CHUYÊN ĐỀ 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNHA - Lý thuyết: Các phương pháp giải 1.. Giải các hệ phương trình a... Hệ đối xứng loại 2 - Nhận dạng: Cũng như loại I, loại II cũng “đối xứng” nhưng là đ
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A - Lý thuyết: Các phương pháp giải
1 Phương pháp thế
- B1: Từ 1 pt nào đó ta rút 1 ẩn và biểu diễn theo ẩn còn lại ( thường rút ẩn có hệ số nhỏ nhất)
- B2: Thế biều thức đó vào pt còn lại để được 1 pt 1 ẩn
- B3: Giải Pt thu được
- B4: Thay ẩn vừa tìm được vào 1 trong các pt để tìm ẩn còn lại và kết luận
2 PP cộng đại số
- B1: Nhân cả 2 vế của các pt với các số thích hợp ( nếu cần) để được hệ số của cùng 1 ẩn
ở 2 pt bằng nhau hoặc đối nhau
- B2: Cộng (nếu 2 hệ số đối nhau) hoặc trừ(nếu 2 hệ số bằng nhau) từng vế của 2 pt để được 1 pt 1 ẩn
- B3: Giải Pt thu được
- B4: Thay ẩn vừa tìm được vào 1 trong các pt để tìm ẩn còn lại và kết luận
3 Đặt ẩn phụ: Khi ở các pt có những nhóm giống nhau thì ta chọn làm ẩn phụ
4 Dùng BĐT: Dùng BĐT để lập luận trường hợp xảy ra dấu bằng
a + + +a a ≥n a a a ( Dấu bằng xảy ra khi các số
bằng nhau)
(a x +a x + + a x ) ≤(a + + +a a ).(x +x + + x ) Dấu bằng xảy ra khi 2 bộ số tương ứng tỉ lệ
B – Bài tập: (Riêng hệ vô tỷ ta xét sau cùng với PT vô tỷ)
I- Dạng 1 Hệ bậc nhất.
Bài 1 Giải các hệ phương trình
a
= +
=
+
29 4
7
11 3
y
x
y
x
b
−
=
−
= +
2 3 2
1 4 3
y x
y x
c
= +
−
= + +
= + +
5 2
24 2
3
11
z y x
z y x
z y x
d
x y z 1
2x 3y 2z 4
x 2y 2z 5
+ + =
+ − =
− + + =
e
= + +
=
− +
= +
−
2 2 3 3
10 5
2
9 3 2
z y x
z y x
z y x
f
= +
= +
= + 28 22 16
z y
z x
y x
g
= +
−
=
− +
xy y
x
xy y
x
) 1 )(
10
(
) 1 )(
20
(
h
−
= + +
−
+
= +
−
7
5 6 3
1
2 4
27 5
3
5 2
x y y x
x y
x y
i
=
−
= +
2 2 6
2 2 3
5
y x
y x
Bài 2: Giải các hệ phương trình
a
x y z 128
+
+
+
+
+ + =
b.:
x 2y 5
− =
c
=
−
=
−
=
−
1 1
1 1
1 1
x z z y
y x
d
x y z 1
y z x 5
x z y 3
+ − =
+ − =
+ − =
e
= + +
= + +
= + +
= + +
20 18 16 15
t z y
t z x
t y x
z y x
f
= +
−
=
=
16 6 5 3
4 5 3
z y x
z y x
Trang 2Bài 3: GHPT
a.
= +
= +
1 15 8
12
1 1 1
y x
y x
b
= +
− +
= +
+ +
1 2
3 2
4
3 2
1 2
2
x y y x
x y y x
c
= +
− +
= +
− +
9 4
5 1 2
4 4
2 1 3
y x
x
y x
x
d
−
=
−
= +
6 2
3
13 2 2
2 2
y x
y x
e.
−
=
−
= +
11 3
2
16 2
3
y x
y x
f.
= +
= +
10 3
18 4
y x
y x
g.
−
= +
−
−
= + +
−
7 1 2 ) 2 (
3
0 1 )
2 (
2
2
2
y x
x
y x x
h
= + + +
+
−
= +
−
−
13 4 4 5
4 8 4 2
7 2 3 1 5
2
x
y x
HD: Đặt ẩn phụ
II - Dạng 2: Hệ bậc cao
1 Hệ đối xứng loại 1
-Nhận dạng: Là hệ pt mà nếu mỗi cặp số (x; y) là 1 nghiệm thì (y; x) cũng là nghiệm ( vai
trò x và y là như nhau ở các PT)
- PP giải: Đặt x+y = S; xy = P Giải HPT với S và P sau đó tìm x, y nhờ PT:
X2 – S.X + P =0
Chú ý: Với hệ giả đối xứng loại 1 thì đặt x-y = S; -xy = P.
Khi đó nghiệm của Pt là x và -y
Bài 4: GHPT
a
x y - 2x - 2y = 6
x y xy 5
+
+ − =
c
−
= + +
−
= + +
35 3
19 2
) ( 5
xy y x
y y x
d
−
= +
−
−
= +
+
) ( 7
) ( 19 2 2
2 2
2
y x y
xy
x
y x y
xy
x
e
= + +
= +
280 ) )(
(
4
3 3 2
x
y x
f
x y xy 5
− + =
g
3x xy 3y 6
2
2 Hệ đối xứng loại 2
- Nhận dạng: Cũng như loại I, loại II cũng “đối xứng” nhưng là đối xứng giữa 2 phương
trình chứ không không phải là đối xứng trong từng phương trình như kiểu I
+ Một cách nhận dạng khác nữa là cho x=y thì 2 phương trình của hệ như nhau Hay nói cách khác x=y chính là nghiệm của hệ Đây chính là đặc điểm khai thác của hệ này
- Phương pháp: Thông thường, ta trừ theo vế ta thu được nghiệm x=y, và 1 số nghiệm
khác Sau đó thay lại tìm ra nghiệm (x;y)
*Chú ý: Hệ giả đx thì x ở PT 1 được thay bằng –y ở PT 2 và ngược lại
Bài 5: GHPT
Trang 3a
2
2
b.
+
−
=
+
−
=
5 4 2
5 4 2
2
2
x x y
y y x
c
+
=
+
=
x x y
y y x
1 2
1 2
2
2
d
=
−
=
−
4 / 1
1
4 / 1
1
2
2
x
y
y
x
e
−
=
−
= 2
2
1
|
|
1
|
|
x y
y x
f
+
=
+
=
x y y
y x x
8 3
8 3 3 3
g
+
−
=
+
−
=
2
2
2
2
1
1
1
1
x
x
y
y
y
x
h
−
=
−
= 2
2
1 2 1 2
x
x y
y
y x
i
2
2
(giả đx ) k
3 Hệ đẳng cấp
- Nhận dạng: Là HPT mà tất cả các hạng tử chứa ẩn đều có bậc bằng nhau
- Phương pháp: Đặt x = ty (hoặc y = tx), thế vào 2 pt sau dó chia từng vế ta được 1 pt ẩn t
Giải pt tìm t, thay vào tìm x và y
Bài 6: GHPT
a
+
=
−
=
−
2
2
2
8
4
x
xy
y xy
b
= +
−
=
− +
4 3 2
3 2 4
2 2
2 2
y xy x
y xy x
c
= +
−
= +
−
5 5 4
9 3 2
2 2
2 2
y xy x
y xy x
4 Một số dạng khác
Bài 7: GHPT
a
2
x xy y
x xy y
( HD: Phân tích PT 1 thành nhân tử rồi thế x vào pt 2)
b
= +
+
+ +
= +
+
2004 2003
2003
2003
2 2
2
3
z y
x
zx yz xy z y
x
(HD: Từ PT 1 dùng BĐT phụ để suy ra x=y=z)
c
+
=
+
=
+
4 4 9
9
5
y x y
x
y
x
(HD: Nhân vế trái của PT 1 với vế phải của PT 2 và ngược lại)
d
+
=
+
=
+
2 2 5
5
3
y x y
x
y
x
;(HD:Nhân chéo vế)
e
+
=
+
=
1 2
1 2
3
3
x
y
y
x
(HD: Hệ đx loại 2 - trừ từng vế)
f
x xy y 1
y yz z 4
z zx x 9
+ + =
+ + =
trong đó x y z, , >0 (HD: cộng 1 vào 2 vế, PTTNT rồi nhân từng vế cả 3 pt)
Trang 4
+ +
=
+
+ +
=
+
6
5
2 2
3
3
2 2
xy y x
y
x
y y x
x
(HD: Đặt: x-y=a; x+y =b sau đó sử dụng pp thế)
h
= +
+
= + +
5
17 3 3
3
3
y
xy
x
y y
x
x
(HD :Đặt x+y = a; xy=b sau đó sử dụng pp thế)
Bài 8: Giải các hệ phương trình (PP dùng BĐT)
a
= +
+
=
+
+
xyz z
y
x
z
y
x
4 4
4
1
( HD: Dùng BĐT phụ a2 +b2 +c2 ≥ab+bc+ca(*)cho PT (2) )
1999 1999 2000 2000
x y 1(1)
b
(HD: Tìm ĐK, xét x>y và y>x sau đó suy ra x = y)
c
−
=
− +
−
=
− +
y x
x
y x x
6 24 32
3 32
4
2 4
Giải:
ĐK: 0≤ x≤32
Hệ đã cho tương đương với
−
=
− +
+
−
=
− + +
− +
3 32
21 6 )
32 (
) 32 (
2 4
2 4
4
y x x
y y x x
x x
Theo bất đẳng thức BunhiaCốp xki ta có
64 ) 32 )(
1 1 ( ) 32 ( x + −x 2 ≤ 2 + 2 x+ −x =
8
32− ≤ +
(4 x +4 32−x)4 ≤[2( x+ 32−x)]2 ≤256
⇒ 4 x+4 32−x ≤4
Suy ra ( x+ 32−x)+(4 x +4 32−x)≤12
Mặt khác y2 −6y+21=(y−3)2 +12≥12
Đẳng thức xẩy ra khi x= 16 và y=3 (t/m)
Vậy hệ đã có nghiệm là (x;y) = (16;3)
III- Dạng 3 Giải và biện luận hệ phương trình
Phương pháp giải:
• Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình bậc nhất đối với x
• Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b (1)
• Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ
Trang 5+ Nếu a=0: (1) trở thành 0x = b
- Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm
- Nếu b≠0 thì hệ vô nghiệm
+ Nếu a ≠0 thì (1) ⇒ x =
a
b
, Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ phương trình
có nghiệm duy nhất
Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình:
+
=
−
=
−
) 2 ( 6 4
) 1 ( 2
m my x
m y mx
Từ (1) ⇒ y = mx – 2m, thay vào (2) ta được:
4x – m(mx – 2m) = m + 6 ⇔(m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3)
+) Nếu m2 – 4 ≠ 0 hay m≠ ±2 thì x =
2
3 2 4
) 2 )(
3 2 (
+
=
−
− +
m
m m
m m
Khi đó y = -
2 +
m
m
Hệ có nghiệm duy nhất: (
2
3 2 +
+
m
m
;-2 +
m
m
)
+) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4
Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x ∈ R
+) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 Hệ vô nghiệm
Vậy: - Nếu m≠ ±2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = (
2
3 2 +
+
m
m
;-2 +
m
m
)
- Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x ∈ R
- Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm
Bài 9: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
+
=
+
−
=
+
1
1 3
m
my
x
m y
mx
b)
= +
−
= + 4
10 4
my x
m y
mx
)
+
=
−
−
=
−
−
5 2
1 3 )
1 (
m y x
m my x m
IV - Dạng 4: Xác định tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
*Phương pháp giải:
• Giải hệ phương trình theo tham số
• Viết x, y của hệ về dạng: n + f (m k ) với n, k nguyên
• Tìm m nguyên để f(m) là ước của k
Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
−
= +
+
= +
1 2 2
1 2
m my x
m y mx
HD Giải:
−
=
+
+
=
+
1 2
2
1 2
m
my
x
m
y
mx
⇔
−
= +
+
= +
m m y m mx
m y mx
2
2
2 2 4 2
⇔
−
=
+
+
−
=
−
−
=
−
1 2 2
) 1 2 )(
2 ( 2 3 2 )
4
m my
x
m m
m m y
m
để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4 ≠0 hay m ≠ ±2
Vậy với m ≠ ±2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất
+
−
=
+
−
=
+
−
= +
+
=
−
+
−
=
2
3 1
2
1
2
3 2 2
1 2 4
) 1 2 )(
2
(
2
m m
m
x
m m
m m
m m
y
Để x, y là những số nguyên thì m + 2 ∈ Ư(3) = {1;−1;3;−3}
Trang 6Vậy: m + 2 = ±1, ±3 => m = -1; -3; 1; -5
Bài Tập:
Bài 10:
Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
+
=
−
−
= + +
m m y x m
m y x m
2
1 2
) 1 (
2 2
Bài 11
a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; -1)
−
= + +
−
= +
−
3 2 3 ) 2 (
) 1 ( 2
m ny x m
n m y m mx
(HD: Thay x = 2 ; y = -1 vào hệ ta được hệ phương trình với ẩn m, n)
b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là
x = 1 và x = -2
(HD: thay x = 1 và x = -2 vào phương trình ta được hệ phương trình với ẩn a, b c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3 (HD:Dùng định lí bơzu cho f(x))
d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + 4 Xác định các hệ số a và b biết rằng f(2) = 6 , f(-1) = 0
Bài 12:
Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2)
Bài 13:
Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy
Bài 14 :Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy
a) 2x – y = m ; x - y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – 1 b) mx + y = m2 + 1 ; (m +2)x – (3m + 5)y = m – 5 ; (2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – 2
Bài 15:
Cho hệ phương trình:
= +
= + 8
9 4
my x
y mx
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
2x + y +
4
38
2 −
m = 3
HD Giải:
- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m ≠±2
- Giải hệ phương trình theo m
=
+
=
+
8
9
4
my
x
y
mx
⇔
= +
= +
m y m mx
y mx
8
9 4
= +
−
=
− 8
9 8 ) 4 ( 2
my x
m y
−
−
=
−
−
=
4
32 9 4
9 8
2
2
m
m x m
m y
- Thay x =
4
32 9
2 −
−
m
m
; y =
4
9 8
2 −
−
m
m
vào hệ thức đã cho ta được:
2.
4
32 9
2 −
−
m
m
+
4
9 8
2 −
−
m
m
+
4
38
2 −
m = 3
=> 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m2 – 12
⇔ 3m2 – 26m + 23 = 0
⇔m1 = 1 ; m2 =
3
23 (cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện) Vậy m = 1 ; m =
3 23