Bài tập toán ôn tập theo chủ đề

2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi C, hai trục tọa độ và tiệm cận xiên của C 3 Viết phương tình tiếp tuyến với C biết tiếp tuyến song song đường thẳng y = 13x + 5 Bài 11: Tìm các g

CHỦ ĐỀ 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Bài 1: Chứng minh hàm số

1) y x 3(m1)x22(m21)x đồng biến trên  2) ycos2x 2x5 nghịch biến trên 

Bài 2:Tìm các điểm cực trị của hàm số

1) y x 3(1 x)2 2) y x 4 x2 3) y x sin 2x3

Bài 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số:

1) y = 4x3 – 3x4 2) y = x3 – 3x2 + 2 trên đoạn [1 ; 3] 3) y x 2lnx trên đoạn 1; e 

2

x y

x





 trên đoạn [-1; 1] 5) y = cosx sin2x 6) y = 3

1

x x x

 

 trên khoảng (1;)

Bài 4 : Cho hàm số y = x3 – 3x2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc d:x + 9y + 9 = 0 Tìm tiếp điểm 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành

4) Biện luận theo m số nghiệm phương trình : |x|3 – 3x2 – 4 + m = 0

5) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A thuộc (C) có hoành độ bằng 3

Bài 5 :Cho hàm số yx33x2 3x1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Gọi A là giao điểm của (C) với trục tung Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A

3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và d

4) Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị hàm số y x 3 3x23x 1

Bài 6: Cho hàm số y2x2 x4

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình: x4  2x2 2 m0

3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành

4) Xác định k để phương trình 2x2 x4 log2k có 6 nghiệm phân biệt

Bài 7: Cho hàm số y (m 4)x 4

x m



1) Chứng minh hàm số (1) nghịch biến trên từng khoảng xác định với mọi m2

2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 4

3) Tính thể tích vật thể tròn xoay hình phẳng giới hạn bởi (C), 2 trục tọa độ và đường thẳng x = 2 quay quanh trục Ox tạo thành

4) Xác định k để đường thẳng (d) đi qua điểm M(-1; 1) có hệ số góc k cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

Bài 8: Cho hàm số 2 4

1

x y x

 



 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Chỉ ra tâm đối xứng của (C)

1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với mỗi trục tọa độ

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành và đường thẳng x = -4

Bài 9: Cho hàm số

1

y

x



1) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có tiệm cận xiên đi qua điểm A(2; 1)

2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 4

3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), đường tiệm cận xiên của (C) và 2 đường thẳng x = 2,

x = a (a > 2) Tính a để diện tích này bằng 2

4) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm thuộc (C) có tung độ bằng 9

2

Bài 10: Cho hàm số 1 2 18

3

x

y x

x



  

 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Chỉ ra tâm đối xứng của (C)

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), hai trục tọa độ và tiệm cận xiên của (C)

3) Viết phương tình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song đường thẳng y = 13x + 5

Bài 11: Tìm các giá trị của m để:

1) Đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + 3m + 4 cắt trục hoành tại ba điểm phõn biệt

2) Đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + 3m + 4 tiếp xỳc trục hoành Xỏc định tọa độ tiếp điểm

3) Đồ thị hàm số : y = (m + 1)x4 – 4mx2 + 2 cắt trục hoành tại bốn điểm phõn biệt

4) Đồ thị (C) của hàm số : y = –

4

9 x 2 x 4



 tiếp xỳc parabol (P) : y = –x2 + m Khi đú viết phương trỡnh tiếp tuyến chung của (C) và (P) tại mỗi tiếp điểm

5) Đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 4 và đường thẳng d: y = 9x + m cắt nhau tại 3 điểm phõn biệt

Bài 12: Tỡm cỏc giỏ trị m để hàm số:

3

f x  x   x đồng biến trờn R

2) y mx 4

x m





 tăng trờn từng khoảng xỏc định

1

m

y x

x

  

 đồng biến trờn mỗi khoảng xỏc định của nú

4)

3

2

3

x

y  m x  m x đồng biến trờn khoảng (0; 3)

5)

( )

3

f x

x



 đồng biến trờn khoảng (1;)

Bài 13: Chứng minh cỏc bất đẳng thức sau:

2

1) tanx > sinx, 0< x < 2) 1 + 1 1 , 0 < x < +

3) cosx > 1 - , 0 4) sinx > x - , x > 0

x

x



 5) α – sinα < β – sinβ (0 < α < β < π/2) 6) α – tanα > β – tanβ (0 < α < β < π/2)

Bài 14: Tỡm cỏc giỏ trị m để hàm số:

3 5 2 đạt cực đại tại x = 2

ymx  x  x

( ) 5 có cực trị tại x = 1 Khi đó hàm số có CĐ hay CT 3

yx  mx  m x

3)

2

1 đạt cực đại tại x = 2

x mx y

x m





Bài 15: Tỡm cỏc hệ số a, b, c sao cho hàm số: 3 2

f x x  bxc đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm cú tung độ bằng 2

Bài 16: Tỡm cỏc số thực q, p sao cho hàm số ( )

1

q

f x xp

x

 đạt cực đại tại điểm x = -2 và f(-2) = -2

Bài 17: Xỏc định m để đồ thị mỗi hàm số sau cú điểm cực đại và điểm cực tiểu Viết phương trỡnh đường thẳng

đi qua 2 điểm cực trị này ứng với m vừa tỡm được



2

1) y = ( 6) 1 2) y =

x

CHỦ ĐỀ 2: NGUYấN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: Tỡm một nguyờn hàm F(x) của hàm số f(x) = 23x– 2 , biết F(2) = x 64

ln 8

Bài 2: Tớnh cỏc nguyờn hàm sau:

x

(2 3)2

5

2) 2 2

x

dx



 3) cos5 3xsin23x dx 4) 2 2

sin (3x 4)dx

Bài 3: Tớnh cỏc tớch phõn sau:

x

x x

16

1

0

5sin

3xdx





2



dx

x

1

2

x





3

2

sin3 sin 2x xdx







Bài 4: Tớnh cỏc tớch phõn sau:

1) dx

x

e gx



2

4

2

cot

sin





2)

2

6

2

3 cos sin



dx x



2 0

5 cos



dx

x 4)  

2 1

2

2 x dx 5)  

3 1 2

3 x

dx

6)

4 2 4

1 cos

tgx dx x









e

x x

dx

1 10ln 4 8) 

4 0

4

x

x 9)

0 2 1

x dx





1 0

2 1

3 11) 3x x2 1dx

0

3





Bài 5: Tính các tích phân sau:

1)6 2

0

sin 2



x

3 3

0

) 2 3 (

5 2

ln( 1)

x x dx

4

1

ln

e

x xdx

1 2 1

sin

x xdx

x

x



3

4

2

sin





Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số sau:

1) y = x, y = x3 – 3x2 + x , x = -1, x = 2 2) y = x(x – 1)(x – 2) và trục Ox

3) y = x

e 2

1

 , y = ex, x = 1, x = -1 4) y2 = 2x + 1 và y = x – 1 5) y = x2 , y = – x + 2 , y = 0 (x 0) 6) y = x2 , y = 4x2 và y = 4

Bài 7 : Tính thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh Ox tạo thành.

1) y = 2 2

1 x

e

x , y = 0, x = 1, x = 2 2) y = 5x – x2 ; y = 0

3) y =

x

4

và y = – x + 5 4) y = cos2 sin , 0, 0,

2

x x x y x x

Bài 8: Tính thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh Oy tạo thành.

1) y = x2 – 1 , x = 0, y = 0, y = 4 2) y = x3, x = 0, y = 1, y = 2

3) y = lnx, y = 0, x = e 4) y = 3 – x2, x = 0, y = 1

Bài 9: Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi 2 mặt phẳng x = 0 và x = 3, biết rằng thiết diện của vật thể bị

cắt bởi mặt phẳng vuơng gĩc trục Ox tại điểm cĩ hồnh độ x (0 x 3) là hình chữ nhật cĩ kích thước là

x và 2 9 x 2

CHỦ ĐỀ 3 : HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT Bài 1 : Đơn giản biểu thức sau :1) A = 5a5  6 a với a6, 0 2) B = 3 x y6 12  5 xy25 3) C =

a b ab





Bài 2 : So sánh các cặp số sau ( khơng dùng máy tính):

1)

5 2

4

 

 

 

và 1 2) log 5 log 43 và 7 3) log 2 log 30,3 và 5 4) log 10 log 302 và 5 5) 3log 1,1 6 7và log 0,99 6

Bài 3: 1) Choalog 3, 30 blog 5 30 Tính log 135030 theo a và b 2)Cho mlog 3 15 Tính log 15 25 theo m

Bài 4: Vẽ đồ thị hàm số y  Từ đĩ hãy suy ra cách vẽ đồ thị hàm số: a) 2x y 2x

 b) 

2x 2

y

Bài 5: Vẽ đồ thị hàm số ylog2x.Từ đĩ hãy suy ra cách vẽ đồ thị hàm số: a) 1

2

log

y x b) log2

4

x

y  

 

Bài 6: Tính đạo hàm các hàm số sau

1) y 4esinx 32 1x

3

y x  4) y5 ln 43 2 x

Bài 7: Giải các phương trình sau

1) 32 1x 4

 2) 3 2x 3x 576

 3) log (2 x2  4x3) 3 4) log (22 x1 5) x 3

5) log (2 x2  3) log 2 6x10 1 0  6) 3x 1 3x 2 3x 3 9.5x 5x 1 5x 2

Bài 8: Giải phương trình sau

1) 32 5x 3x 2 2

  2) 5x 1 53 x 26

  3) 16 17.4 16 0x x

   4) 4x6x 9x

log 2xlog x  6) lg2 x3 20 lg x 1 0 7) log (3 1).log (33 x 3 x1 3) 12

Bài 9: Giải phương trình sau:1) 2

3 2x x 1

 2) 32 log  3x 81x

 3) log (93 x72) x 3 5) log3x 4 x

Bài 10: Giải các bất phương trình sau:

1)

2

0

x x

   

   

    2) 4x1 16x 2 log 84

  3) log (0,5 x2 5x6)1 4) log4x1 1

5) log20,5xlog0,5x 2 0 6) 1 2 3

3

log (x  6x5) 2 log (2  x) 0 7)  1 

1 5

log 6x 36x 2

Bài 11: Tìm tập xác định của hsố sau:1) y = ln(2x 1 4 )x

2

3

2 log ( x  5) 3) y log (20,8 x1) 2

Bài 12: Giải hệ phương trình sau:

1)

20

x y

 





5

3 2 1152

x y

x y







3 2 6

3 3 27

x y

x y









lg lg 3

xy

x y











CHỦ ĐỀ 4: SỐ PHỨC Bài 1: Tính căn bậc hai của số phức sau: 1) z 16 2) z4i 3) z 4 8i 4) z 5 12i

Bài 2: Giải các phương trình sau:

1) (iz3)(z22z5) 0 2) z2 9 0 3) z2 7 24 i0 4) z2 2 1 2z  i0 6) z  4 4 0

Bài 3: Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp, biểu diễn hình học và tính môdun của số phức sau:

1) 2 (1 )(4 3 )

3 2

i

1 2

i

 

3

1 2 1

i i





  4) (1 )i 2006

Bài 4: 1) Cho 3 cos sin ; ' 4 cos sin

z    i   z    i  

z z z z

z z , căn bậc hai của z’

2) Tính: a)  3 i 15 b) 2 3 2i 8 c) (2 2 ) i 10

Bài 5: Biểu diễn sin3 , cos3 , sin 4 , cos4     theo sin , cos 

CHỦ ĐỀ 5: KHỐI ĐA DIỆN

Bài 1 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, ASC = 600

1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

2) Tính diện tích xung quanh của hình nón ngoại tiếp, hình nón nội tiếp hình chóp S.ABCD

Bài 2 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600

1) Tính thể tích khối chóp S.ABC

2) Tính diện tích xung quanh của hình nón ngoại tiếp, hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC

Bài 3 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = 2a, A = 300, SA(ABC) và

SAC cân Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC

1) Tính thể tích khối chóp S.ABC 2) Tính diện tích và thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC 3) Chứng minh 5 điểm A, B, C, E, F cùng thuộc một mặt cầu

Bài 4 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a, đường

chéo BC’ của mặt bên hợp với đáy góc 600

1) Tính thể tích của lăng trụ 2) Tính diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp lăng trụ

Bài 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, các SAB SAC, là các tam giác

vuông và SC hợp với đáy góc 450

1) Tính thể tích khối chóp S.BCD 2) Tính thể tích và diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Bài 6 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng V.

1) Tính độ dài cạnh của hình lập phương Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

2) Mặt phẳng (D’AC) chia khối lập phương thành 2 phần Tính tỉ số thể tích 2 phần này

Bài 7: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a

1) Tính thể tích tứ diện ABCD

2) Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm AB, AC Tính thể tích khối chóp D.BCC’B’

Bài 8: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, điểm A’ cách đều các

điểm A, B, C và cạnh bên AA’ hợp với đáy góc 600

1) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ 2) Tính thể tích khối chóp A.BCC’B’

CHỦ ĐỀ 6: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN Bài 1: Một mặt phẳng đi qua trục của hình trụ T, cắt hình trụ theo thiết diện là 1 hình vuông cạnh bằng 2R.

1) Tính diện tích xung quanh của T 2) Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều nội tiếp hình trụ T.

3) Tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ

Bài 2: Cắt hình nón N bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều

có cạnh bằng 2a

1) Tính diện tích xung quanh của N 2) Tính thể tích khối chóp tứ giác đều nội tiếp hình nón

Bài 3: Cho một hình lập phương có cạnh bằng a Tính thể tích và diện tích mặt cầu bán kính đi qua 8 đỉnh của

một hình lập phương đó

Bài 4: Cho hình nón N có bán kính đáy bằng R , đường cao SO Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc SO tại O1 sao cho SO1 = 1

3SO Một mặt phẳng qua trục hình nón, cắt hình nón N phần nằm giữa (P) và đáy hình nón N theo thiết diện là tứ giác có 2 đường chéo vuông góc nhau Tính diện tích xung quanh và thể tích phần hình nón N

nằm giữa (P) và đáy hình nón N

CHỦ ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài 1: Trong kg tọa độ Oxyz cho 3 điểm A, B, C với OA i  2j3k

, OB   3i 2j

, OC4i2j5k

1) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng của A qua trục Ox, điểm C’ đối xứng của C qua mp(Oyz)

2) Chứng minh ABC vuông tại A Tìm tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC

3) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác BACD là hình chữ nhật

Bài 2 : Cho 4 điểm A(2 ; 4 ; -1), B(1 ; 4 ; -1), C(2 ; 4 ; 3), D(2 ; 2 ; -1).

1) Viết phương trình mp (ABC) Chứng tỏ A, B, C, D là 4 đỉnh của 1 tứ diện Tính SBCD

2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc trục Ox và đi qua 2 điểm A, B

3) Tìm điểm M trên mặt phẳng (Oyz) sao cho 3 điểm C, D, M thẳng hàng

Bài 3: Cho A(1; 2; -2), B(2; 0; -1) và mặt phẳng ( ): 2x + y – 2z + 2 = 0.

1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua 2 điểm A, B và  mp(Oyz)

2) Viết phương trình mặt phẳng (T) đi qua các hình chiếu của điểm A lên các trục tọa độ

3) Viết phương trình mặt phẳng (  ) đi qua điểm A và song song mặt phẳng ( ) Tính khoảng cách giữa

2 mặt phẳng ( ) và (  )

Bài 4 : Cho đường thẳng (d) = (α)∩(α’) với (α):2x – y + z + 5 = 0, (α’) : 2x – z + 3 = 0 và điểm A(1; 2;-1)

1) Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng (d)

2) Tìm điểm H là hình chiếu của điểm A lên (d) Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc (d) 3) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (d’) đi qua điểm A và song song (d)

Bài 5 : Cho 2 đường thẳng (d1):

1 2

2 2

x











; (d2):





















 4

3 5 2

z

t y

t x

, t  R và điểm A(2; 1; -1)

1) Chứng tỏ (d1) và (d2) chéo nhau

2) Chứng tỏ A không thuộc d1 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d1) và đi qua điểm A

3) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) và song song (d2) Tính khoảng cách giữa d1và d2

4) Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua điểm A và d d1 , d d2

Bài 6 : Cho 2 đường thẳng (d1) : 1 7 3

   ; (d2) :  x 6 3 ,t y 1 2 ,t z 2 t

1) Chứng tỏ (d1) và (d2) cắt nhau 2) Viết phương trình mặt phẳng chứa (d1) và (d2)

Bài 7 : Cho 2 đường thẳng (d1) :  x 2 4 ,t y6 ,t z 1 8t ; (d2) : 7 2

1) Chứng tỏ (d1) và (d2) song song với nhau 2) Viết phương trình mặt phẳng chứa (d1) và (d2)

Bài 8: Cho mặt phẳng ( ): x – 2 y + 2z – 6 = 0 và điểm A(-2; 1; -1).

1) Viết phtr đường thẳng d đi qua A và vuông góc ( ) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng của A qua ( ) 2) Viết phtr mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc mặt phẳng ( ) Tìm tọa độ tiếp điểm của (S) và ( ) 3) Viết phương trình mặt phẳng (P) song song mặt phẳng ( ) và tiếp xúc mặt cầu (S)

4) Mặt phẳng ( ) cắt các trục Ox Oy và Oz lần lượt tại các điểm B, C và D Viết phương trình mặt cầu (S’) ngoại tiếp tứ diện OBCD Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu này

5) Tìm điểm M trên mặt phẳng ( ) sao cho 3 điểm A, O, M thẳng hàng (O là gốc tọa độ)

Bài 9: Cho mặt phẳng ( ): 2x + 2y + z + k = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z = 0

1) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu (S)

2) Mặt cầu (S) cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C khác gốc tọa độ Tính thể tích tứ diện OABC

3) Tìm tọa độ giao điểm của mặt cầu (S) với đường thẳng (d) đi qua 2 điểm M(1; 1; 1) và

N(2; -1; 5) và viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại các giao điểm đó

4) Biện luận theo k vị trí tương đối của mặt cầu (S) với mặt phẳng ( )