CHƯƠNG 7 - MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỂU KHIỂN RỜI RẠC ppt

Chương 7 MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC... • Hệ thống số : Tín hiệu được lượng tử hóa theo thời gian và biên độ cũng được lượng tử hóa.. • Có thời gian trễ do lấy mẫu → việ

Chương 7

MÔ TẢ TOÁN HỌC

HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

7.1 Hệ Thống Điều Khiển Rời Rạc

7.1.1 Khái niệm

• Hệ thống rời rạc : Tín hiệu được lượng tử hóa theo thời gian còn biên độ thì liên tục

• Hệ thống số : Tín hiệu được lượng tử hóa theo thời gian và biên độ cũng được lượng tử hóa

• Có thời gian trễ do lấy mẫu → việc ổn định của hệ thống trở nên phức tạp

→ cần có những kỹ thuật đặc biệt

• Phổ biến trong các hệ thống ĐK hiện đại

( ), ( )

R

u t c t : tín hiệu liên tục

( ), ( ), ht( )

r kT u kT c kT , : tín hiệu số

• Hiện chưa có pp mô tả chính xác sai số lượng tử biên độ các bộ A/D, D/A

→ khảo sát hệ thống rời rạc (bỏ qua sai số lượng tử biên độ ứng với độ phân giải nhỏ

Sơ đồ khối hệ thống điều khiển số

Sơ đồ khối hệ thống điều khiển rời rạc Máy tính số

Xử lý rời rạc

7.1.2 Đặc điểm lấy mẫu

• Lấy mẫu là biến đổi tín hiệu liên

tục theo thời gian → tín hiệu rời rạc

theo thời gian

• Biểu thức toán học mô tả quá

trình lấy mẫu

*

0

k

X s x kT e

+∞

−

=

• Định lý Shanon : Để có thể phục

hồi dữ liệu sau khi lấy mẫu mà

không bị méo dạng thì tần số lấy

mẫu phải thỏa điều kiện :

1

2 c

T

c

• Khâu A/D tương đương khâu lấy mẫu (bỏ qua sai số lượng tử)

7.1.3 Khâu giữ dữ liệu

• Chuyển tín hiệu rời rạc

→ tín hiệu liên tục

• Khâu giữ bậc 0 ZOH –

Zero-Order Hold : giữ tín

hiệu bằng hằng số trong

thời gian giữa 2 lần lấy mẫu

• Hàm truyền ZOH :

1 ( )

Ts ZOH

e

s

−

−

• Khâu D/A tương đương

khâu ZOH

7.2 Phép Biến Đổi Z

e

7.2.1 Định nghĩa

Cho ( )x k là chuỗi tín hiệu rời rạc Biến đổi Z của ( )x k là :

{ }

k

+∞

−

=−∞

z = e , ký hiệu : ( )x k ↔Z X z( )

0

k

+∞

−

=

• Miền hội tụ (Region of Convergence – ROC)

ROC : tập hợp tất cả các giá trị z sao cho X(z) hữu hạn

C

1

2

jπ

C : đường cong kín bất kỳ nằm trong miền hội tụ ROC của X(z) và bao gốc tọa độ

7.2.2 Tính chất của phép biến đổi Z

1 Tính tuyến tính :

Nếu : x k1( )↔Z X z1( ), x k2( )↔Z X2( )z

Thì : a x k1 1( )+a x k2 2( )↔Z a X z1 1( )+a X2 2( )z

2 Tính dời trong miền thời gian :

Nếu : ( )x k ↔Z X z( ),

0

x k −k ↔Z z− X z

3 Tính tỉ lệ :

k

a x k ↔Z X a z−

4 Tính đạo hàm :

dz

−

↔Z

5 Định lý giá trị đầu :

z

→∞

=

6 Định lý giá trị cuối :

1

z

→

7.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản

1 Hàm dirac :

( )

k k

k

δ = ⎨⎧ =≠

⎩

{δ( )k }=1

Z

2 Hàm nấc đơn vị :

( )

k

u k

k

≥

⎧

⎩

{ } 1 1

( )

1 1

z

u k

z

z−

−

−

3 Hàm dốc đơn vị :

0 ( )

kT k

r k

k

≥

⎧

⎩

{ ( )} { ( )} 11 2

Tz

r k kTu k

z

−

−

−

2

Tz

z

=

4 Hàm mũ:

0 ( )

kaT

x k

k

−

= ⎨

<

⎩

{x k( )} z aT

z e−

=

−

Z

z e

−

−

=

−

Z = Z

1 ( )

1

a u k

z a

az−

−

−

Z

7.3 Mô Tả Hệ Thống Rời Rạc Bằng Hàm Truyền

7.3.1 Hàm truyền của hệ rời rạc

• Phương trình sai phân mô tả quan hệ giữa tín hiệu vào & tín hiệu ra :

a c k +n +a c k + − + +n a − c k + +a c k =

b r k m b r k m b − r k b r k

,

• Biến đổi Z hai vế (7.17) :

1

0 nC( ) 1 n C( ) n 1 C( ) nC( )

a z z +a z − z + +a − z z +a z =

1

b z R z b z − R z b − zR z b R z

• Hàm truyền :

1

1

C( )

( )

n n

b z b z b z b z

G z

R z a z a z a z a

−

−

−

−

Hoặc :

C( )

( )

z

G z

−

−

7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối

1 Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu

{ } { }

C( )

( )

z

R z

Giải : Tra bảng biến đổi Z :

1

1

aT

bT

z

G z G s

s a z e

z

s b z e

−

−

Z

Z

z

G z G z G z

z e− z e−

2 Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu

C( )

( )

z

G z G G z G s G s

R z

3 Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số

{ }

( )

( )

k

G s

z G z

G z

R z GH z G s H s

Z Z

• Nếu H(s) = 1 : ( ) C( ) ( )

k

z G z

G z

R z G z

+

4 Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong vòng hồi tiếp

• Không có biểu thức hàm truyền

RG z z

GH z

= +

RG z = Z R s G s GH z =Z G s H s

5 Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ trong nhánh thuận

( )

k

G z

R z G z H z

+

6 Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ và các khâu nối tiếp ở nhánh thuận

C( )

( )

k

G z G z z

G z

R z G z G H z

+

7 Hệ thống thường gặp

• Hàm truyền :

( ) ( ) C( )

( )

c k

c

G z G z z

G z

R z G z GH z

+

( )

c

( ) (1 ) G s , ( ) (1 ) G s H s

• Ví dụ 1 : Tính hàm truyền của hệ thống

Giải :

( ) ( )

( )

c k

c

G z G z

G z

R z G z GH z G z

−

Z

2 0.5

2 0.5

z

−

Vậy :

0.948

( )

0.948

0.368

k

G z

z

−

−

• Ví dụ 2 : Tính hàm truyền hệ thống kín

s e

−

Giải :

k

G z

G z

GH z

= +

3 0.5

3 0.5

x

−

2

0.777 ( )

( 0.223)

G z

z z

=

−

s

−

1 2

3 0.5 1 0.5

z Az B

z z

− −

+

3 0.5 0.5

0.0673 3(1 3)

x

A

−

3 0.5 0.5 0.5 3 0.5

0.0346 3(1 3)

B

−

2

( )

z

GH z

+

=

2

2

0.777

( )

0.202 0.104

( 0.223)( 0.607)

k

G z

z

−

−

• Ví dụ 3 :

Tính hàm truyền hệ kín biết :

0.2 2

5

s e

s

−

u k = e k − e k −

Giải :

c k

c

G z G z z

G z

R z G z GH z

+

1

1

( )

( )

c

u k e k e k

U z E z z E z

U z

E z

−

−

s

−

−

2

0.1( 1)

( )

z

G z

z z

+

=

−

2

−

2

2

( ) ( ) ( )

1

c k

c

z z z

G z G z

G z

z z z

−

=

7.4 Mô Tả Hệ Thống Rời Rạc Bằng Phương Trình Trạng Thái

• Khái niệm

PTTT của hệ thống rời rạc là PTSP bậc 1 có dạng :

d

x k A x k B r k

c k x k

⎧

⎩

( )

( ) ( )

( )

n n

L L

L

7.4.1 Thành lập phương trình trạng thái từ phương trình sai phân

1 Vế phải của PTSP không chứa sai phân của tín hiệu vào

a c k +n +a c k + − + +n a − c k + +a c k = b r k

• Qui tắc đặt biến trạng thái :

1

1

x k c k

x k x k

x k x k

x k x − k

=

M

• Phương trình trạng thái :

d

x k A x k B r k

c k x k

⎧

⎩

1

2

( ) ( )

( )

x k

x k

L L

L

[ ]

Ví dụ 7.9 : Cho hệ thống đk rời rạc mô tả bởi PTSP

2 (c k + +3) c k( + +2) 5 (c k + +1) 4 ( )c k =3 ( )r k

Giải :

Viết lại PTSP :

c k+ + c k+ + c k+ + c k = r k

Áp dụng công thức trên → PTTT :

d

x k A x k B r k

c k x k

⎧

⎩

2 Vế phải của phương trình sai phân có chứa sai phân của tín hiệu vào

b r k n b r k n b r k b r k

−

−

• Đặt biến trạng thái :

x k c k r k

x k x k r k

x k x k r k

β β β

β

L

• Phương trình trạng thái :

x k A x k B r k

c k x k D r k

⎧

⎩

1 1

2 2

1

( )

( ) ( )

( )

n n

x k

x k

x k

β β

β

β −

L L

M

L L

0 0

1 1 1 0

2 2 1 1 2 0

b

b a

β

=

= −

L

7.4.2 Thành lập PTTT từ hàm truyền hệ rời rạc

Cho hệ thống mô tả bởi hàm truyền :

1

1

C( )

( )

n n

b z b z b z b z

G z

R z a z a z a z a

−

−

−

−

Đưa về dạng PTSP :

−

−

• Đặt biến trạng thái :

1

1 1

−

1

x k x k

x k x k

x k x − k

L

d

x k A x k B r k

c k x k

⎧

⎩

2

0

0 ( )

( )

0 ( )

1

x k

x k

⎡ ⎤

⎣ ⎦

L L

M

L

−

• Ví dụ 7.12 Cho hệ thống mô tả bởi hàm truyền

2

3 2

( )

G z

R z z z z

+

Viết lại dạng PTSP :

2 (c k + +3) c k( + +2) 5 (c k + +1) 4 ( )c k = r k( + +2) 3 ( )r k

d

x k A x k B r k

c k x k

⎧

⎩

0

2 1

a a a

7.4.3 Thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục

• Chỉ áp dụng cho các hệ thống có sơ đồ khối :

• Các bước thực hiện :

Bước 1 : Thành lập hệ PTTT hệ liên tục (vòng hở)

( ) C ( )

R

x t Ax t Be t

c t x t

⎧

⎩

&

Bước 2 : Tính ma trận quá độ của hệ liên tục

1

( )s sI A −

Bước 3 : Rời rạc hóa PTTT ở bước 1

d

x k T A x kT B e kT

c kT x kT

⎩

Với :

0

d

( )

( )

d

T

d

B τ Bdτ

= Φ

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

∫

d

x k T A B x kT B r kT

c kT x kT

⎩

Ví dụ 7.14 : Thành lập PTTT mô tả hệ thống

Giải :

Bước 1 : Thành lập PTTT mô tả hệ liên tục

2

( )

s

( )

2

R

E s

s

1 1

2

( )

( )

( )

R

e t

x t

c t x t

x t

⎨

⎩

&

&

−

Bước 2 : Tính ma trận quá độ

s

s

− ⎛ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎞ ⎛⎡ − ⎤⎞

2 1

0

0

2

s

s s

s

+

1

s s s

−

L

2 2

1

2 ( )

0

t

t

e t

e

−

−

Bước 3 : Rời rạc hóa các PTTT của hệ liên tục

d

x k T A x kT B e kT

c kT x kT

⎩

( )

d

t T

=

2

2

0

( )

1 0

2

T

d

e

e

τ

τ

τ

−

−

+

⎣ ⎦

2 0.5

2 0.5

0.092

0.316 1

x

x

e

e

−

−

Cd = C = 10 0

d

x k T A B x kT B r kT

c kT x kT

⎩

d d d

−

7.4.4 Tính Hàm Truyền Hệ Rời Rạc Từ Hệ PTTT

• PTTT hệ rời rạc :

d

x k A x k B r k

c k x k

⎧

⎩

( )

z

G z

R z

Biến đổi Z hệ PTTT :

zX z A X z B R z

⎧

zI A X z B R z

⎧

d d

X z zI A B R z

−

⎨

=

( )z = d zI − A d − B R z d ( )

( )

z

R z

−