Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn toán

IV.VẤN ĐỀ 4:Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số 1.Sự tương giao của hai đường cong Bài toán:Cho hai hàm số y= f x có đồ thị C và hàm số y =g x có đồ thị C’.Hãy biện luận hoặc

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TỐT NGHIỆP CHƯƠNG I :ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

I.VẤN ĐỀ 1:Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y= f x( )

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f x( ) tại điểm

( ; )

M x y là

y y− 0 = f x x x'( )( − 0) (1)

1.Dạng 1: Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là x 0

Tính y0 = f x( )0 và f x rồi thay vào công thức (1) sẽ được kết '( )0 quả

2.Dạng 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k.

Cách giải: Giải phương trình f x '( )0 =k sẽ được x rồi tính 0 y0 = f x( )0 Sau đó thay vào công thức (1) sẽ được kết quả

Chú ý: Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y ax b= + thì ta có f x'( )0 =a

Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y ax b= + thì ta có f x'( )0 1

a

= −

3.Dạng 3: Biết tiếp tuyến đi qua điểm ( ;A x y A A)

Cách giải: Giải phương trình y A − f x( )0 = f x'( )(0 x A −x0) sẽ được x rồi tính0

y = f x và f x Sau đó thay vào công thức (1) sẽ được kết quả.'( )0

BÀI TẬP Bài 1:Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y=x2 −2x−1 a.Tại điểm có tung độ bằng 2 (đáp số: y= − −4x 2 ; y=4x−10 )

b.Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −x 1 (đáp số: 13

4

y= −x )

Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y =x3−3x2 +1 a.Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất (đáp số : y= − +3x 2 )

b.Tiếp tuyến đi qua điểm A(0;1) (đáp số: y=1 và 9 1

4

y= − x+ )

Bài 3:Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 2 3

1

x y x

+

= +

a.Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=4x−3

(đáp số : 1 11

y= − x+ và 1 3

4 4

y= − x+ ) b.Tiếp tuyến đi qua điểm A(-1;3) (đáp số : 1 11

y= − x+ )

Bài 4:Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y=x4 −4x2 +2 a.Tại điểm A(0;2) (đáp số : y=2 )

b.Tiếp tuyến đi qua A(0;2)

Bài 5.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số : 4 3

1

x y x

−

=

− biết

tiếp tuyến hợp với trục hoành một góc 450 (đáp số :

y = − +x y= − +x )

Bài 6:Tìm m để đường thẳng y= − −6x 3 tiếp xúc với đường cong ( )C m :y =x4 −(3m+5)x2 +(m+1)2 tại điểm có hoành độ bằng -1.(đáp

số:m=-2)

Bài 7:Tìm m để tiếp tuyến với đường cong : y (3m 1)x m m2

x m

=

+ tại

giao điểm của đường cong với trục hoành sao cho tiếp tuyến song song với đường thẳng y= +x 10 ( đáp số : 1; 1

5

m= − m= − )

Bài 8: Tìm m để đường cong ( ) : 2 2

1

m

x mx m

C y

x

=

+ cắt trục hoành tại hai

điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến tại hai điểm đó với ( )C là m

vuông góc với nhau

(đáp số : m= ±4 17 )

II.VẤN ĐỀ 2: Cực trị của hàm số

Các quy tắc tìm cực trị của hàm số y = f x( ) trên khoảng (a;b)

1.Quy tắc 1:Lập bảng biến thiên của hàm số y= f x( ) trên

khoảng (a;b) Từ bảng biến thiên đó ta suy ra cực trị của hàm số

2.Quy tắc 2:Giả sử hàm số y = f x( ) có đạo hàm đến cấp 2 trên khoảng (a;b) chứa điểm x và 0 f x'( ) 00 = Khi đó

.Nếu f x''( ) 00 < thì hàm số ( )f x đạt cực đại tại điểm x0

Nếu f x''( ) 00 > thì hàm số ( )f x đạt cực tiểu tại điểm x0

BÀI TẬP Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:

a 2 82 24

4

x x

y

x

= (đáp số: CT(1;5) ,CĐ(4;2) )

b 2

4

x

y

x

=

+ (đáp số :

1 ( 2; ) ; 4

CT − − CĐ(2; )1

4 )

c.y=x 3−x (đáp số : CĐ(2;2) )

d.y= x2 −2 x +2 (Đáp số:CT ( 1;1)± ,CĐ(0;2) )

Bài 2.Tìm cực trị của các hàm số sau:

a.y=sin2 x− 3 cosx,x∈[ ]0;π (đáp số: CĐ 5 ;7

4 4

π

b.y=2sinx+cos 2x ,x∈[ ]0;π (đáp số :CT ;1

2

π

3

;

6 2

π

5 3

;

6 2

π

Bài 3:Tìm các số a,b,c sao cho hàm số f x( )= x3 +ax2 +bx c+ đạt cực tiểu tại điểm x=1; (1)f = −3 và đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2

(đáp số : a=3;b=-9;c=2 )

Bài 4.Tìm m để hàm số y= x3 −3mx2 +(m2 −1)x+2

a.Đạt cực đại tại điểm x=2.(đáp số :m=11)

b.Đạt cực tiểu tại điểm x=1 (đáp số : m= −3 7 )

Bài 5 Chứng minh rằng hàm số : 22 2

2 2

x x m y

= + + luôn luôn có hai cực

trị với mọi m

Bài 6.Tìm m để hàm số : 2

1

x x m y

x

− +

= + có hai giá trị cực trị cùng dấu.

( 2 1

4

m

− < < )

III.VẤN ĐỀ 3:Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1.Cách tìm GTLN và GTNN của hàm số y= f x( ) trên khoảng (a;b)

Lập bảng biến thiên của hàm số y= f x( ) trên khoảng (a;b) Từ bảng biến thiên đó ta sẽ tìm được GTLN và GTNN của hàm số

( )

y = f x trên khoảng (a;b)

2 Cách tìm GTLN và GTNN của hàm số y = f x( ) trên đoạn [a;b]

.Giải phương trình y’=0 với x∈[ ]a b; Giả sử được các nghiệm là

1, , ,2 n

x x x

.Tính f x( ), ( ), , ( ), ( ), ( )1 f x2 f x n f a f b

.Số lớn nhất trong các giá trị trên là giá trị lớn nhất

Số nhỏ nhất trong các giá trị trên là giá trị nhỏ nhất

BÀI TẬP Bài 1.Tìm GTLN và GTNN của các hàm số

a f x( )= x3 +3x2 −9x+1 trên đoạn [-4;4].(

max ( )f x = f(4) 77; min ( )= f x = f(1)= −4 )

b f x( )=x3+5x−4 trên đoạn [-3;1] (

max ( )f x = f(1) 2; min ( )= f x = f( 3)− = −46 )

c f x( )= x4 −8x2 +16 trên đoạn [-1;3] (

max ( )f x = f(3) 25; min ( )= f x = f(2) 0= )

d ( )

2

x

f x

x

= + trên nửa khoảng (-2;4] (

2 max ( ) (4)

3

f x = f = )

e ( ) 2 1

2

f x x

x

= + +

− trên khoảng (1;+∞).( min ( )f x = f(2) 5= )

( ) 1 (max ( ) ( ) ; min ( ) ( )

f x = x −x f x = f = f x = f − = − )

Bài 2 Tìm GTLN và GTNN của các hàm số

a 4 3

( ) 2sin sin

3

f x = x− x trên đoạn [ ]0;π (

3 2 3 max ( ) ( ) ( ) ; min ( ) (0) ( ) 0

f x = f π = f π = f x = f = f π = )

b ( )f x = 2 cos 2x+4sinx trên đoạn 0;

2

π

 (

max ( ) ( ) 2 2; min ( ) (0) 2

4

f x = f π = f x = f =

)

c f x( )= x2 −ln(1 2 )− x trên đoạn [-2;0] (

1 1 max ( ) ( 2) 4 ln 5; min ( ) ( ) ln 2

2 4

d 3 23

( ) sin cos 2 sin 2 (max ( ) 5; min ( ) )

27

f x = x− x+ x+ f x = f x =

e f x( ) cos= 3 x−6cos2+9cosx+5 (max ( ) 9 , min ( )f x = f x = −11)

Bài 3.Trong các tam giác vuông mà cạnh huyền có độ dài bằng

10.hãy xác định tam giác có diện tích lớn nhất (Tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 5 2 )

IV.VẤN ĐỀ 4:Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số 1.Sự tương giao của hai đường cong

Bài toán:Cho hai hàm số y= f x( ) có đồ thị (C) và hàm số

( )

y =g x có đồ thị (C’).Hãy biện luận (hoặc tìm giao điểm) của hai đường cong trên

Cách giải:

.Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là: ( )f x =g x( ) (*)

Số giao điểm của hai đường cong (C) và(C’) chính là số nghiệm của phương trình (*)

Biện luận :

a.Nếu ( ) ( ')C ∩ C = ∅ thì phương trình (*) vô nghiệm

b.Nếu ( ) ( ')C ∩ C =n điểm chung thì phương trình (*) có n nghiệm

2.Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình

Bài toán: Cho phương trình ( , ) 0f x m = (*) với m là tham số.Hãy

dùng đồ thị (C ): y = f x( )

Biện luận theo m số nghiệm của phương trình (*)

Cách giải :

Biến đổi phương trình (*) ⇔ f x( )= g m( ) (**)

Phương trình (**) chính là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) với đường thẳng

d:y =g m( ) ( d song song hoặc trùng với trục Ox )

Biện luận :

d∩( )C = ∅⇒phương trình (*) vô nghiệm

d∩( )C =n điểm ⇒phương trình (*) có n nghiệm

V.Khảo sát hàm số

Bài 1.cho hàm số: 1 3

3 4

y= − x + x có đồ thị (C ) a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số

b.Viết pttt với đồ thị (C )biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= −9x

c.Dựa vào đồ thị (C ) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:x3−12x−4m=0

d.Đường thẳng d đi qua gốc toạ độ và có hệ số góc k Tìm k để d cắt (C ) tại 3 điểm phân biệt

e.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ) và trục Ox

Đáp số: b y = − ±9x 32 ; d.k<3 e S=10

Bài 2.Cho hàm số :y =x3+3x2 +mx m+ −2 (C m)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m=3

b Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên tập xác định

c Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = -2

d Tìm m để (C m) tiếp xúc với trục Ox.

Đáp số: b m>3 ; c.m=0 ; d.m=3

Bài 3.Cho hàm số :y= x3 −6x2 +9x−1 có đồ thị là (C )

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số

b Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ) và đường thẳng y

=3

c Từ đồ thị (C ) suy ra đồ thị (C’) của hàm số :y= x3 −6x2 +9 x −1

Đáp số: b. 27

4

S = ; c.Đồ thị (C’) đối xứng với nhau qua trục Oy

Bài 4.Cho hàm số :y=2x2 −x4 có đồ thị (C )

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số

b Viết pttt với đồ thị (C ) biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ

c Dựa vào đồ thị (C ) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:x4 −2x2 + − =m 1 0

Đáp số: b. 0 ; 4 30

25

y = y= ± x

Bài 5.Cho hàm số :y =(m+1)x4 −4mx2 +2 (C m)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m=1

b Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ) và đường thẳng y =2

c Biện luận theo m số cực trị của hàm số

d Tìm m để đồ thị (C m) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt

Đáp số: b. 32 2

15

S = ; d.m>1

Bài 6 Cho hàm số y=x4 −2(m+1)x2 +2m+1 (C m)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m=0

b Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ) và trục Ox

c Tìm m để đồ thị (C m) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt và hoành độ của 4 điểm đó lập thành một cấp số cộng

Đáp số : b. 16

15

S = c 4; 4

9

m= m= −

Bài 7.Cho hàm số : 3

2

x y

x

−

=

− có đồ thị là (C )

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số

b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= − +x 1

c.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ),trục Ox và đường thẳng x=5

d.Tìm các điểm M trên đồ thị (C ) và cách đều hai trục toạ độ

Đáp số: b y= − −x 1;y= − −x 3 ; c.S = −2 ln 3; d 1 13 1; 13

Bài 8.Cho hàm số : ( 1) 3

2

y

mx

=

+ có đồ thị là (C m)

a.Tìm m để (C m)đi qua điểm (0; )5

2

b Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số với

m vừa tìm được

c.Tìm các điểm M trên đồ thị (C ) có toạ độ là các số

nguyên

d.Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định của nó

Đáp số:a.m=2; b.(1;2) và (-3;1) ; d -2<m<1

Bài 9.Cho hàm số : 1

1

x y x

−

= + có đồ thị là (C )

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số

b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) biết tiếp tuyến đi qua A(-1;2)

c Tìm toạ độ điểm M trên (C ) sao cho tổng khoảng cách từ M đên hai đường tiệm cận là nhỏ nhất

d Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ),trục Ox và đường thẳng x=3 quay quanh trục Ox

Đáp số:b. 1 17

y= x+ ; c.M(− ±1 2;m2) ; d.V =π(3 4ln 2)−

Bài 10.Cho hàm số : 3 1

1

y x

x

= − + −

− có đồ thị (C ).

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số

b Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ),tiệm cận xiên và hai đường thẳng x=2,x=4

c Gọi M là điểm thay đổi trên (C ).Chứng minh rằng tích hai

khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất

d Tìm m để đường thẳng y= m cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB= 5

Đáp số: b.S=ln3; c d(tcđ;tcx)=1(không đổi) ; d.m=-1 và m=5

Bài 11.Cho hàm số : 2 1 ( )m

x x m

x

− +

= +

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số với

m =-6

b Tìm trên đồ thị (C ) các điểm có toạ độ là các số nguyên

c Tìm m để hàm số có hai giá trị cực trị trái dấu

Đáp số: b.(0;-6),(-2;0),(3;0),(-5;6),(1;-3),(-3;-3) ; c. 2 5

2

m

− < <

x mx m

x m

=

−

a.Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại và cực tiểu với mọi m và

y CD+ y CT =0

b.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số với m

=1

c Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 4 3

3

y= − x+

d Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ),trục Oy ,tiệm cận xiên và đường thẳng y=-4

Đáp số: c. 3 7; 3 19

y = x− y= x+ ; d.S=ln5

CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC

Tóm tắt kiến thức cần nhớ

.Tập hợp số phức : £

.Số phức có dạng:z= +a bi ( ,a b∈¡ ,i là đơn vị ảo và i2 =1,a là phần thực,b là phần ảo)

.z là số thực ⇔ =b 0 và z là số ảo ⇔ =a 0

.Hai số phức bằng nhau:

a bi c di+ = + ⇔ =a c b d, =

.Biểu diễn hình học:số phức z= +a bi được biểu diễn bởi điểm M(a;b) hoặc vectơ

( ; )

ur = a b

.Cộng,trừ hai số phức:

( ) ( ) ( ) ( )

a bi c di a c b d i

a bi c di a c b d i

Số đối của z= +a bi là − = − −z a bi

.Nhân hai số phức:

(a bi c di+ )( + ) (= ac bd− ) (+ ad bc i+ )

Số phức liên hợp của số phức z = +a bi là z a bi= −

z là số thực ⇔ z z= và z là số ảo ⇔ z = −z

Môđun của số phức z= +a bi là z = a2 +b2 = z z

.Chia hai số phức :

a bi (a bi c di2 )( 2 ) (ac bd2) (ad bc i2 )

.Căn bậc hai của số phức :

z là căn bậc hai của số phức w⇔z2 =w

z x yi= + là căn bậc hai của số phức w a bi= +

2

x y a

xy b



Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0

Số phức khác 0 có đúng hai căn bậc là hai số đối nhau

Số thực a>0 có hai căn bậc là hai số đối nhau là± a

Số thực a<0 có hai căn bậc là hai số đối nhau là± a i

.Phương trình bậc hai : Az2 +Bz C+ =0( , ,A B C là các số phức cho trước

và A≠0 )

∆ =B2 −4AC

Nếu ∆ =0thì phương trình có nghiệm kép là:

2

B z

A

= −

Nếu ∆ =0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt : 1,2 (

2

B z

Aδ δ

− ±

một căn bậc hai của ∆ )

.Dạng lượng giác của số phức:

(cosr ϕ+isin ) (ϕ r>0) là dạng lượng giác của số phức z= +a bi

r a2 b2 ,cos a ,sin b

⇔ = + = = , ϕ là một acgumen của z ,ϕ =(Ox OM, )

.Nhân ,chia số phức dưới dạng lương giác;

Nếu z=r(cosϕ+isin ), 'ϕ z =r'(cos 'ϕ +isin ')ϕ thì ta có

' '[cos( ') sin( ')] ; [cos( ') sin( ')]

' '

z r

z r

.Công thức Moa-vrơ: Với n là số nguyên , n≥0

[ (cosr ϕ+isin )]ϕ n =r n(cosnϕ+isinnϕ)

.Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác;

Căn bậc của số phức (cosr ϕ+isin ) (ϕ r >0) là (cos sin )

r ϕ +i ϕ và

r ϕ i ϕ r ϕ π i ϕ π

BÀI TẬP Bài 1.Thực hiện phép tính

a

2 2

i

−

Đáp số : 4 6 ;

13 13

a + i b 1 3 1 3 ; 2 3 ; 16 13

Bài 2.Cho số phức : 1 3

2 2

z = − + i Hãy tính : ( )3

1

; ;z z ; z ; 1 z z

Đáp số : 1 3 ; 1 3 ; 1 3 ;1;0

2 2 i 2 2 i 2 2 i

Bài 3.Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các

số phức z thoả mãn mỗi

Điều kiện sau :

a z i 1; b z i 1; c z z 3 4 ;i d.1 z 2

z i

−

+

Đáp số :a.Đường tròn tâm I (biểu diễn số i )bán kính bằng 1

b.Trục thực ; c.Hiønh vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn (O;1) và (O;2)

d.Đường trung trực của đoạn thẳng OA với A(3 4i+ )

Bài 4.Tìm nghiệm phức của các phương trình sau:

).( 3 ) 6( 3 ) 13 0 ).( 1) ( 3) 0

Đáp số: ).1 2 ; ) 1 3 ; )8 4 ; ) ; 3 ; 2 3 ; )3 ; )1 2 ; 1

10 10 5 5

a + i b − + i c − i d − −i i + i e i i f− ± i − ±i

Bài 5 Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:

)8 6 ;a − i b) 1 4 3 ;− + i c)4 6 5 ;+ i d) 1 2 6− − i

Đáp số: ) 3 a ± ±i ; )b ± 3 2 ;± i c) 3± ± 5i d) 2± ± 3i

Bài 6 Viết dạng lượng giác của các số phức:

)1 3 ;(1 3)(1 );1 3 )2 ( 3 ) ) 1

i

−

Bài 7.Tìm một acgumen của mỗi số phức sau