CHUYÊN ĐỀ TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016

Và có 2 4 A cách sắp xếp vào vị trí hàng trăm và hàng chục... Bây giờ ta đi tìm số có hai chữ số chẵn nằm liền nhau.. Ta coi hai chữ số nằm liền nhau như một khối thống nhất.. Khối thống

DẠNG 2: BÀI TOÁN ĐẾM CÓ LIÊN QUAN ĐẾN SỐ TỰ NHIÊN

+Số tự nhiên n ab= trong đó a b, ∈{0,1, 2, ,9 ,} a≠ 0

+Số ab= 10a b+ , abc= 100a+ 10b c+

+Số ab ba≠

1 Tính số các số tự nhiên liên quan đến so sánh các số, các chữ số:

Ví dụ 1:

Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau và số đó

a) Lớn hơn 400?

b) Không nhỏ hơn 666?

c) Nhỏ hơn 345?

*Lời giải:

a/ Gọi số cần tìm là x abc=

Vì x>400 nên a≥4, suy ra a có 6 cách chọn và bc có 2

8

A cách chọn

Vậy có tất cả 6× 2

8

A =336 số

b/ Gọi số cần tìm là x abc=

Từ x≥666 suy ra a≥6, ta có các trường hợp sau:

*TH1: Với a∈{7;8;9} khi đó b,c chọn tuỳ ý Ta có :

a có 3 cách chọn

bc có A cách chọn 82

Suy ra có 3 A× 82=168 số

*TH2: Với a=6 khi đó b>6 và c chọn tuỳ ý Ta có:

a có 1 cách chọn

b có 3 cách chọn

c có 7 cách chọn

Suy ra có 1.3.7=21 số

Vậy có tất cả 168+21=189 số thoả mãn yêu cầu bài toán

c/ Vì x<345 nên a∈{1;2;3} ta có các TH sau:

*TH1: Với a∈{ }1;2 khi đó b,c chọn tuỳ ý Ta có :

a có 2 cách chọn

bc có A cách chọn 82

Suy ra có 2

8

3 A× =112 số

*TH2: Với a=3 khi đó b∈{1;2;4}

Xảy ra 2 khả năng:

KN1: Nếu b∈{ }1;2 thì c chọn tuỳ ý Do đó:

a có 1 cách chọn

b có 2 cách chọn

c có 7 cách chọn

Suy ra có 1.2.7=14 số

KN2: Nếu b=4 thì c<5 nên c∈{ }1;2 Do đó có 2 số cần tìm

Vậy có tất cả 112+14+2=128 số thoả mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 2:

Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau từng đôi một sao cho trong năm chữ số đó chữ số hàng trăm là lớn nhất?

*Lời giải :

Gọi số cần tìm là x abcde=

*Gọi P là tập gồm 5 chữ số khác 0

Số cách chọn P là C95

Với mỗi cách chọn P như trên thì:

c có 1 cách chọn

abde có 4! cách chọn

Do đó với mỗi tập P như trên ta được 4! số x cần tìm

Vậy số x được lập trong trường hợp này là : 5

9

C 4! (số).

*Gọi Q là tập chứa chữ số 0 và 4 chữ số khác 0

Số cách chọn Q là C94

Với mỗi cách chọn Qnhư trên thì:

c có 1 cách chọn

a có 3 cách chọn

bde có 3 cách chọn

Do đó với mỗi tập Q như trên ta được 3.3! số x cần tìm

Vậy số x được lập trong trường hợp này là : 4

9

C 3.3! (số).

Vạy có tất cả là:

5 9

C 4!+ 4

9

C 3.3! =5292 (số)

2 Tính số các số tự nhiên liên quan đến tính chia hết:

*Dấu hiệu chia hết của số tự nhiên:

+dấu hiệu chia hết cho 2 là có chữ số tận cùng là số chẵn:0,2,4,6,8

+dấu hiệu chia hết cho 3 là tồng các chữ số là một số chia hết cho 3

+dấu hiệu chia hết cho 4 là có hai chữ số tận cùng tạo thành 1 số chia hết cho 4 +dấu hiệu chia hết cho 5 là có chữ số tận cùng là 0, 5

+dấu hiệu chia hết cho 6 là số chia hết cho cả 2 và 3

+dấu hiệu chia hết cho 9 là tổng các chữ số là một số chia hết cho 9

+dấu hiệu chia hết cho 10 là có chữ số tận cùng là 0

+dấu hiệu chia hết cho 11 là tổng các chữ số ở vị trí lẻ trừ tổng các chữ số ở vị trí chẵn bằng 0

+dấu hiệu chia hết cho 25 là có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 25

Ví dụ 3:

Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau thoả mãn

a) số đó là số chẵn?

b) số đó chia hết cho 5?

*Lời giải :

Gọi số cần tìm là x abcde a= , ≠0

a/ Vì x là số chẵn nên e∈{0;2;4;6;8}

+TH1: Với e=0:

Khi đó a có 9 cách chọn , bcd có A cách chọn 83

Suy ra có 9.A =3024 số.83

+TH2: Với e≠0

Khi đó e có 4 cách chọn , a có 8 cách chọn , bcd có A cách chọn 83

Suy ra có 4.8.A =10752 số.83

Vậy có tất cả 3024+10752=13776 số cần tìm thoả mãn yêu cầu bài toán

b/ Vì x chia hết cho 5 nên e∈{ }0;5

+TH1: Với e=0:

Khi đó a có 9 cách chọn, bcd có 3

8

A cách chọn

Suy ra có 9.A =3024 số.83

+TH2: Với e=5:

Khi đó a có 8 cách chọn, bcd có 3

8

A cách chọn

Suy ra có 8 3

8

A =2688 số.

Vậy có tất cả 3024+2688=5712 số cần tìm thoả mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 4:

Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có thoả mãn a/ có 4 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 5.

b/ có 3 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 3.

c/ có 3 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 9.

*Lời giải :

a/ theo dấu hiệu chia hết thì số cần tìm chia hết 5 nên nó có hàng đơn vị là 0 hoặc 5

+ nếu chữ số hàng đơn vị là 0 thì cách sắp xếp các chữ số từ 1 đến 5 vào 3 vị trí còn lại có : 3

5

A số dạng này

+ nếu chữ số hàng đơn vị là 5 thì có 4 cách sắp xếp chữ số hàng nghìn Và có 2

4

A

cách sắp xếp vào vị trí hàng trăm và hàng chục

Nên ta có : 4 2

4

A số dạng này

Vậy có tất cả : 3

5

A +4 2

4

A =96 số

b/ Giả sử số cần tìm có dạng x abc a= , ≠0,a b c≠ ≠ ,

Vì xM3 nên (a b c+ + )M 3 Xét các trường hợp sau:

*(a b c, , ) (∈{ 0,1, 2 , 0, 4,5 , 0, 2, 4 , 0,1,5) ( ) ( ) ( ) } Trong TH này có 4 bộ số , mỗi bộ có thể

tạo thành (3!-2!) số

Vậy có 4 (3!-2!)=16 số trong TH này

*(a b c, , ) (∈{ 1, 2,3 , 2,3, 4 , 3, 4,5 , 1,3,5) ( ) ( ) ( ) } Trong TH này có 4 bộ số , mỗi bộ có thể

tạo thành 3! số

Vậy có 4 3!=24 số trong TH này

Vậy có tất cả 16+24=40 số

c/ Vì số cần tìm x chia hết cho 9 nên (a b c+ + )M 9

Xét các TH sau:

*(a b c, , ) (= 0, 4,9) ⇒có 3! -2! =4 số được tạo thành.

*(a b c, , ) (= 2,3, 4)⇒ có 3! =6 số được tạo thành.

*(a b c, , ) (= 1,3,5) ⇒ có 3!=6 số được tạo thành.

Vậy có tất cả 4+6+6=16 số cần tìm

Ví dụ 5:

Từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có thoả mãn a/ có 4 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 11.

b/ có 4 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 25.

c/ có 4 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 4.

*Lời giải :

Gọi số cần tìm là x abcd a b c d= , , , , ∈{1,2, ,5},a b c d≠ ≠ ≠

a/ Vì xM11 nên ta có các TH sau:

TH1: { }

{ }

, 1, 4 ó 2! ách

, 2,3 ó 2! ách



{ } { }

, 1, 4 ó 2! ách , 2,3 ó 2! ách



Vậy số dạng này có 2!.2!.2=8 số

TH2: { }

{ }

, 2, 4 ó 2! ách

, 1,5 ó 2! ách



{ } { }

, 2, 4 ó 2! ách , 1,5 ó 2! ách



Vậy số dạng này có 2!.2!.2=8 số

TH3: { }

{ }

, 3, 4 ó 2! ách

, 2,5 ó 2! ách



{ } { }

, 3, 4 ó 2! ách , 2,5 ó 2! ách



Vậy số dạng này có 2!.2!.2=8 số

Vậy có tất cả là 8+8+8=24 số cần tìm

b/Vì xM25 nên n có dạng ab25

suy ra a có 3 cách chọn

b có 2 cách chọn

Vậy có tất cả 3.2=6 số cần tìm

c/ Vì xM4 nên n có dạng ab12,ab24,ab32,ab52

Ở mỗi dạng ta có có thể sắp xếp abđể tạo được 2

3

A =6 số

Do đó ta có tất cả là 4.6=24 số cần tìm

Ví dụ 6:

Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số khác nhau đôi một được lập bằng cách dùng

7 chữ số 1,2,3,4,5,7,9 sao cho hai chữ số chẵn không nằm liền nhau?

*Lời giải:

Có 7! số có 7 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số đã cho

Bây giờ ta đi tìm số có hai chữ số chẵn nằm liền nhau

Ta coi hai chữ số nằm liền nhau như một khối thống nhất Khối thống nhất này cùng với 5 chữ số còn lại sẽ cho ta 6! số

Mỗi lần hoán vị 2 chữ số chẵn trong khối ta sẽ có 2! số mới

Nên có 6!.2! số có hai chữ số chẵn nằm liền nhau

Vậy có tất cả 7!-6!.2!=3600 số cần tìm

3.Tính số các số tự nhiên ràng buộc sự có mặt cuả các chữ số:

Ví dụ 7:

Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong đó

a) Nhất thiết phải có mặt chữ số 3?

b) Nhất thiết phải có mặt chữ số 2 và 4?

*Lời giải :

Gọi số có 5 chữ số là abcde , số tạo thành có 5 chữ số ở 5 vị trí.

a/ Xếp chữ số 3 vào 1 trong 5 vị trí : có 5 cách xếp

Lấy 4 chữ số trong 5 chữ số xếp vào 4 vị trí còn lại: có A cách 54

Vậy có tất cả là 5.A =600 số thoả mãn yêu cầu bài toán 54

b/ Xếp chữ số 2 và 4 vào 2 trong 5 vị trí : có 2

5

A cách xếp.

Lấy 3 chữ số trong 4 chữ số xếp vào 3 vị trí còn lại: có A cách 43

Vậy có tất cả là A 52 3

4

A =480 số thoả mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 8:

Cho tập A={1,2,3,4,5,6,7,8}

a/ Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau mà mỗi

số luôn có mặt hai chữ số 1 và 7?

b/ Trong các số tìm được ở câu a/ có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 7 đứng kề nhau, chữ số 1 đứng bên trái chữ số 7?

*Lời giải :

Một số gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ tập A có dạng abcde

( với , , , ,a b c d e A a b c d e∈ ; ≠ ≠ ≠ ≠ )

a/ Ta có:

 Có 2

5

A cách chọn chữ số 1 và chữ số 7 vào 5 vị trí

 Có 3

6

A cách chọn 3 trong 6 chữ số còn lại vào 3 vị trí còn lại.

Do đó số các số tự nhiên cần tìm là :

2 5

A × 3

6

A =2400 (số)

b/Nhận thấy rằng : “ Số cách chọn hai chữ số 1 và 7 đứng cạnh nhau mà chữ số 1

luôn đứng bên trái chữ số 7 trong dãy có 5 vị trí là 4 cách chọn”.

Coi cặp số 17 là phần tử kép Sẽ có 4 cách sắp xếp vị trí cho phần tử kép này

Với mỗi cách sắp xếp này có A cách chọn các chữ số còn lại vào 3 vị trí còn lại.63

Khi đó ta có tất cả là: 4 A = 480 số cần tìm63

4.Tính số các số tự nhiên có chứa các chữ số lặp lại:

Ví dụ 9:

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số , trong đó chữ số 0 có mặt đúng 2 lần, chữ số 1 có mặt đúng 1 lần và 2 chữ số còn lại khác nhau ?

*Lời giải :

Gọi số có 5 chữ số là abcde , số tạo thành có 5 chữ số ở 5 vị trí.

Chọn 2 vị trí xếp chữ số 0: có C cách.42

Chọn 1 vị trí xếp chữ số 1: có 3 cách

Chọn 2 chữ số trong 8 chữ số (10 chữ số trừ đi 2 chữ số là 0 và 1) xếp vào 2 vị trí còn lại : có 2

8

A cách.

Vậy có tất cả C 3.42 2

8

A =1008 số thoả mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 10:

Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 8 chữ số , trong

đó chữ số 5 có mặt đúng 3 lần các chữ số còn lại có mặt đúng 1 lần ?

*Lời giải :

Gọi x a a a a a a a a= 1 2 3 4 5 6 7 8 là số cần tìm.

Trong x chữ số 5 có mặt 3 lần nên ta ghi thêm : 0,1,2,3,4,5,5,5

Cách 1:

1

a có 7 cách chọn (vì a1 khác 0)

2

a có 7 cách chọn

3

a có 6 cách chọn

4

a có 5 cách chọn

5

a có 4 cách chọn

6

a có 3 cách chọn

7

a có 2 cách chọn

8

a có 1 cách chọn

⇒có 1.2.3.4.5.6.7.7=35280 số

Nhưng trong đó có chứa 3! số giống nhau khi ta giao hoán 3 chữ số chữ số 5 Vậy số các số cần tìm là 35280 5880

Cách 2:

Chọn 8 chữ số vào 8 vị trí và hoán vị chúng ta được 8! số

Trong đó có 7! Số có chữ số 0 đứng đầu và 3! Số giống nhau khi hoán vị chữ số 5 Vây nên ta có tất cả 8! 7! 5880

3!

− = số cần tìm

⇒Từ đó có bài toán tổng quát:

Bài 1: “ Cho n chữ số khác nhau và khác 0, 1 ≤ ≤n 9 Hỏi có bao nhiêu số

tự nhiên có n+k chữ số trong đó một chữ số được lặp lại k lần ( k>1) còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần”

⇒Công thức ( 1 !)

!

n k k

+ −

số cần tìm

Bài 2: “ Cho n chữ số khác nhau chứa cả chữ số 0, 1 ≤ ≤n 9 Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có n+k chữ số trong đó một chữ số được lặp lại k lần ( k>1) còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần”

⇒Công thức ( 1 !) ( 2 !)

!

k

+ − − + −

số cần tìm

5.Bài toán đếm liên quan đến tổng các chữ số và tính tổng các số tự nhiên vừa tìm được:

Ví dụ 11:

Từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một được tạo thành từ các chữ số trên Hãy tính tổng tất cả các số vừa tìm được

*Lời giải :

Cách 1:

Mỗi số cần tìm là một hoán vị của 5 phần tử do đó số các số cần tìm là 5!=120 số Nhận thấy:

Có 24 số có dạng n=a a a a1 2 3 4 1

Có 24 số có dạng n=a a a a1 2 3 4 2

Có 24 số có dạng n=a a a a1 2 3 4 3

Có 24 số có dạng n=a a a a1 2 3 4 4

Có 24 số có dạng n=a a a a1 2 3 4 5

⇒Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là (1+2+3+4+5).120=360

Tương tự :

Tổng các chữ số ở hàng chục là (1+2+3+4+5).10.120=3600

Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là (1+2+3+4+5)100.120=36000

Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là (1+2+3+4+5)1000.120=360000

Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là (1+2+3+4+5)10000.120=3600000

Vậy tổng của 120 số n là: 360+3600+36000+360000+3600000=3999960

Cách 2:

Trong số 120 số n ta luôn tìm được cặp số n,n’ sao cho tổng của chúng n+n’=66666 chẳng hạn như 12345+54321=66666

Do đó tống tất cả 120 số vùa tìm được là:

66666.120

2 =3999960

Ví dụ 12:

Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8?

*Lời giải :

Gọi số cần tìm là abcdef

Theo giả thiết c+d+e=8

Suy ra c d e, , ∈{1;2;5} hoặc c d e, , ∈{1;3;4}

+Với c d e, , ∈{1;2;5} :

Ta có 3! Cách chọn cde

Chọn 3 chữ số a,b,f trong 9 - 3=6 chữ số : có 3

6

A cách chọn

Vậy có 3!× 3

6

A =720 số + Với c d e, , ∈{1;3;4} : Tương tự ta cũng có 720 số

Vậy có tất cả là 720+720=1440 số thoả mãn yêu cầu bài toán