNG HỌC SINH LỚP 9

MỤC LỤC

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lí do chọn đề tài

II Mục đích của đề tài

III Đối tượng nghiên cứu

IV Phương pháp nghiên cứu

A MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Với quan điểm xem giáo dục là quốc sách hàng đầu, Đảng và nhà nước

ta đã không ngừng đầu tư nghiên cứu việc đổi mới giáo dục phù hợp với tinhthần đất nước, bắt nhịp chung với xu hướng của thời đại Trên tinh thần đó, mỗingười giáo viên chúng ta luôn không ngừng nỗ lực, tu dưỡng rèn luyện vàtruyền đạt với học sinh khối lượng kiến thức nhiều nhất, tổng quát nhất trongnhững khoảng thời gian ít nhất để đáp ứng được nhu cầu giáo dục của đất nước Đối với môn toán trong nhà trường đại số là một phần rất quan trọngtrong quá trình học Đặc biệt đại số được rất nhiều em yêu thích, tuy nhiên yêuthích là một chuyện, còn hiểu rõ bản chất kiến thức để vận dụng một cách bàibản đòi hỏi các em phải có một quá trình rèn kỹ năng, có thời gian tìm tòi đểtìm ra bản chất của vấn đề, để thấy cái lạ trong bài toán là cái quen thuộc trongphương pháp giải Đặc biệt trong chương trình đổi mới về phương pháp dạy họcnhằm dào tạo con người có năng lực hoạt động trí tuệ tốt.Đổi mới phương phápkhông chỉ trong giờ giảng dạy lý thuyết mà ngay cả trong giờ luyện tập Luyệntập ngoài việc rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng suy luận cần có bài tập mở,được sắp xếp có hệ thống giúp học sinh củng cố và vận dụng kiến thức mộtcách năng động và sáng tạo

Trong chương trình đại số 9 “Hệ thức Vi-ét” là một đơn vị kiến thức

cơ bản và quan trọng, giúp các em lĩnh hội đầy đủ kiến thức về phương trìnhbậc hai, phương trình quy về bậc hai, giải bài toán bằng cách lập phươngtrình… Bên cạnh đó “Hệ thức Vi-ét” còn được áp dụng vào chứng minh bấtđẳng thức, tìm cực trị giúp các em phát triển năng lực tư duy, óc sáng tạo tronggiải quyết các bài toán “lạ mà quen”

II MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI

Vì vậy làm thế nào để có thể giúp học sinh hiểu rõ hơn bản chất của cácloại toán, vận dụng kiến thức nào để giải hay cụ thể hơn là phương pháp giảitừng bài toán như thế nào? Giải quyết được vấn đề đó không phải dễ khi màphân phối trương trình môn toán THCS không dành một tiết nào cho giáo viêndạy một cách hệ thống phương pháp giải các loại toán cụ thể mà chúng chỉ xuấthiện đơn lẻ

Để giúp các em khắc phục những khó khăn trên, tôi quyết định đi sâu

nghiên cứu và tìm hiểu về đề tài “Bồi dưỡng học sinh lớp 9 phần hệ thức Vi-ét”.

Đồng thời thông qua đó giúp các em từ một bài toán này có thể biết nhiều bàitoán khác và phát triển thành nhiều loại với nhiều khía cạnh khác nhau

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

- Học sinh lớp 9 trường THCS Điện Biên

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu qua đọc tài liệu: Phương pháp dạy học môn toán trường

trung học cơ sở, giáo trình thực hành và giải toán và các tài liệu bồi dưỡng họcsinh giỏi của lớp 9 của nhiều tác giả

- Tham khảo ý kiến của ban giám hiệu, của đồng nghiệp, của học sinh khối

9 trong nhà trường

B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I CƠ SỞ LÝ LUẬN:

Phương trình bậc hai là một phần rất quan trọng trong chương trìnhTHCS và những bậc học trên Phương trình được thể hiện xuyên suốt trong quátrình học tập của mỗi con người Ngay từ chương trình tiểu học các em đã đượclàm quen với phương trình thông qua các bài “tìm x” đơn giản Đến chươngtrình lớp 8, lần đầu tiên các em chính thức đến với phương trình, từ phươngtrình bậc nhất một ẩn đến một số phương trình khác mà tên gọi của chúng mangtính phù hợp với chương trình và trình độ học sinh như: phương trình tích,phương trình có chứa ẩn ở mẫu, phương trình vô tỉ, phương trình phân thức,phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình bậc hai một ẩn Một sốloại phương trình có phương pháp giải riêng, tuy nhiên một số loại phươngtrình đòi hỏi người học phải có kinh nghiệm, kiến thức mới có thể giải được.Các phương trình thường gây khó khăn cho người học là các phương trìnhkhông mẫu mực Việc giải các phương trình này có tác dụng không nhỏ trongviệc rèn luyện tư duy toán học và thường là sự thử thách đối với học sinh trongcác kì thi học sinh giỏi, thi vào cầp ba, thi vào lớp chọn, lớp chuyên Cácphương trình bậc hai khi nói đến quan hệ các nghiệm của phương trình là ta nóingay đến hệ thức Vi- ét Định lý Vi-ét là một phần kiến thức khó đối với các

em, đặc biệt là khi vận dụng vào giải quyết các bài tập

Việc vận dụng ngay những lý thuyết đã được học trong SGK vào giải bàitập còn khó khăn làm sao các em có khả năng sáng tạo khi vận dụng vào cácbài tập có nội dung mở rộng , nâng cao

Và khi áp dụng hệ thức Vi- ét vào giải thì bài toán trở nên đơn giản hơnrất nhiều Nhưng ở trường THCS chúng ta hiện nay, việc áp dụng hệ thức Vi-étvào giải còn có nhiều hạn chế và là vấn đề khó đối với cả giáo viên và học sinh

II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Sở dĩ việc áp dụng hệ thức Vi-ét vào giải phương trình là vấn đề khókhăn trong dạy và học vì:

Phần này thời gian học trong lớp đang còn ít, các dạng bài liên quan thìnhiều, học sinh chưa nắm vững kiến thức và khả năng vận dụng chưa thànhthạo, học sinh chưa nắm chắc kiến thức vào giải còn rất hạn chế; đối với họcsinh giỏi cũng chỉ biết vài dạng đơn giản Giáo viên dạy chưa có tài liệu nàochuyên sâu về vấn đề này để có một cái nhìn từ nhiều phía, từ đó đề ra phươngpháp dạy học tốt trong các giờ chính khoá cũng như trong quá trình ôn tập

Từ thực trạng trên để có hiệu quả tốt hơn trong việc dạy và học của giáo

viên và học sinh, tôi mạnh dạn đưa ra đề nghị “Bồi dưỡng học sinh lớp 9 phần

hệ thức Vi-ét”.

* Trường THCS Điện Biên có 108 học sinh lớp 9

Phân chia thành các nhóm tiếp thu kiến thức như sau:

+) Nhóm những em tiếp thu nhanh, giải quyết vấn đề nhanh, linh hoạt: 25%.+) Nhóm HS biết vận dụng trực tiếp 35%

+) Nhóm HS chưa biết vận dụng trực tiếp 40%

(Phân chia các nhóm tiếp thu về bộ môn toán)

- HS chưa biết lập luận trên cơ sở khoa học chặt chẽ và biết cách tự học,

tự giải quyết vấn đề chiếm tới 85%

- Về tài liệu: SGK, SGV đầy đủ, sách nâng cao, sách tham khảo của học sinh và giáo viên tự mua sắm

III NHỮNG GIẢI PHÁP

1 Lý thuyết:

* Khái niệm và các kiến thức liên quan:

a) Hệ thức Vi-ét

Phương trình ax2 + bx + c (a ≠ 0) (1) có biệt thức ∆ = b2 – 4ac

Nếu ∆ ≥ 0 phương trình có 2 nghiệm:

x1 =

2

b a

− + ∆ x

2 =

2

b a

c) Tìm hai số khi biết tổng và tích : u và v là hai số cần tìm có u+v = S; u.v =

P ⇒ u; v là hai nghiệm của phương trình : x2- Sx+P = 0

d) Phương trình : ax2 + bx + c (a ≠0) :

Có : S = x1+x2 = b

a

− ; P = x1x2 = c

a

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu khi: ∆ ≥ 0 và P > 0

Phương trình (1) có 2 nghiệm dương khi : ∆ ≥ 0; P > 0 S > 0.Phương trình (1) có 2 nghiệm âm khi : ∆ ≥ 0; P > 0 S < 0.Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi : P < 0

2

−

d) Có a-b+c = 2 – 7 + 5 = 0 x1 = -1 x2 = - 5

2Bài tập 2: Nhẩm nghiệm các phương trình sau:

2.2 Dạng 2: Dấu các nghiệm của phương trình.

Bài tập 1: Không giải phương trình, xét dấu các nghiệm của phương trình.a) 7x2- 13x + 2 = 0 b) 9x2- 12x + 4 = 0 c) 4x2+x - 1= 0

4< 0 nên phương trình có 2 nghiệm trái dấu

Bài tập 2: Cho phương trình x2 − 10x m− 2 = 0 (1)

Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trịcủa m≠0 Nghiệm mang dấu nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ?

a) Giải phương trình trên với m = 2

b) Chứng minh rằng phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu với mọi mc) Gọi 2 nghiệm của phương trình đã cho là x1, x2 Tìm m để biểu thức:

Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu ∀m

c) Gọi 2 nghiệm của phương trình đã cho là x1, x2

Từ kết quả phần b có x1, x2 ≠ 0 , biểu thức A được xác định với mọi x1,

x2 tính theo m và 0 ; 0

3

1 2 3

2

a a a

m m

m

⇔ − − =

⇔ − =

⇔ =

* Kết luận : Với m = 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là - 2

2.3 Dạng 3: Loại toán tính giá trị biểu thức chứa tổng, tích 2 nghiệm

Bài tập 1: Cho phương trình : x2−(m−1)x m− 2+ − =m 2 0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m Gọi 2 nghiệm là x1 và x2 tìm giá trị của m để 2 2

1 2

x +x đạt giá trị nhỏ nhất.Giải:

= m2 −2m+ +1 2m2 −2m+ =4 3m2 −4m+5

x +x = khi m =2

3

Bài tập 2: Cho phương trình 2x2 −(m+2)x− +7 m2 =0

Tìm giá trị dương của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm

âm có giá trị tuyệt đối bằng nghịch đảo của nghiệm kia

Giải:

Ta có a = 2 > 0

Phưong trình có 2 nghiệm trái dấu ⇔ − + 7 m2 < ⇔ − 0 7 < <m 7

Với điều kiện này giả sử x1< 0 ,x2 > 0 theo đề ra ta có

và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng ngịch đảo của nghiệm kia

Bài tập 3: Xét phương trình : x4 −2(m2 + +2) 5m2 + =3 0 (1) với m là tham số

1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình (1) luôn có 4nghiệm

nên S > 0 ⇒ y y1, 2 cùng dấu dương (thoả mãn ĐK y ≥ 0)

Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu dương nên phươngtrình (1) có 4 nghiệm phân biệt đối nhau từng đôi một

m M

m

+

=

+

Bài tập 4: Cho phương trình x2 − 2( m + 1) x m + = 0 (m là tham số)

a) Chứng minh : Phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm với mọi mb) Trong trường hợp m > 0 và x x1, 2 là các nghiệm của phương trình nói

trên hãy tìm GTLN của biểu thức

m 2 ) 2 3 ( 2 2 ) 6 2

( + 2 − − + +

A =

m

m m

m

m 8 4 2 3 ( 2 2 ) 6

4 2 + + − − + +

2 11

21

m

m m

m m m

m m

⇔ =

⇔ = ±

Với m = 1 thoả mãn điều kiện m > 0

m = -1 không thoả mãn điều kiện m > 0

4

−

≥Với điều kiện trên theo hệ thức Vi ét có

m m

4

−

≥ )Vậy với m = 1 thì phương trình (1) có 2 nghiệm x x1 , 2 thoả mãn

2 2

n x n

+

= − + là phân số ∈QKết luận: Với m là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì phương trình cónghiệm số hữu tỉ

2.4 Dạng 4: Loại toán tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Bài tập 1: Tìm hai số x y biết

Bài tập 2: Tìm hai số x y biết x2 + y2 = 25 và xy = 12

Giải:

Ta có x2 + y2 = 25 <=> (x + y )2 - 2xy = 25 <=> (x + y )2- 2.12 = 25 (x + y )2 = 49 <=> x +y = ± 7

Ta có x và y là nghiệm của phương trình x2 +7x +12 = 0

Giải phương trình ta được x3 = -3 ; x4= - 4

các cặp số x, y cần tìm là (4 ; 3) ; (3 ; 4) ;(- 4 ; - 3) ; ( -3 ; -4)

2.5 Dạng 5: Loại toán tìm biểu thức liên hệ giữa tổng tích 2 nghiệm không phụ thuộc tham số

Bài tập 1: Cho phương trình x2- ax + a - 1 = 0 có 2 nghiệm x x1, 2

a) Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức

2 và 1

4 là 2 nghiệm của phương trình: x2 - 3

4x + 1

8 = 0 ⇔ 8x2

- 6x + 1 = 0b) ( 2 + 2) + (2 - 2) = 4 ( 2 + 2) (2 - 2) = 6

(2 + 2) và (2 - 2) là 2 nghiệm của phương trình x2 – 4x + 6 = 0

Bài tập 2: Gọi p và q là 2 nghệm của phương trình 3x2 + 7x + 4 = 0

Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc haivới hệ số bằng số

Bài tập 2: Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k , phương trình

a) 7 x2+ kx -23 = 0 có 2 nghiệm trái dấu

b) 12 x2+70x + k2+1 = 0 không thể có 2 nghiệm trái dấu

Bài tập 4: Cho phương trình x2- 2m + m - 4 = 0

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau Tính 2 nghiệm đó

b) Định m để phương trình có 2 nghiệm thực dương

Bài tập 5:

Cho phương trình x2 - mx +1 = 0 ( m là tham số )

a) Giải phương trình trên khi m = 5

b) Với m = 5 , giả sử phương trình đã cho khi đó có 2 nghiệm là x x1, 2 Không giải phương trình , hãy tính giá trị của biểu thức

x x x x

=

+Hướng dẫn giải:

a) Với m = 5 phương trình trở thành x2-5x +1 = 0

∆ = 21 , phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1 (5 21)

2

x = + ,

2

5 21 2

x = −c) Với m = 5 , ta có phương trình bậc hai : x2 − 5x+ = 1 0

b) Gọi x x1, 2 là nghiệm của phương trình , chứng minh rằng

1 2 1 2

88

x + +x x x ≤

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình (1) có nghiệm <=> ∆ =, (m−1)2−(2m2 −3m+ ≥1) 0 ⇔ m2 − ≤ ⇔m 0 m m( − ≤ ⇔ ≥1) 0 m 0 hoặc m − ≤ 1 0

b) Gọi 2 nghiệm là x1 , x2 , Tìm GTNN của biểu thức

004

m m

; 0

1 2 3

Khi đó x1 +x2 =2m >0 Suy ra phương trình có 2 nghiệm dương

Bài tập 10: Xét phương trình mx2 +(2m−1)x m+ − =2 0 vói m là tham số

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm là x1, x2thoả mãn

 

Bài tập 12: Cho phương trình : x2 + px +1 = 0 có hai nghiệm là a và b,phương trình : x2 + qx +2 = 0 có hai nghiệm là b và c

Chứng minh hệ thức : (b-a)(b-c) =pq - 6

C- KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1 Kết luận:

- Với tinh thần tham gia hưởng ứng tốt phong trào dạy tốt, học tốt, trênđây chỉ là những gợi ý các phương pháp dạy các bài toán phân tích đa thứcthành nhân tử và một số phương pháp thông dụng để giải các bài toán

- Khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy, đại đa số học sinh đều lúngtúng khi làm bài tập, chỉ dừng lại ở những bài tập cơ bản và dễ, các bài toánphải ở sẵn dạng quen thuộc đã làm thì học sinh theo dạng đó mới làm được,chưa có những suy luận logic, phân tích bài toán hợp lý để giải các bài toán mà

nó chưa có sẵn dạng quen thuộc Nếu có bài tập nâng cao thì làm xong bài nàochỉ biết cách làm bài đó không biết cách suy luận để chuyển về những bài toán

về những dạng đã làm, đã giải, không biết mở rộng những bài toán đã làm

- Sau khi áp dụng kinh nghiệm này vào giảng dạy, tôi thấy:

+ Học sinh vận dụng nhanh kiến thức vào giải toán Hứng thú học hơnđối với môn học Thấy được các bài toán về phương trình bậc hai vận dụng hệthức Vi ét đơn giản hơn, dễ học hơn Biết vận dụng kiến thức vào giải được cácphương trình bậc cao bằng cách đưa về phương trình tích, tìm nghiệm nguyêncủa phương trình, làm được các bài toán về tìm cực trị Kết quả đạt được năm

2016 (chất lượng đại trà) như sau:

năm

Giữa kì1

Cuối kì1

Giữa kì2

Cuối kì2

+ Học sinh giải các bài toán từ cơ bản mở rộng lên những bài toán nângcao chính xác và nhanh hơn Trước khi làm bài, học sinh đã có thói quen đọc kĩ

đề, nhận xét được đặc điểm của từng bài để tìm được cách làm thích hợp

+ Tạo điều kiện cho học sinh khả năng tư duy thành thói quen, suy nghĩ,phân tích nội dung và yêu cầu của bài toán một cách cẩn thận, chính xác trướckhi giải một bài toán học nói riêng và các bài toán nói chung

+ Tạo nếp suy nghĩ, nếp khai thác chiều sâu, hay mở rộng bài toán

+ Tạo nếp tự học, độc lập suy nghĩ trong đại đa số học sinh, đồng thời có

ý thức tham khảo ý kiến, cách làm hay của các em học sinh khác để từ đó rút ranhững lời giải hay trong quá trình giải toán

+ Giúp học sinh say mê, hứng thú trong quá trình học tập bộ môn Toánhơn nói riêng cũng như các bộ môn khoa học khác nói chung.

2 Kiến nghị:

- Với việc đổi mới phương pháp dạy học theo chiều hướng tích cực, pháthuy tính độc lập của học sinh không thể trong chốc lát mà là cả một quá trìnhlâu dài từng bước từ thấp đến cao Mục tiêu cuối cùng là hướng dẫn cho họcsinh nắm được nội dung kiến thức của từng tiết học, của từng chương, của từngcấp học để học sinh giải các bài toán một cách chặt chẽ, có đủ cơ sở lý luậntrong lời giải của mình, học toán và vận dụng toán học vào các bộ môn kháccũng như vào thực tế

Để việc dạy học đạt kết quả cao thì phương pháp dạy học là vấn đề

mà mọi người giáo viên chúng ta còn trăn trở, suy nghĩ và trau dồi Việc traudồi những kinh nghiệm trong quá trình dạy học của mọi giáo viên là rất cầnthiết, đem lại rất nhiều lợi ích thiết thực trong vệc dạy và học Vì vậy tôi mongrằng những kinh nghiệm hay, những sáng kiến có chất lượng được chọn lọc quamỗi năm được tiếp tục đưa vào thực tiễn để nâng cao chất lượng học sinh đạitrà và bồi dưỡng học sinh khá giỏi

Do trình độ và kinh nghiệm giảng dạy có hạn, tôi rất mong được sự đónggóp ý kiến và các cấp chuyên môn để cho sáng kiến kinh nghiệm được hoànchỉnh hơn

Tôi xin trân trọng cảm ơn !

XÁC NHẬN CỦA THỦ

TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hoá, ngày 05 tháng 4 năm 2016

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

Người viết

Lê Thị Thu Hiền