Mô tả toán học hệ thống điều khiển rời rạc

Tài liệu tham khào dành cho giáo viên, sinh viên chuyên ngành điện, điện tử

CHƯƠNG 3

MÔ TẢ TOÁN HỌC

HỆ THÓNG ĐIÊU KHIÊN RỜI RẠC

3.1 Hàm truyên đạt

3.2 Phương trình trạng thái

3.1 HAM TRUYEN DAT

Hệ thông ròi rạc|

tín hiệu vào tin hiệu ra ra

Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thông rời rạc được

mô tả băng phương trình sai phán:

agc(k +n)+ ac( +n—]Ì)+ +a„_,c(k +]) + a„c(k) =

bạr(&k +m) + br(k+m—Ì]Ì)+ +b, r(k+l)+b r(k)

Trong do

a(i=0,n) (a, #0)

b,(j =0,m) (b, #0)

thông số của hệ thống

n > m, n: bậc của hệ thông

Thuc hién bién d6i Z hai vé phương trình sai phân ta được:

az” ta,z"'+ 4a, ,2+a,(C(z) =|b2” +2" 1 4 +5, 2 +b, [R(z)

C(z) bz” +b2"'+ +b, 2+, ham truyén

R(2Z) agZ +azZ + +d,iZ+d, — hệ thông rời rạc

Biên đổi tương đương Œ(z) về dạng:

-Ì —m+Ì —m

G(z)= CŒ)_ bạ+Dz + +D 1Z - + bz

H

aq,t+az t+ ta@ 42" +az

Hai cách biếu diễn trên tương đương nhau

Dụng thứ hai được sử dụng nhiều hơn.

Tính hàm truyén hệ thong rời rạc từ sơ đô khối

bởi khâu | 28) ays) EH ats) POE | 1G =ZiG(9)}

lay mau

Hai khau r<==================r==r==rm==eeeee ,

cach nhau | Ris) _ RS) G.(s) G(s) -~ (s) = C(2) (G,(s)G,

lay mau

Hệ thông

hôi tiếp

cókhâu | 8) 1⁄~T[S(s) CẸ) |G(z)= Trong

lây mâu

Tính hàm truyén hệ thong rời rạc từ sơ đô khối

vòng hôi tiêp H(s) ——— Gn (z) =Z{G(s)H(s |

Hai khâu hồi

tiếp có các

khâu lây mẫu

đông bộ trong

nhánh thuận

G(z) 1+ G(z)A(z)

a =Z{G(s)}

H()=Z{H(@)}

G,(Z) =

Hệ thông hồi

tiếp có các

khâu lây mẫu

đông bộ va

các khâu nỗi

tiếp ở nhánh

_@Z—= G,(s) ——~ QsL>

H(s) ———— G.(z)G,(z)

1+G,(z)G,A(z)

G,(z)=Z4{G,(s)} `

G,(z)=Z{G,(s)}

G,H(z)=Z{G,(s)H(s)},

G,(Z)=

3.2 PHƯƠNG TRINH TRANG THAI

3.2.1 Thành lập phương trình trạng thái

từ phương trình sai phần

Trường hợp 1 - Về phải phương trình sai phân

không chứa sai phan tin hiéu vao

c(k +n) + ac(k +n—])+ +a,„_,c(& +]) +a„c(k) = byr(k)

x(k) = c(k)

x,(w)=x,¡(+l) @=2,n)

Dat cac bién nhw sau:

Theo cach dat biễn trên, ta có:

x(k) = c(&)

*x;(k)=x,(k+l) > x;(*)= c(k+])

x;(&)=x,(k+l) > x,(k) =c(k +2)

x (kK)=x, (kK+1) —= x„(&) = c(& +m— ]) > x„(k+])= c(k+n)

Phương trình sai phân trong siide trước thành:

x (k+1)+a,x (k)+ +a,,x,(k)+a,x,(k) = bạr(&)

>x (A+1)=-a,x,(k)-a,_,x,(k)—- -a,x,_,(k)-—a,x,(k)+ br(k)

Kết hợp các quan hệ có được trong slide trước, fq có:

L x(+D)=x;()

x(k +1) =x,(k)

x,(k +) =x, (4)

Hệ trên được viết lại:

Ix(E+D | | 0 |

*„ ¡(k+]) 0 0

: x,(K) - x(k)

x„¡(È)

| x, (K+) = a,x, (kK) — a, 1X2 (K) — — đX„ 1() — axX„(Â) + Dạr(Â)

r(k)

Đáp ứng của hệ thông

c(k)=x,(k)=[l 0 0 0Ìx|:

x, (k) - x(k)

x„¡(È)

Vậy hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thông rời rạc:

x(k+l)= A,x(k)+ B„r(k)

c(k) = C„x()

trong đó

x,(k) - 0

x(k) = ;A, =| :

_x,()_ _—q,

C=|l 0 0 0]

Trường hợp 2 - Về phải phương trình sai phân

chứa sai phân tín hiệu vào

c(& +n) + ac(k +n—])+ +a,„_,c(& +]l)+a„c(k) =

bur(k+n)+br(k+n—l)+ +b, k+l) +b r(k)

Đặt các biên như sau:

x(k) = c(k)— Ør(K)

x;(k) =x,(+l)— Ø#(k) x;(k) =x;(k+1)— Ø,r(k)

x„() =x„(W +])— Ø„ r0)

Từ cách đặt biến trạng thái trên ta rút ra phương trình sau:

x„(W +l) = ~a,xI(Â)— á„ iX;()— — đaXz 1()— ax,„()+ Ø8„r()

Theo cách đặt biến trong slide trước, hệ phương trình

trạng thái mô tả hệ thông: [x(k+1)= A,x(k)+B,r(k)

c(k)= C,x(R)+ D,r()

trong đó

x(k) = > 6 SA, =]: ¬ : Ð,=[| : |

_x„(&)- _ ty Gn TW Gy ig củ TY | By

C,=[1 0 0 0}D,=/

By = by

B, = 5, — a, Py

Cac £(i=0,n) xac dinh theo: 4 4, =5,-4,8,-a,8,

BG, =Є—@„ ¡ —đ,/„ ; — đ„ ¡Bị — đu)

3.2.2 Thành lập phương trình trạng thái

_ từ hàm truyền hệ rời rạc

Cho hệ thông mô tả bởi hàm truyện:

C(z)_ bạz”+bjz”+ +b„z+bB„

G(z) — RŒZ) z +az H nÌ + +da iZ+d,

O ham truyén trén a, = 1 Néu a, # 1 ta chia tử số và mẫu số cho

Ay để được hàm truyền có dạng trên

Biển đổi trơng đương hàm truyện Về dạng phương trinh sai phan (2" 44,2"! + 4.a,,2 +4, C(z) = (2 +52" 1 + +5, ,2 +5, )R(Z)

Sc(kt+n)t+ac(k+n-l1)+ 4a,_,c(k+1)+a,c(k) =

br(k+m)+br(k+m—-1)+ 4+6, r(k4+14+6,r(k) Sau đó ta thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình sai phân

như mục trước.

Cách 2

Dat bién phu E() thoa

C(z) =(b,2" +52" + +b, ,2 +5, JE(Z)

R(z)= là +az" + 4a,,24+4, \E(z)

Bién d6i Z nguoc phuong trinh chia R(z), ta có:

ek+n)t+ae(k+n—-l)+ 4a, e(k+1)+a,e(k) =r(k)

Luc nay ta xem e nhu c va ap dung cach thanh lap phuong trinh trang thái từ phương trình sai phân đối với trường hợp về phải không chứa

sai phân tín hiệu vào

x(k) = e(k) Dat bien, (k)=x(kK+) —> x;(k) = e(W + L)

x,(k)=x,(K+1) > x,(k) =e(K +2)

x (k)=x, (kK+1) —= x„(&) = e(k+m—]) > x„(k+]) =e(k +n)

Ta duoc phuong trinh:

x, (k +1) |

x(k +1)

x, (kK + ])

x, (K+1) -

Biên đôi Z nguoc phuong trinh chia C/z) trong slide trudéc, ta cd:

c(k)=b,e(k+m)+be(k+m—-1)+ 4+6, e(k+1)+6,e(k)

0

0

0

— Œ

n

l

0

0

0

a đ„—2

0 x, (x) -

0 x(k)

1 || x,(4)

m.NHI x„(&) -

= c(k) =b,x„,()+bx„(k)+ +b,„ x,(k) +b, x(k)

=c(k)=|b„ 5b,

: x,(k) -

x;(&)

x„ ¡(È)

_x,„)_

: Ir(k)

Cuối cùng ta được hệ phương trình trạng thái:

P +1)= 4,xŒ&)+Br(k)

c(k) =C„x(k)

Trong đó:

xk)=| : b}A4,=[ : :

x(k) | [-a, -a,, -4,.,

C,=|b, b„, b bo 0 0|

3.2.3 Thành lập phương trình trạng thái hệ rời rạc

từ phương trình trang thái hệ liên tục

Phương pháp này chỉ áp dụng cho hệ có sơ đô khối:

r(t) % e(t) z e(kT) [zon| [es] C(t)

Phương pháp gôm 04 bước

Bước Ì - Thanh lập hệ phương trình trạng thi hiến tục

c(t

c(t) = Cx()

Buoc 2 — Tinh ma tran qua do hé lién tuc

®()=#''|®(s)] — (@(s) =(s1—4)'}

Buoc 3 — Rot rac hoa phwong trinh trang thai 6 budc 1

(A, =(T)

VOL: B= [orr)Bar

iC, =C

Bước 4 — Hệ phương trình trạng thái của hệ rời rạc cần tìm với tín

hiéu vao r(kT):

a +1)T|=[A, — B,C, (T)+ B„r(wT)

cC(kT) =Cx(kT)

3.2.4 Tính hàm truyén hệ rời rạc

từ hệ phương trình trang thai

Hệ thống rời rạc mô tả bởi hệ phương trình trạng thái:

f* +1) = A, x(k) +B r(k)

c(k) = C,x()

Hàm truyền hệ rời rac duoc tinh theo công thức:

G(z)= Ao =C, |z/ — A„ | B,