Tài liệu bồi dưỡng học sinh lớp 9 môn toán sưu tầm (1)

Kẻ đường thẳng song song với cạnh BC cắt các cạnh góc vuông AB và AC tại M và N.. b Tìm quĩ tích các điểm P lấy trên bán kính OM sao cho OP bằng khoảng cách từ Mđến AB khi M chạy khắp đư

DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC.

Bài 1: Cho biểu thức

b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên.

Bài 6: Cho biểu thức

P =

a) Rút gọn P.

b) Tìm các giá trị nguyên của a (a >8) để P nguyên.

Bài 7: Cho biểu thức

P =

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2

c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0.

Bài 8: Cho biểu thức

a) Tìm x, y để P có nghĩa.

b) Rút gọn P.

c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2

Bài 10: Cho biểu thức

P =

a) Rút gọn P.

b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0 c) Tìm GTLN của P.

Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức

P =

Không phụ thuộc vào biến số x.

Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức

P =

Không phụ thuộc vào biến số x.

Bài 15: Cho biểu thức

c) Tìm x để biểu thức Q = nhận giá trị là số nguyên.

Bài 17: Cho biểu thức

A = a) x = ? thì A có nghĩa.

b) Rút gọn A.

Bài 30: Cho biểu thức

P = a) Rút gọn P.

b) So sánh P với

Bài 31: Cho biểu thức

P = a) Rút gọn P.

b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1

Bài 32: Cho biểu thức

P = a) Rút gọn P.

b) a = ? thì P < 1

c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên Bài 33: Cho biểu thức

P = a) Rút gọn P.

b) Tính P biết 2x 2 + y 2 - 4x - 2xy + 4 = 0 Bài 34: Cho biểu thức

P = a) Rút gọn P.

b) Tính P biết 2x 2 + y 2 - 4x - 2xy + 4 = 0 Bài 35: Cho biểu thức

P = a) Rút gọn P.

b) Cho xy = 16 Tìm Min P.

DẠNG 2 : BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT.

Bài 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a 2 +3b 2 = 10ab.

Tính giá trị của biểu thức: P =

Bài 2: Cho x > y > 0 và 2x 2 +2y 2 = 5xy

Tính giá trị biểu thức E =

Bài 3: 1) Cho a + b + c = 0

CMR: a 3 + b 3 + c 3 = 3abc

2) Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0

Tính giá trị biểu thức:

M = Bài 4: Cho a 3 + b 3 + c 3 = 3abc Tính giá trị của biểu thức:

P = Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử:

Bài 14: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc

Chứng minh: Tam giác đã cho là tam giác đều.

Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác nhau thì:

b) x(y + z) 2 + y(z + x) 2 + z(x + y) 2 – 4xyz

Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c Chứng minh rằng biểu thức

Bài 24: Cho x, y là các số khác khác 0 sao cho 3x 2 – y 2 = 2xy.

Tính giá trị của phân thức A =

Bài 25: Cho x, y, z khác 0 và a, b, c dương thoả mãn ax + by + cz = 0 và a + b +c = 2007.

Tính giá trị của biểu thức: P =

Bài 26: Cho x, y, z khác 0 và x + y + z = 2008.

Tính giá trị biểu thức:

Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì P < 0.

Bài 30: Cho các số dương x, y ,z thỏa mãn:

Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z.

Bài 31: Cho các số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình:

Tính giá trị biểu thức P = xyz (Đề thi HSG tỉnh 2003)

Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P =

b) Tính giá trị biểu thức: Q =

Biết x 2 – 2y 2 = xy và y ≠ 0 , x + y ≠ 0 (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005)

Bài 33: Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì:

2(x 5 + y 5 + z 5 ) = 5xyz(x 2 + y 2 + z 2 ) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006) Bài 34: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: a 2 = b 2 + c 2

Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x 2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1)

a) Giải phương trình khi m = 2.

b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m.

c) Tìm m sao cho nghiệm số x 1, x 2 của phương trình thỏa mãn

điều kiện + 10.

Bài 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện:

Chứng minh rằng phương trình ax 2 + bx + c = 0 luôn luôn có nghiệm Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện: a 2 + ab + ac < 0

Chứng minh rằng phương trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt Bài 4: Cho phương trình x 2 + px + q = 0 Tìm p, q biết rằng phương trình có hai

nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn:

Bài 5: CMR với mọi giá trị thực a, b, c thì phương trình

(x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có nghiệm.

Bài 6: CMR phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) có nghiệm biết rằng 5a + 2c = b Bài 7: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác CMR phương trình sau có nghiệm:

(a 2 + b 2 – c 2 )x 2 - 4abx + (a 2 + b 2 – c 2 ) = 0

Bài 8: CMR phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) có nghiệm nếu

Bài 9: Cho phương trình : 3x 2 - 5x + m = 0 Xác định m để phương trình có hai nghiệm

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x 1 , x 2 không phụ thuộc vào m.

Bài 11: Giả sử x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình bậc 2:

3x 2 - cx + 2c - 1 = 0 Tính theo c giá trị của biểu thức:

S =

Bài 12: Cho phương trình : x 2 - 2 x + 1 = 0 Có hai nghiệm là x 1 , x 2 Không giải

phương trình trên hãy tính giá trị của biểu thức:

A =

Bài 13: Cho phương trình: x 2 – 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1)

1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của a.

2) Tìm giá trị của a để pt (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn điều kiện:

x 1 2 + x 2 2 = 6.

3 Tìm giá trị của a để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn điều kiện:

x 1 < 1 < x 2 Bài 14: Cho phương trình: x 2 – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1)

a) CMR phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m.

b) Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình (1)

Tìm GTNN của M = x 1 2 + x 2 2

Bài 15: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện:

CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm:

x 2 + ax + b = 0 và x 2 + bx + a = 0.

Bài 16: Cho phương trình: x 2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1)

a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình (1) theo m.

Bài 18: Cho phương trình: x 2 – (m - 1)x + m 2 + m – 2 = 0 (1)

a) CMR phương trình (1) luôn luôn có nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m.

b) Với giá trị nào của m, biểu thức P = x 1 2 + x 2 2 đạt GTNN.

Bài 19: Cho phương trình: x 2 – 2(m - 1)x – 3 - m = 0 (1)

1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m.

2) Tìm giá trị của m để pt (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn điều kiện:

b) x 4 + 3x 3 - 14x 2 - 6x + 4 = 0 c) x 4 - 3x 3 + 3x + 1 = 0

Bài 9: a) x 4 = 24x + 32

b) x 3 + 3x 2 - 3x + 1 = 0 Bài 10:

Bài 11:

Bài 12: x 2 +

Bài 13: 20

Bài 14: a)

c) x 4 + 10x 3 + 26x 2 + 1 = 0 Bài 23: (x + 2) 2 + (x + 3) 3 + (x + 4) 4 = 2 ( Đề thi HSG V1 2003) Bài 24: a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3

b) (x 2 + 3x - 4)(x 2 + x - 6) = 24 Bài 25: a) x 3 - 6x + 4 = 0

b) x 4 - 4x 3 + 3x 2 + 2x - 1 = 0 Bài 26: a) x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x - 12 = 0

b) 3 = 2x 2 - 6x + 4

c)

Bài 35:

Bài 36: Cho phương trình: x 4 -4x 3 +8x = m

a) Giải phương trình khi m = 5.

b) Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Bài 37: Cho phương trình (x + a) 4 + (x + b) 4 = c Tìm điều kiện của a, b, c để phương trình có nghiệm.

Bài 38: Giải phương trình: x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x - 5 = 0

Bài 39: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4x 4 + 8x 2 y + 3y 2 - 4y - 15 = 0 Bài 40: x 2 + 9x + 20 = 2

Bài 5) Cho a, b, c là các số dương cm bất đẳng thức:

Bài 10) Cho a, b là hai số thỏa mãn điều kiện: a + 4b = 1

CM: a 2 + 4b 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? (Đề thi HSG 2003).

Bài 12) Chứng minh:

b)

Bài 13) Cho a, b, c > 0 Cm:

CMR: S không là số tự nhiên.

Bài 15) a) Cho x, y dương CMR: Dấu bằng xảy ra khi nào?

b) Tam giác ABC có chu vi

CMR: a 2 + b 2 + c 2 + 2abc < 2.( Đề thi HSG 2004-2005).

Bài 21) Cho a, b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1) 2 + ( b - 2) 2 = 5 Cm: a + 2b 10.

Bài 22) Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a 2 + b 2 = 4 + ab

Dấu bằng xảy ra khi nào?

Bài 23) CMR với mọi a, b > 0 thỏa mãn ab = 1 Ta có BĐT:

Bài 26) a) Cho a, b, k là các số dương và

b) Cmr nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì:

< 2.

Bài 27) Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 1.

Chứng minh rằng:

(Đề thi HSG V2 2003 - 2004)

Bài 28) Chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi x, y là các số thực bất

Bài 2) Cho x, y > 0, x + y = 1 Tìm GTNN của P =

Bài 4) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = (x4 + 1)(y4 + 1) biết x,y 0, x + y =

Bài 5) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức B = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5

Bài 6) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = x2 + y2 Biết x2(x2 +2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1

Bài 7) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P =

Bài 8) Tìm GTLN của A = x +

Bài 10) Tìm GTLN của P =

Bài 11) Cho M =

a)Tìm điều kiện của a để M được xác định

b)Tìm GTNN của M và giá trị của A tương ứng

Bài 12) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn:

Tìm GTNN của P = x.y.z

Bài 18) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y 1 Tìm GTNN của biểu thức

A =

Bài 19) Cho x,y > 0; x + y = 1 Tìm GTNN của biểu thức P =

Bài 20) Cho x,y > 0; x + y = 1 Tìm GTNN của biểu thức P = 2(x4 + y4) +

Bài 21) Cho x,y > 0; x + y = 1 Tìm GTNN của biểu thức P =

Bài 22) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x2 + y2 = 4

Tìm GTNN của biểu thức P =

Bài 23) Cho ba số dương a, b, c có a + b + c = 1 Tìm GTNN của biểu thức:

E = Bài 24) Cho a, b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1 Tìm GTNN của:

P = a3 + b3

Bài 25) Cho a, b là hai số dương thỏa a + b = 1

Tìm GTNN của P =

Bài 26) Cho hai số x, y thỏa mãn xy = 2 Tìm GTNN của P =

Bài 27) Cho hai số dương x, y có x + y = 1 Tìm GTNN của

P = 8(x4 + y4) +

Bài 28) Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 +10 = 0

Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S = x + y + 1

Bài 30) Tìm GTNN của biểu thức P =

Bµi tËp n©ng cao h×nh häc 9 Bài tập nâng cao chương I Bài 1: a) Tìm x và y trong mỗi hình bên

2 Giải tam giác vuông ABC, biết rằng , AB = 5, BC = 7

3 Hãy tính các góc nhọn của một tam giác vuông, biết tỉ số hai cạnh góc vuông là

13 : 21

Bài 3: Cho tam giác ABD vuông tại B, AB = 6 cm, BD = 8 cm Trên cạnh BD lấy

điểm C sao cho BC = 3 cm Từ D kẻ Dx // AB, nó cắt đường thẳng AC tại E

a) Tính AD

5 4

z y x

25 9

x

10

8 x y

b) Tớnh caực goực BAD, BAC Tửứ caực keỏt quaỷ ủoự, coự theồ keỏt luaọn raống Ac laứ tia phaõn giaực cuỷa goực BAD khoõng ?.

c) Chửựng minh tam giaực ADE caõn taùi D

d) Chửựng minh AC laứ tia phaõn giaực cuỷa goực BAD

Baứi 4: Cho hỡnh vuoõng ABCD, caùnh AB = 1 ủụn vũ ủoọ daứi Goùi I, J laàn lửụùt laứ trung

ủieồm cuỷa AB, AD

a) Tớnh dieọn tớch hỡnh caựnh dieàu AICJ baống caực caựch khaực nhau

b) Tớnh sinICJ

Baứi 5: Cho hỡnh thang caõn ABCD (AB // CD) ủửụứng cao AH, AB = 8 cm, CD = 12

cm, AD = 10 cm

a) Tớnh AH

b) Tớnh soỏ ủo goực ADC, suy ra soỏ ủo goực ABC

c) Tớnh AC Vỡ sao ta khoõng coự heọ thửực

Bài 6 Cho hình thang ABCD vuông tại B và C, AC ⊥ AD Biết = 580, AC = 8

a) Tính độ dài các cạnh AD, BC

b) Chứng minh AC2 = AB.DC

Baứi 9: Cho ABC coự Keỷ BH ⊥ AC vaứ CK ⊥ AB

a) chửựng minh KH = BC.CosA

b) Trung ủieồm cuỷa BC laứ M Chửựng minh MKH laứ tam giaực ủeàu

Baứi 7 Cho ABC coự laứ goực nhoùn Chửựng minh dieọn tớch cuỷa tam giaực ủoự laứ S=

AB.AC.sinA Aựp duùng: a) Tớnh bieỏt AB = 4 cm, AC = 7 cm vaứ

b) Bieỏt = (cm2), AB = 4 cm, AC = 5 cm Tớnh soỏ ủo cuỷa

Bài 8: Cho ABC có 3 góc nhọn, các cạnh đối diện với các góc theo thứ tự

diện tích của tứ giác đó

Bài 11: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC; < 900 ) Kẻ BK ⊥ AC

Bài 13: Cho ABC có = 600 Kẻ BH ⊥ AC và CK ⊥ AB.

a) Chứng minh : KH = BC.cosA

b) Trung điểm của BC là M Chứng minh MKH là tam giác đều

Bài 14: Cho tam giác ABC có BC = a Về phía ngoài của ABC, vẽ các hình vuông ABDE và ACFG Giao điểm các đường chéo của hai hình vuông là Q và

N Trung điểm của BC và EG là M và P

a) Chứng minh AEC = ABG

b) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông

Bài 15: Cho hình chữ nhật MNPQ có 4 đỉnh nằm trên 4 cạnh của hình thoi ABCD

( M ∈ AB, N ∈ BC, P ∈ CD, Q ∈ DA ) Các cạnh hình chữ nhật song song với các

a) Tính diện tích hình thoi ABCD

b) Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích hình chữ nhật MNPQ đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó

Bài 16: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn hơn đ.chéo BD Kẻ CH ⊥ AD và CK ⊥ AB

a) Chứng minh CKH ~ BCA

Bài 17: Cho ABC ( = 900 ) Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF ⊥ BC Nối AF và BE

a) Chứng minh AF = BE.cosC

b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6 Tính diện tích tứ giác ABFE.

Bài 18: Cho hình vuông ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 4 cm Trung điểm của AB

và BC theo thứ tự là M và N Nối CM và DN cắt nhau tại P

a) Chứng minh CM ⊥ DN

b) Nối MN, tính các tỉ số lượng giác của góc

c) Nối MD, tính các tỉ số lượng giác của góc và diện tích tam giác MDN

Bài 19: Cho hình chữ nhật ABCD; = 0,8 ; AD = 42 mm, kẻ CE ⊥ BD và DF ⊥

AC

b) Chứng minh tứ giác CEFD là hình thang cân và tính diện tích của nó

c) Kẻ AG ⊥ BD và BH ⊥ AC, chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật và tính diện tích của nó

Bài 20: Cho đoạn thẳng MN = 6 cm Vẽ đường tròn tâm M bán kính 3,6 cm Vẽ

đường tròn tâm N bán kính 4,8 cm, chúng cắt nhau tại A và B

a) Chứng minh :

b) Tính số đo các góc của MAB

Bài 21: Cho tam giác vuông ABC ( = 900 ) Kẻ đường thẳng song song với cạnh

BC cắt các cạnh góc vuông AB và AC tại M và N Biết MB = 12 cm và NC = 9 cm, trung điểm của MN và BC là E

và F

a) Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng

b) Trung điểm của BN là G Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của

EFG

c) Chứng minh EFG ~ ABC

Bài 22: Cho ABC, kẻ AH ⊥ BC, biết BH = 9 cm, HC = 16 cm, tgC = 0,75 Trên

AH lấy điểm O sao cho OH = 2 cm

a) Chứng minh ABC là tam giác vuông

b) Trên cạnh AB lấy điểm M, trên OB lấy điểm P và trên OC lấy điểm N sao cho

Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của MPN

Bài tập nâng cao chương II 1- Đường trịn và sự xác định của đường trịn

Bài

1: Cho hình thang cân ABCD (AD // BC);

a) Chứng minh A, B, C, D nằm trên cùng một đường tròn Hãy xác định tâm O vàbán kính của đường tròn này

b) Chứng minh AC ⊥ OB

Bài 2 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi H là trực tâm của tam giác, N, P, Q

lần lượt là trung điểm của AH, AB, AC Chứng minh OPNQ là hình bình hành

Bài 3: Cho ABC, các góc đều nhọn Vẽ đường tròn tấm đường kính AB, vẽ đường

tròn tâm O đường kính AC Đường thẳng OS cắt đường tròn (S) tại D và E, cắt đườngtròn (O) tại H và K (các điểm xếp đặt theo thứ tự D, H, E, K)

a) Chứng minh BD, BE là những đường phân giác của góc ; CK, CH là nhữngđường phân giác của góc

b) Chứng minh BDAE, AHCK là những hình chữ nhật

Bài 4: Cho đường tròn (O) dường kính AB Vẽ bán kính OC vuông góc với AB tại O.

Lấy điểm M trên cung AC Hạ MH ⊥ OA Trên bán kính OM lấy điểm P sao cho OP

= MH

a) Tìm quĩ tích các điểm P khi M chạy trên cung AC

b) Tìm quĩ tích các điểm P lấy trên bán kính OM sao cho OP bằng khoảng cách từ Mđến AB khi M chạy khắp đường tròn (O)

2 Tính chất đối xứng của đường trịn

Bài 1: Cho hai đường tròn bằng nhau (O ; R) và (O’; R) và hai dây AB, CD bằng

nhau theo thứ tự thuộc hai đường tròn ấy sao cho B và C nằm giữa A và D và AB < 2R

a) Chứng minh rằng AD // OO’

b) Chứng minh rằng AC = OO’ = BD

c) Gọi I là trung điểm của AD, chứng tỏ rằng điểm I nằm trên một đường cố định khi các dây AB, CD thay đổi vị trí sao cho AB, CD luôn luôn bằng nhau và B, C luônnằm giữa A, D

Bài 7: Cho góc Lấy điểm I cố định trên tia phân giác Ot của góc xOy làmtâm vẽ đường tròn sao cho nó cắt Ox tại A, Oy tại B (A và B không đối xứng nhauqua Ot) Hạ ID ⊥ Ox, IE ⊥ Oy

d) Tìm quĩ tích điểm H, trực tâm của AIB (theo điều kiện câu c)

Bài 8: Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) đường cao AH Trên đoạn thẳng HC

lấy điểm K rồi dựng hình chữ nhật AHKO Lấy O làm tâm, vẽ đường tròn bán kính

OK, đường tròn này cắt cạnh AB tại D, cắt cạnh AC tại E Gọi F là giao điểm thứ haicủa đường tròn (O) với đường thẳng AB Chứng minh:

a) AEF là tam giác cân

b) DO ⊥ OE

c) D, A, O, E nằm trên cùng một đường tròn

3 V ị trí t ương đối của đường th ẳng và đường trịn –

Tính chất của tiếp tuyến - Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) Một tiếp tuyến chung ngoài MM’, một tiếp

tuyến chung trong NN’ (M, N nằm trên (O) ; M’, N’ nằm trên (O’)) Các đường thẳng MM’ , NN’ cắt nhau tại tiếp điểm P và các dây MN, M’N’ cắt PO, PO’ tương ứng tại các điểm Q, Q’

Ox tại E, cắt Oy tại F

a) Tính chu vi OEF Chứng tỏ rằng chu vi đó có giá trị không đổi khi M chạy trêncung nhỏ AB

b) Chứng minh có số đo không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB

Bài 10: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và một dây AC tạo với AB góc

300 Tiếp tuyến của đường tròn tại C cắt đường thẳng AB tại D Chứng minh rằng:

a) OAC ~ CAD.

b) DB.DA = DC2 = 3R2

Bài 11: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH Đường tròn tâm I đường kính BH

cắt AB tại E, đường tròn tâm J đường kính HC cắt AC tại F Chứng minh rằng:

a) AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (J) tại H

b) EF là tiếp tuyến của (I) tại E, tiếp tuyến của (J) tại F

Bài 12: Cho ABC cân tại A Đường cao AH và BK cắt nhau tại I Chứng minh:

a) Đường tròn đường kính AI đi qua K

b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI

Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Lấy điểm D trên bán kính OB.

Gọi H là trung điểm của AD Đường vuông góc tại H với AB cắt nửa đường tròn tại

C Đường tròn tâm I đường kính DB cắt CB tại E

a) Tứ giác ACED là hình gì ?

b) Chứng minh HCE cân tại H

c) Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I

Bài 14: Cho nửa đường tròn đường kính AB Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với

nửa đường tròn Lấy M là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn, vẽ đường tiếp tuyến,nó cắt Ax tại C, cắt By tại D Gọi A’ là giao điểm của BM với Ax, B’ là giao điểmcủa BM với By Chứng minh rằng:

b) CA = CA’ ; DB = DB’

c) Ba đường thẳng B’A’, DC, AB đồng qui

Bài 15: Cho đường tròn tâm O, tiếp tuyến Ax tại điểm A của đường tròn Trên Ax

chọn hai điểm B, C tùy ý (C nằm giữa A và B) vẽ hai tiếp tuyến BD, CE với đườngtròn đã cho

b) Giả sử B, C ở về hai phía đối với điểm A, chứng minh rằng trong trường hợp này

=1800

4 V ị trí tương đối của hai đường trịn

Bài 1: Cho hai đường tròn (O ; 4 cm) và (O’ ; 3 cm) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A

và B biết OO’ = 5 cm Từ B vẽ 2 đường kính BOC và BO’D

a) Chứng minh 3 điểm C, A, D thẳng hàng;

b) Chứng minh tam giác OBO’ là tam giác vuông;

c) Tính diện tích các tam giác OBO’ và CBD;

d) Tính độ dài các đoạn AB, CA, AD

Bài 2: Hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại điểm A Đường thẳng OO’ cắt

hai đường tròn (O) và (O’) lần lượt ở B và C (khác điểm A) DE là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn, D ∈ (O) ; E ∈ (O’) Gọi M là giao điểm của hai

b) MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’); c) MD.MB = ME.MC

Bài 4: Cho một đường tròn (O ; R), một đường tròn (O1 ; r1) tiếp xúc trong với (O ; R)và một đường tròn (O2 ; r2) vừa tiếp xúc trong với (O ; R) vừa tiếp xúc ngoài với (O1 ;

r1)

a) Tính chu vi tam giác OO1O2 theo R

b) Dựng hai đường tròn (O1 ; r1) và (O2 ; r2) biết R = 3 cm ; r1 = 1 cm

Bài 5: Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng d và điểm A nằm trên d Dựng đường

tròn tiếp xúc với (O ; R) đồng thời tiếp xúc với d tại A

Bài 9: Cho hình bình hành ABCD (AB > AD) Lấy A làm tâm vẽ đường tròn bán

kính AD, nó cắt AB tại E Lấy B làm tâm vẽ đường tròn bán kính BE, nó cắt tiếpđường thẳng DE tại F

a) Chứng minh hai đường tròn (A ; AD) và (B ; BE) tiếp xúc nhau

b) Chứng minh F, B, C thẳng hàng

Baứi 11: Cho hai ủửụứng troứn (O) vaứ (O’) baựn kớnh laàn lửụùt laứ 3R vaứ R tieỏp xuực ngoaứi

nhau taùi A ẹửụứng thaỳng d1 qua A caột (O) taùi B, caột (O’) taùi B’ ẹửụứng thaỳng d2

vuoõng goực vụựi d1 taùi A caột (O) taùi C, caột (O’) taùi C’

a) Chửựng minh BC’, CB’ vaứ OO’ ủoàng qui taùi moọt ủieồm M coỏ ủũnh

b) Chửựng minh caực tieỏp tuyeỏn chung ngoaứi PP’ vaứ TT’ caột nhau taùi M

c) Goùi I laứ chaõn ủửụứng vuoõng goực haù tửứ A xuoỏng BC’ Tỡm quú tớch ủieồm I khi d1 vaứ

d2 thay ủoồi vũ trớ (vaón qua A vaứ vuoõng goực vụựi nhau)

Baứi 12: Cho hai ủửụứng troứn (O) vaứ (O’) tieỏp xuực nhau taùi A Goực vuoõng xAy quay

xung quanh ủieồm A, Ax caột (O) taùi B, Ay caột (O’) taùi C

a) Chửựng minh OB // O’C

b) Goùi C’ laứ ủieồm ủoỏi xửựng cuỷa C qua O’ Chửựng minh B, A, C’ thaỳng haứng

c) Qua O veừ d ⊥ AB, noự caột BC taùi M Tỡm quú tớch ủieồm M khi caực daõy AB, AC thayủoồi vũ trớ nhửng vaón vuoõng goực vụựi nhau

5 ễn tập chương II

Bài 1: Cho đờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại A Gọi BC là tiếp tuyến chung

ngoài của (O) và (O’); B, C là hai tiếp điểm Tiếp tuyến chung trong của hai đtròn tại A cắt BC tại M

a) Chứng minh rằng A, B, C thuộc đờng tròn ( M ; BC/2 )

b) Đờng thẳng OO’ có vị trí gì đối với đờng tròn ( M ; BC/2 )

c) Xác định tâm của đờng tròn đi qua 3 điểm O, O’, M

d) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua 3 điểm O, O’, M

Bài 2: Cho đoạn thẳng AB và trung điểm O của AB Trên một nửa mặt phẳng bờ AB kẻ

hai tia

Ax, By vuông góc với AB Một góc vuông có đỉnh là O có hai cạnh cắt Ax và By tại C

và D

Gọi C’ là giao điểm của tia CO với tia đối của tia By Chứng minh:

a) Tam giác CDC’ là tam giác cân

b) Đờng thẳng CD là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính AB

c) Đờng tròn ngoại tiếp COD luôn tiếp xúc với một đờng thẳng cố định khi gócvuông tại O thay đổi

Bài 3: Cho hai đờng tròn (O) và (O’) ngoài nhau Các tiếp tuyến chung ngoài MN, PQ

( M,P nằm trên (O); N, Q nằm trên (O’) )

c) Nối MQ cắt (O), (O’) tơng ứng tại các điểm thứ hai A, B Chứng minh MA = QB.

Bài 4: Cho đờng tròn (O) và tiếp tuyến xy tại tiếp điểm C nằm trên (O).

a) CMR nếu dây AB song song với xy thì CA = CB

b) CMR nếu một đờng thẳng d song song với xy đồng thời tiếp xúc với (O) tại một điểm D thì 3 điểm C, O, D thẳng hàng

c) Cho hai đờng thẳng song song d1 , d2 cách nhau một khoảng bằng 3 cm, một

điểm M nằm giữa hai đờng thẳng d1 , d2 và cách d1 một khoảng bằng 1 cm Hãy dựng một đờng tròn đi qua M và tiếp xúc d1 , d2

Bài 5: Cho 2 đờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc với nhau tại A Qua A kẻ đờng thẳng a cắt

(O) tại C, cắt (O’) tại C’ và đờng thẳng b cắt (O) tại B, cắt (O’) tại B’ Chứng minh BC // B’C’

Hửụựng daón giaỷi

Đ2 Tớnh chaỏt ủoỏi xửựng

Baứi 2: a) Ta chửựng minh ủửụùc AA’ = BB’; suy ra AD = BE

b) Vỡ neõn deó daứng chửựng minh

Ta chửựng minh ủửụùc ATI = BTI

Laỏy A (hoaởc B) laứm taõm veừ cung troứn (A ; AI) noự caột cung nhoỷ AB taùi T, ủoự chớnh laứ taõm ủửụứng troứn qua A, I, B

c) Ta chửựng minh ủửụùc raống ủửụứng troứn taõm T baựn kớnh TI ủi qua O Thaọt vaọy, giaỷ sửỷ

(T) caột IO taùi O’ vaứ caột O’T taùi T’

goực ụỷ vũ trớ goực ngoaứi coứn goực kia laứ goực trong cuỷa BOO’, nhử vaọy chuựng khoõng theồ baống nhau ủửụùc Do ủoự BO vaứ BO’ truứng nhau, O’ truứng vụựi O

PHAÀN THUAÄN: Ta coự TI = TO ⇒ T thuoọc trung trửùc cuỷa OI coỏ ủũnh ẹeồ ủửụứng troứn taõm T caột caực tia Ox, Oy thỡ laứ caực goực nhoùn Do ủoự T naốm ụỷ mieàn

A'

I

B E T

D

B'

A O

y t x

trong góc xác định bởi Ou ⊥ Ox, Ov ⊥ Oy Do đó T thuộc đoạn thẳng T1T2 vừa thuộc trung trực của OI, vừa thuộc miền trong của góc uOx (để A, B phân biệt).PHẦN ĐẢO: Lấy T’ thuộc đoạn T1T2 vẽ đường tròn bán kính TI, nó cắt Ox tại A’, cắt Oy tại B, ta phải chứng minh đường tròn (I ; IA’) qua B (Chứng minh IDA’ =

IEB’ ⇒ IA’ = IB’)

KẾT LUẬN: Quĩ tích T là đoạn thẳng T1T2, không kể T1, T2

d) AIBT là hình thoi nên trực tâm H của AIB nằm trên đường thẳng TI, Bz ⊥

AI, ta chứng minh được Bz ⊥ BT

Ta chứng minh được H thuộc (I) và H đối xứng với T qua I

Quĩ tích các trực tâm H là đoạn thẳng H1H2 đối xứng của T1T2 qua I không kể H1, H2

Bài 3

a) Ta c/m được AO là phân giác của góc FAE nên AO là trục đối xứng

của góc FAE AO là đường thẳng chứa đường kính của (O) nên AO là

trục đối xứng của đường tròn (O) F là giao điểm của AB với (O)

Hình đối xứng của F là giao điểm của AC với (O), đó chính là điểm E

F và E đối xứng nhau qua AO Vậy AEF là tam giác cân

D

C K H B

c) Lấy I là trung điểm của DE, ta có ID = IA = IE = IO Vậy D,

A, O, E nằm trên một đường tròn tâm I bán kính DE/2

Bài 4:

Ta có C và D đối xứng qua O

Lấy B’ đối xứng của A qua O thì B’ cố định CA có hình đối xứng qua O

Là DB’ nên CA = DB’, do đó DB = DB’

Suy ra D nằm trên trung trực d của BB’…

§3 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn – Tiếp tuyến

A

F M

E

O

30

30 30 O

C

D B A

a) Tính số đo các góc, ta được

Hai tam giác OAC và CAD có

Vậy OAC ~ CAD

b) Tam giác COB là tam giác đều, (có nhiều cách chứng minh),

Dễõ dàng chứng minh được OAC ~ BCD Suy ra BD = R

Vậy DA.DB = DC2 = 3R2

Bài 11:

a) Gọi I là trung điểm của BH thì I là tâm đường tròn đường

kính BH Gọi J là trung điểm của HC thì J là tâm đường tròn

đường kính BH

Ta có IH ⊥ AH suy ra AH là tiếp tuyến của đường tròn đường kính HC

Vậy AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I), (J)

b) Chứng minh không khó khăn AFHE là hình chữ nhật Gọi P là giao điểm AH và

EF Ta có PE = PF = PH = PA

J

B

P FE

A

Chứng minh PEI ~ PHI (c.c.c), suy ra Vậy EF là tiếp tuyến của

đường tròn (I)

đường tròn (J)

Bài 12:

a) Gọi O là trung điểm của AI ta có OA = OI = OK Vậy đường tròn tâm O

đường kính AI đi qua K

b) Ta có AOK cân ⇒ (góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)

Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn O

Suy ra OHC = IEH (c.g.c)

Do đó HC = EH hay HCE là tam giác cân tại H

c) Do OHC = IEH nên , tức là HE ⊥ IE Vậy HE là tiếp tuyến của

đường tròn tâm I

40

K I

B

O A

E

I D O

C

A

I C

A' M

x

B'

D