Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a.. Tính thể tích 0 V của khối lăng trụ đã cho.. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho... Tính thể tích V của kh
Trang 15C THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ TAM GIÁC
Dạng 71 Thể tích khối lăng trụ tam giác đều
Câu 1 Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a
A.
3 3 4
a
3 3 3
a
3 3 2
a
3
3
a
Lời giải tham khảo
Chọn đáp án A.
Diện tích đáy:
2 3 4
a
Chiều cao: ha
Thể tích:
3 3 4
a
Câu 2. Cho lăng trụ tam giác ABC A B C đáy ’ ’ ’, ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu
vuông góc H của A’ trên mặt phẳng ABC trùng với trực tâm của tam giác ABC. Tất
cả các cạnh bên đều tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Tính thể tích 0 V của khối lăng trụ
’ ’ ’
ABC A B C
A.
3 3 4
a
3 3 6
a
3 3 2
a
Lời giải tham khảo Chọn đáp án A
Gọi I là giao điểm của AH và BC. Theo giả thiết H là trực tâm của tam giác đề ABC nên AH là đường cao và
H cũng lả trọng tâm của tam giác đều ABC
Do AH'(ABC) nên A AH' 0
60
và A H' AH
3
Thể tích của khối chóp ' ' ' A'H 1 3 1 3 3
ABC A B C ABC
a
B'
H
60 0
C'
A
B
A'
C I
Trang 2Câu 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a và
A BC' hợp với mặt đáy ABC một góc 300. Tính thể tích V của khối lăng trụ
ABC A B C
A
3 3 12
a
3 3 24
a
3 3 24
a
3 5 24
a
Lời giải tham khảo Chọn đáp án B
Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Ta có SAABC AM là
hình chiếu vuông góc của A M trên ABC, nên A BC , ABC
bằng góc A MA 300
Xét A MA vuông tại A. Ta có A A AM tanA MA 3 0
tan 30
2
.
Câu 4 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C ’ ’ ’ có ABa góc giữa hai mặt phẳng ,
A BC’ và ABC bằng 60 Tính thể tích 0 V của khối lăng trụ đã cho.
8
8
4
4
Lời giải tham khảo Chọn đáp án A
2 3 4
ABC
S a Gọi M là trung điểm của BC AMA'600
AM a AA AM a. . ’ ’ ’ 3 3 3
8
’
V ABC A B C S ABC A A a
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 5. Cho hình lăng trụ ABC A B C ’ ’ ’ có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu của A’ trên mặt phẳng ABC là trung điểm H của cạnh BC, AA'a 7. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A.
3
5 3 24
3
5 3 6
3
5 3 8
3 3 8
Câu 6 Cho lăng trụ đứng ABC A B C ’ ’ ’ có đáy ABC là tam giác đều, các mặt bên đều là hình vuông. Biết rằng mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC A B C ’ ’ ’ có diện tích bằng 21. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC A B C ’ ’ ’.
4
4
Câu 7 Cho lăng trụ đứng ABC A B C ’ ’ ’ có đáy là các tam giác đều cạnh bằng 1,
AA' 3. Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng A BC’
30 0
M A
B
C
B'
C' A'
Trang 3Câu 8 Cho lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên ABClà trung điểm AB, góc giữa A C và mặt đáy bằng ' 60 Tính khoảng cách 0 d từ B đến ACC A' '.
13
13
13
13
Câu 9 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ’ ’ ’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Góc
giữa CA' và mặt (AA B B' ' ) bằng 30. Gọi d AI AC ’, là khoảng cách giữa A I' và AC, tính d AI AC ’, theo a với I là trung điểm AB là
70
a
35
a
35
a
35
a
Câu 10 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C ’ ’ ’ có mặt phẳng ABC tạo với đáy
một góc 60 , diện tích tam giác 0 ABC bằng 2
24 3 cm Tính thể tích Vcủa khối lăng trụ
’ ’ ’
ABC A B C
Câu 11. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ’ ’ ’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bàng a
Mặt bên ABB A có diện tích bằng a2 3. Gọi M N lần lượt là trung điểm của , ,
.
1 2
A AMN
A ABC
V
.
.
1 3
A AMN
A ABC
V
.
.
1 4
A AMN
A ABC
V
.
.
1 5
A AMN
A ABC
V
Câu 12 Cho lăng trụ đứng ABC A B C ’ ’ ’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , AA'2 a
Gọi I là trung điểm CC’ và là góc giữa A BI’ và ABC. Tính cos.
5
5
5
Câu 13 Cho hình lăng trụ ABC A B C ’ ’ ’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu
của C’ trên ABC là trung điểm I của BC. Góc giữa AA’ và BC là 30o. Tính thể tích
V của khối lăng trụ ABC A B C ’ ’ ’.
A.
3 2
a
3 8
a
3 3 8
a
3 4
a
Câu 14. Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C ’ ’ ’ có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng
3
a Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC A B C ’ ’ ’.
A.
3
4
a
3 3 8
a
3
8
a
3 3 4
a
Câu 15 Cho hình lăng trụ ABC A B C ’ ’ ’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu
vuông góc của A’ xuống ABC là trung điểm của AB. Mặt bên ACC A’ ’ tạo với đáy góc 45 Tính thể tích 0 V của khối lăng trụ đã cho.
A.
3 3 16
a
3 3 3
a
3
3
a
3
16
a
Trang 4
Dạng 72 Thể tích khối lăng trụ tam giác vuông
Câu 16 Cho lăng trụ đứng ABC A B C ’ ’ ’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB ACa , cạnh bên AA'a 2. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC A B C ’ ’ ’.
A.
3 2 2
a
3 2 6
a
3 2 3
a
Lời giải tham khảo Chọn đáp án A
2
ABC
3 2 2 ’
ABC A B C ABC AA a
Câu 17 Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC A B C ’ ’ ’ là tam giác ABC vuông cân tại A
có cạnh BCa 2 và biết A B' 3 a Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
Lời giải tham khảo Chọn đáp án B
+) Tam giác ABC vuông cân tại A, BCa 2 nên ABACa +) AA' A B' 2 AB2 2a 2
2 3 ' ' '
1
2
Câu 18 Cho hình lăng trụ ABC A B C ’ ’ ’ có đáy là tam giác vuông tại B AB, a BC, 2a
Hình chiếu vuông góc của A' trên đáy ABC là trung điểm H của cạnh AC, đường thẳngA B' tạo với đáy một góc 45 Tính thể tích 0 V của khối lăng trụ ABC A B C ’ ’ ’.
A.
3 5 6
a
3 5 3
a
3 5 2
a
Lời giải tham khảo Chọn đáp án C
3
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 19 Cho lăng trụ đứng ABC A B C ’ ’ ’ có đáy là tam giác vuông tại A AC, a Đường , chéo BC’ của mặt bên BCC B’ ’ tạo với mặt phẳng AA C C’ ’ một góc 30 Tính thể tích 0
V của khối lăng trụ đã cho.
A. V a3 6. B.
3 6 3
a
3
3
a
3
3
a
Câu 20 Cho lăng trụ đứng ABC A B C ’ ’ ’ có đáy là tam giác vuông tại B,
AB a AC a , đường thẳng A C' tạo với đáy một góc 45 Tính thể tích 0 V của khối lăng trụ ABC A B C ’ ’ ’.
A
B
C
A '
B'
C '
Trang 5Câu 21. Cho lăng trụ đứng ABC A B C ’ ’ ’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B AB, a,
2 ,
BC a mặt bên A BC hợp với mặt đáy ABC một góc 30 Tính thể tích 0 V của khối lăng trụ đã cho.
A.
3 3 6
a
3 6 3
a
3 3 3
a
3 6 6
a
Dạng 73 Thể tích khối lăng trụ tam giác
Câu 22 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ’ ’ ’ có AB1, AC 2,BAC 0
120
Giả sử D
là trung điểm cạnh CC và BDA' 0
90
Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC A B C ’ ’ ’.
2
Lời giải tham khảo Chọn đáp án C
2 cos
BC Đặt
2
4
2
4
h
Do tam giác BDA' vuông tại A nên A B 2 BD2 A D 2 h2 5 . Suy ra V 15.
Câu 23 Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13, 14, 15, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 30 và có chiều dài bằng 0 8. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
Lời giải tham khảo Chọn đáp án B
Ta có : SABC 21(21 13)(21 14)(21 15) 84
Gọi O là hình chiếu của A’ trên ABC
A AO' vuông tại O cho ta: A O' AA'.sin 300 4
Câu 24 Cho lăng trụ ABC A B C ’ ’ ’. Tính tỉ số thể tích '.
' ' '
A ABC ABC A B C
V
' ' '
1 2
A ABC
ABC A B C
V
'.
' ' '
1 4
A ABC ABC A B C
V
'.
' ' '
1 6
A ABC ABC A B C
V
'.
' ' '
1 3
A ABC ABC A B C
V
Chọn đáp án D
a O
H
C'
B' A'
C
B A
Trang 6
THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ TỨ GIÁC
Dạng 74 Thể tích khối lập phương
Câu 25. Tính thể tích V của khối lập phương cạnh bằng a
2
3
Lời giải tham khảo
Chọn đáp án C
3
Câu 26. Tính thể tích V của khối lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' biết AD 2 a
3
Lời giải tham khảo Chọn đáp án C
3
Câu 27. Hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có độ dài đường chéo bằng a Tính thể tích
V của khối tứ diện AA’B’C’ .
A.
2
3 3
a
3
18 3
a
3
6 3
a
2
18 3
a
Lời giải tham khảo Chọn đáp án B
Gọi x là cạnh hình lập phương
Ta có AA'2A C' '2 AC '2
2 2 2
3
V=
3 3 ' ' '
'
a
Câu 28. Tính thể tích V của khối lập phương ABCD A B C D ' ' ' ', biết AD'3a.
2 2
Lời giải tham khảo Chọn đáp án B
A
D
B
’ A’
D’
Trang 7 BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 29 Tính thể tích V của khối lập phương có các đỉnh là trọng tâm của các mặt của một khối bát diện đều cạnh a
A.
3 8 27
a
3
27
a
3
16 2 27
3
27
a
Câu 30 Khi độ dài cạnh của hình lập phương tăng thêm 2cm thì thể tích của nó tăng thêm 98cm Tính cạnh a của hình lập phương đã cho. 3
Câu 31 Tính thể tích V của khối lập phương ABCD A B C D ' ' ' ', biết tổng diện tích các mặt của hình lập phương bằng 150.
A V 25. B. V 75. C. V 125. D. V 100.
Câu 32 Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng 96. Tính thể tích V của khối lập phương đã cho.
A. V 64. B. V 91. C. V 84. D. V 48.
Câu 33 Tính thể tích V của khối lập phương ABCD A B C D ' ' ' ', biết đáy nội tiếp đường tròn có chu vi bằng 4
Dạng 75 Thể tích khối lăng trụ
Câu 34 Tính thể tích V của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h.
3
2
3
Chọn đáp án A
Câu 35 Tính thể tích V của khối lăng trụ tứ giác đều ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh bên bằng
4a và đường chéo AC'5 a
A. V 12a 3 B. V 9a 3 C. V 3a 3 D. V 18a 3
Lời giải tham khảo Chọn đáp án D
+) AC AC'2CC'2 3a , ABCD là hình vuông nên
3
AC
+) Thể tích khối lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ' là
2
3 3
2
ABCD
a AA
Trang 8Câu 36 Đáy của một hình hộp là một hình thoi có cạnh bằng 6 cm và góc nhọn bằng 30 , 0 cạnh bên của hình hộp là 10cmvà tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 Tính thể tích 0 V của hình hộp đã cho.
A. V 180 2 cm B. 3 V 180 cm 3 C. V 180 3 cm D. 3 V 90 3 cm 3
Chọn đáp án D
Câu 37 Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 60 Đường 0 chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của hình hộp. Tính thể tích V của hình hộp đã cho.
A.
3 6 2
a
3 6 3
a
3 6 6
a
Lời giải tham khảo
Chọn đáp án A
Ta có tam giác ABD đều nên: BDa và
2
2
a
2
DD BDD BD BD a
2
Câu 38 Cho lăng trụ đứng ABCA B C’ ’ ’ có ACa BC, 2 ,a ACB 120 0 Đường thẳng
’
A C tạo với mặt phẳng ABB A’ ’ góc 300. Gọi M là trung điểm của BB’. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AM và CC’.
21
3
7
7
Lời giải tham khảo Chọn đáp án D
+ Kẻ đường cao CH của tam giác ABC.Có CH AB ;
CH AA suy ra CH ABB A’ ’. Do đó góc giữa A C’
và mpABB A’ ’ là góc CA H' 0
30
+ Ta có
2 0
.sin 120
ABC a
Trong tam giác ABC :
os
2 2 2 2 1200 7 2 7
+
2
ABC a
+ Vậy: d CC ’ ;AMd CC ’ ;ABB A’ ’
7
C/
A
C
M
H
B
B
120
2a
O
60
C D
B
A'
D'
C'
B'
A
Trang 9Câu 39 Cho hình lập phương H cạnh a , gọi B là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của H Gọi S S1, 2 lần lượt là diện tích toàn phần của H và B Tính tỉ số 1
2
S
A. 1
2
3 8
S
1
2
1
2 3
S
1
2
2 3
S
1
2
8 3 3
S
Lời giải tham khảo Chọn đáp án C
Độ dài cạnh của bát diện đều bằng một nửa độ dài đường chéo một mặt của hình lập phương.
Dạng 76 Thể tích hình hộp chữ nhật
Câu 40 Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì thể tích
bằng nhau.
B. Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì thể tích bằng nhau.
C. Hai khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì thể tích
bằng nhau.
D. Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì thể tích bằng nhau.
Chọn đáp án B
Câu 41 Cho lăng trụ ABCD A B C D 1 1 1 1 có đáy ABCD là hình chữ nhật. ABa AD, a 3. Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng ABCD trùng với giao điểm AC và
BD. Góc giữa hai mặt phẳng ADD A1 1 và ABCD bằng 60 Tính khoảng cách 0 d từ điểm B1 đến mặt phẳng A BD1 .
2
3
4
6
Lời giải tham khảo Chọn đáp án A
2 3
d
2
a
3 3 2
V a suy ra
3
1 1
1 ( ; ( ))
1
2 3 2
A BD
a
1 1
1
1 1
( ; ( ))
2
B A BD
A BD
Câu 42 Cho hình lăng trụ ABCD A B C D ’ ’ ’ ’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với ABa ,
3
AD a và A B 3 a Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng ABCD trùng với tâm O của hình chữ nhật ABCD. Tính thể tích V của khối lăng trụ
’ ’ ’ ’
ABCD A B C D
6 3
V a D. V 6a3 2.
Lời giải tham khảo
Trang 10Chọn đáp án A
Ta có A O ABCD. Suy ra A O là chiều cao của khối lăng trụ ABCD A B C D ’ ’ ’ ’.
Diện tích hình chữ nhật ABCD là:
2
ABCD
Trong ABD vuông tại ,A ta có BD2 AB2 AD2 a2 3a2 4 a 2
2
Trong A OB vuông tại ,O ta có:
Chiều cao của khối lăng trụ ABCD A B C D ’ ’ ’ ’.
2 2
Thể tích của khối lăng trụ ABCD A B C D ’ ’ ’ ’ là:
A’
B
A
C
D
O
D’
a
3a
3
a
