chuyên đề nhị thức niuton

đây là toàn bộ phần nhị thức niuton dành cho các bạn tìm đọc..có thể áp dụng vào các dạng toán lớp 10 11...nhằm nâng cao thêm kiến thức bản thân để chuẩn bị cho ngưởng cửa đại học quốc gia.chúc các tân sinh viên thành công

BÀI TẬP NHỊ THỨC NEWTON

A BÀI TẬP MẪU

1 Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức:

2 2

Giải:

Cơng thức khai triển của biểu thức là:

 

 

1

k

n

n





Để số hạng chứa x5

vậy k=2 và n=3 Vậy hệ số của x5 là 2 3

C C 

2 Tính tổng: 0 1 2 1004

2009 2009 2009 2009

    

Giải:

0 1 2 1004

2009 2009 2009 2009

    

 2009 2008 2007 1005

2009 2009 2009 2009

    

S C C C C (2) (vì k  n k

C C )

 0 1 2 1004 1005 2009  2009

2009 2009 2009 2009 2009 2009

2SC C C   C C   C   1 1

2008

2

 S

3 Khai triển và rút gọn biểu thức 1 x 2 ( 1 x)2 n( 1 x)n thu được đa thức

n

n x a x

a a

x

P( )  0  1   Tính hệ số a biết rằng 8 n là số nguyên dương thoả mãn

n C

C n n

1 7 1

3

Giải:

Ta cã



























n n

n n n

n

n n C

) 2 )(

1 (

! 3 7 )

1 ( 2

3 1

7

1

3

§ã lµ 8.C889.C98 89

0 36 5

3















n n

n

Suy ra a lµ hƯ sè cđa 8 x trong biĨu thøc 8 8 ( 1 x)8 9 ( 1 x)9.

4 Tính tổng S C 020092C120093C22009  2010C20092009

Giải:

Xét đa thức:   2009  0  1  2 2   2009 2009

www.hoc247.vn

* Ta cĩ: /  0  1  2 2  2009 2009

f (x) C 2C x 3C x 2010C x

 /  0  1  2   2009

* Mặt khác: f (x) (1 x)/   20092009(1 x) 2008x (1 x)  2008(2010 x) 

f (1) 2011.2/  2008(b)

 Từ (a) và (b) suy ra: S 2011.2  2008

5 Chứngminh k,n Z thõa mãn   3 k n ta luơn cĩ:  

k  k 1  k 2  k  k 3  k 2

Giải:

Ta cĩ: k  k 1  k 2  k  k 3  k 2  k k 1  k 2  k 3  k

 k k 1 k 1 k 2  k 2 k 3 k  k 1 k 2  k  k 1  k 1 k 2

= k  k 1  k

C C C ( điều phải chứng minh)

6 Giải phương trình 1 2 2 3

2

2

C  C  C  C ( k

n

C là tổ hợp chập k của n phần tử) Giải:

ĐK : 2 x 5

x N

 



 



C C  C  C  C C C C C C   (5 x)! 2!   x 3

7 Tính giá trị biểu thức: 2 4 6 100

A C  C  C   C

Giải:

Ta cĩ: 100 0 1 2 2 100 100

1 x C C x C x   C x (1)

 100 0 1 2 2 3 3 100 100

1 x C C x C x C x   C x (2)

Lấy (1)+(2) ta được:

1 x   1 x  2C  2C x  2C x   2C x

Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được

100 1 x  100 1 x  4C x 8C x   200C x

Thay x=1 vào

A  C  C   C

8 Tìm hệ số x3

trong khai triển

n

x

x 









 2 2

biết n thoả mãn: 21  23   22n1  223

n n

C

Khai triển: (1+x)2n thay x=1;x= -1 và kết hợp giả thiết được n=12

Giải:

www.hoc247.vn

Khai triển: 

















0

3 24 12

12 2

2 2

k

k k k

x C x

: C127 27=101376

9 T×m hƯ sè cđa sè h¹ng chøa x2 trong khai triĨn nhÞ thøc Niut¬n cđa

n

x

x 







 4

2 1

biÕt r»ng n lµ sè nguyªn d-¬ng tháa m·n:

1

6560 1

2 3

2 2

2 2

1 2

3 1 2 0













n

C n C

C

n n

n

( k

n

C lµ sè tỉ hỵp chËp k cđa n phÇn tư)

Giải:



0

n n n 2

2 n 1 n 0 n 2

0

n

dx x C x

C x C C dx

)

x

1

(

2

0

1 n n n 3

2 n 2

1 n 0

1 n

1 x

C 3

1 x C 2

1 x





















n

1 n 2

n

3 1 n

2 0

1 n

2 C

3

2 C 2

2 C

2











MỈt kh¸c

1 n

1 3 )

x 1 ( 1 n

1 I

1 n 2 0 1 n











   (2)

n

1 n 2

n

3 1 n

2 0

1 n

2 C

3

2 C 2

2 C 2











1 n

1

3n 1





 

1 n

6560 1

n

1

1 n













































0

4 k 14 k 7 k

k 7

k 7 k 7 7

2

1 x

2

1 x

C x

2

1 x

Sè h¹ng chøa x2 øng víi k tháa m·n 2 k 2

4

k

VËy hƯ sè cÇn t×m lµ

4

21 C 2

1 2

7

10 Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: A 8 C C 1 49

n

2 n

3

Điều kiện n  4

Giải:

Ta cĩ:   









n 0 k

k n k k n

n

x

Hệ số của số hạng chứa x8 là C4n2n4

Ta cĩ: A3n 8C2n C1n 49

 (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49

 n3 – 7n2 + 7n – 49 = 0  (n – 7)(n2 + 7) = 0  n = 7

Nên hệ số của x8

là C423 280

7 

B- BÀI TẬP TỰ LUYỆN :

www.hoc247.vn

1 (CĐ_Khối D 2008) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của

18

5

1

2 









x

x , (x>0)

2 (ĐH_Khối D 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức

2048

1 2 2 3

2

1

n n

n

C là số tổ hợp chập k của n phần tử)

3 (ĐH_Khối D 2007) Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của

x(12x)5+x2(1+3x)10

4 (ĐH_Khối D 2005) Tính giá trị biểu thức

 1!

4 1





 

n

A A

M n n , biết rằng 149

2

2 2 2 2 3 24

2

n

A là số chỉnh hợp chập k của n

phần tử và k

n

C là số tổ hợp chập k của n phần tử)

5 (ĐH_Khối D 2004) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của

7

4











x

x với x>0

6 (ĐH_Khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a 3n3 là hệ số của x 3n3 trong khai triển

thành đa thức của (x2+1)n (x+2) n Tìm n để a 3n3=26n

7 (ĐH_Khối D 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho 0  2 1  4 2   2 n  2048

n n n

n

8 (ĐH_Khối B 2008) Chứng minh rằng k

n k

n k

C n

2

1

1 1 1



























(n, k là các số nguyên dương, k≤n, k

n

C là số tổ hợp chập k của n phần tử)

9 (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của

(2+x) n, biết:

3nCn03n1C n1+3n2C n23n3C n3+ … +(1)n C n n =2048 (n là số nguyên dương, k

n

C là số tổ hợp

chập k của n phần tử)

10 (ĐH_Khối B 2003) Cho n là số nguyên dương Tính tổng

n n n

n n

n C

C C

1

1 2 3

1 2 2

1

3 1 2

0















n

C là số tổ hợp chập k của n phần tử)

11 (ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x) n =a0+a1x+ … +a n x n , trong đó nN* và các hệ số

a0, a1,…a n thỏa mãn hệ thức 4096

2 2

1

0 a  a n n 

a  Tìm số lớn nhất trong các số a0,

a1,…a n

2

2 1 2 2 5

2 3

2 1

2

1 2

1 2 2

1 6

1 4

1 2

1

n

n n

n n

n

n

C n C

C C













( k

n

C là số tổ hợp chập k của n phần tử)

13 (ĐH_Khối A 2006) Tìm số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của

n x









4

1

, biết rằng 21 1  221   2n1  220 1

n n

n

C là số tổ hợp

chập k của n phần tử)

www.hoc247.vn

14 (ĐH_Khối A 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho

2 4 2

3 2

.

1

1









n n

n n

n

C là số tổ hợp chập k của n phần tử)

15 (ĐH_Khối A 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1x)]8

16 (ĐH_Khối A 2003) Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của

n x









3

1

, biết rằng 14 3  7  3

C n n n n , (n nguyên dương, x>0, ( k

n

C là số tổ hợp chập

k của n phần tử)

17 (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức

n x n n

n x x

n n x

n x

n

n x

n

n

x

x

C C

C





























































































































3 1

3 2 1 1 3

1 2 1 1 2

1 0 3

2

1

2 2

2 2

2 2

2

(n là số nguyên dương) Biết rằng trong khai triển đĩ 3 1

5 n

C  và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n

và x

18 (ĐH-A DB2-2005) Tìm hệ số của số hạng chứa 7

x trong khai triển đa thức:  2

2 3  x nbiết rằng n là số nguyên dương thoả mãn: 1 3 5 2 1

C  C  C   C   ( k

n

C là tổ hợp chập k của n phần tử )

19 (ĐH A–DB1-2006) Aùp dụng công thức Newtơn (x2+x)100 Chứng minh rằng:

C    C     C    C   

20 (ĐH-D-2004) Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của

7 3

4

1

x

x

  

  với x > 0

21 (ĐH-A-2004) Tìm hệ số của 8

x trong khai triển của biểu thức: 2  8

22 (ĐH-A-2003) Tìm hệ số của số hạng chứa 8

x trong khai triển nhị thức Newton của:

5 3

x x

  , biết rằng:

1

C C  n ( n là số nguyên dương, x > 0 )

23 (ĐH-D-2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n3là hệ số của 3n 3

x  trong khai triển thành

đa thức của  2   

1n 2 n

x  x Tìm n để a3n3  26 n

24 (ĐH-A-2006) Tìm hệ số của số hạng chứa 26

x trong khai triển nhị thức Newton của:

7

4

x

x

  , biết rằng:

2n 1 2n 1 2n 1 2n n 1 2 1.

C  C  C   C    ( n là số nguyên dương, x > 0 )

25 (ĐH B –DB2-2007) Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: A 8 C C 1 49

n

2 n

3

26 (ĐH D -DB1-2007) Chứng minh với mọi n nguyên dương luơn cĩ

nC n 1C  1 C  1 Cn 1 0

n 1 n 2

n n 2 n 1

n

0

n            

www.hoc247.vn

27 (ĐH A –DB2-2008) Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức Newton (1+3x)2n biết rằng A n3  2A n2  100 (n là số nguyên dương)

28 (ĐH B –DB1-2008) Cho số nguyên n thỏa mãn 35 ( 3 )

) 2 )(

1 (

3 3











n n

n

C

A n n

Tính tổng

n n n n

n

C

S 22. 2 32 3 42 4   (  1 ) 2.

29 (ĐH B –DB2-2008) Khai triển nhị thức Newton

n n n

n n n n

n

n

C x

C x C x

C

x       

)

1

30 (ĐH D –DB1-2008) Chứng minh rằng với n là số nguyên dương

n 0 n 1 1 n 1 n 1

n.2 C  (n 1).2  C  2C    2n.3

31 (ĐH-A-2008) Cho khai triển: 1 2  xn a0 a x1   a x n n. Trong đó *

nN và các hệ số

0 , 1, , n

a a a thỏa mãn hệ thức: 1

n n a a

a     Tìm số lớn nhất trong các số: a a0, , ,1 a n.

32 (ĐH-A-2002) Cho khai triển nhị thức:

1 1







dương ) Biết rằng trong khai triển đó 3 1

5

C  C và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x

33 (ĐH-A-2005) Tìm số nguyên dương n sao cho:

2n 1 2.2 2n 1 3.2 2n 1 4.2 2n 1 2 1 2n 2n n1 2005

34 (ĐH-B-2003) Cho n là số nguyên dương Tính tổng:

n

n

n





35 (ĐH-D-2002) Tìm số nguyên dương n sao cho: 0 1 2

C  C  C   C 

36 (ĐH-D-2005) Tính giá trị của biểu thức:

1 3

,

1 !

M

n

 



 biết rằng:

C  C  C C  ( n là số nguyên dương )

www.hoc247.vn