Thể tích khối lăng trụ HH12

Khối lăng trụ đứng và lăng trụ đều Chú ý:  Lăng trụ đứng là lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy..  Lăng trụ đứng có các mặt bên là những hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng vuông

Vấn đề THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤ

V =Bh

DẠNG 1 Khối lăng trụ đứng và lăng trụ đều

Chú ý:

 Lăng trụ đứng là lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy Do đó các cạnh bên cũng là chiều cao của lăng trụ đứng

 Lăng trụ đứng có các mặt bên là những hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

 Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều Do đó các mặt bên là những hình chữ nhật bằng nhau

Bài tập áp dụng

Bài 1 Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a 3 và

A B= a Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a

Bài 2 Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với

AB a= , AC a= 5; góc giữa mặt phẳng (C’AB) và mặt phẳng (ABC) bằng 60 Tính thể tích0

của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a

Bài 3 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a ; góc giữa

đường thẳng BC' và mặt phẳng (AA’C’C) bằng 30 Tính thể tích của khối lăng trụ0

ABC.A’B’C’ theo a

Bài 4 Cho hình lăng trụ đứng tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với

AB a= , AD=2a Cho biết 'B D=4a , tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo a

Bài 5 Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có 'A C a= 6; góc giữa đường thẳng '

A C và mặt phẳng (ABCD) bằng 0

60 Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo a

GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI TẬP

Bài 1 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a

Khoảng cách giữa đường thẳng A’B’ và mặt phẳng (C’AB) bằng

2

a

Tính thể tích của khối lăng

trụ ABC.A’B’C’ theo a

Giải

Hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có chiều cao AA '

Diện tích tam giác đều ABC

A

B

C

A’

B’

C’

B

A

C

D

A’

D’

2 0

sin 60

ABC

a

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A’B’ và AB

Trong ∆C MN' kẻ MH ⊥C N' tại H

( ') '

AB MN

AB C N

⊥

 ⊥

'

'

MH C N

MH C AB

MH AB

⊥

 ⊥

Vì A B' '/ /(C AB nên ' )

2

a

d A B C AB =d M C AB =MH =

Ta có 'C M là đường cao của tam giác đều A’B’C’ nên ' 3

2

a

C M = Trong ∆MNC' vuông tại M có MH là đường cao nên: 1 2 1 2 1 2

'

MH =MC +MN

2

Chiều cao của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là ' 6

4

a

AA =MN = Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

ABC

Bài 2 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình bình hành với AB a= ,

2

AD= a, ·BCD=600 Góc giữa mặt phẳng (C’BD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 Tính thể0

tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo a

Giải

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ đứng

nên có chiều cao AA’

Diện tích hình bình hành ABCD là:

1

2

ABCD BCD

Trong BCD∆ kẻ CH ⊥BD

'

BD CH

BD C CH BD C H

BD CC

⊥

 ⊥

Suy ra · 'C HC là góc giữa hai mặt phẳng (C’BD)

và (ABCD) Ta có ·C HC' =450

Áp dụng định lí côsin trong ∆BCD, ta có:

2 cos 60 1

2

BD BC CD BC CD

3

BD a

A

A’

B’

C’

M

N

H

C

2

a

D A

H

A’

D’

a

2a

45600 0

Ta có 1 0 1 3 2 3

sin 60 2

BCD

a

Mà

2 3 2

2

BCD BCD

a S

Trong ∆C CH' vuông tại C, ta có:

t an45 CC CC' CHtan 45 a

CH

Chiều cao của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là CC'=a

Thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là V =S ABCD.CC'=a2 3.a a= 3 3

Ghi nhớ:

Định lí côsin trong tam giác ABC

a = + −b c bc A

b =a + −c ac B

c =a + −b ab C

BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1 Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a 2 Gọi M là trung điểm của AB; góc giữa đường thẳng MC’ và mặt đáy (ABC) bằng 60 Tính thể0

tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a

KQ: 3 3 6

4

a

V =

Bài 2 Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với

AB a= , BC a= 3 Góc giữa mặt phẳng (B AC và mặt phẳng ' ) (ABC bằng ) 60 Tính thể0

tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a

KQ:

3

4

a

V =

Bài 3 Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có AB a= , BC=2a, ·ABC=1200 Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (B’AC) bằng

2

a

, tính thể tích của khối lăng trụ

ABC.A’B’C’ theo a

KQ:

3

10

a

V =

Bài 4 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a= 2,

2

AD= a Góc giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (ABCD) bằng 30 Tính thể tích của khối lăng0

trụ ABCD.A’B’C’D’ theo a

KQ:

3

3

a

V =

Bài 5 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi với AB=2a,

3

AC= a Cho biết tam giác O’AC vuông tại O’ (với O’ là tâm của hình thoi A’B’C’D’), tính

thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo a

KQ:

3

4

a

V =

A

b

a c

DẠNG 2 Khối lăng trụ xiên

Chú ý:

 Các cạnh bên không vuông góc với mặt đáy

 Các cạnh bên song song và bằng nhau Do đó các mặt bên là những hình bình hành

Bài tập áp dụng:

Bài 1 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu

của điểm A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC; góc giữa cạnh bên AA’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60 Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a 0

Bài 2 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với

3

AB a= , BC a= 6 Cho biết A A A B' = ' =A C' =2a, tính thể tích của khối lăng trụ

ABC.A’B’C’ theo a

Bài 3 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3

2

a Hình

chiếu của điểm A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC; góc giữa mặt phẳng (AA’B’B) và (ABC) bằng 0

60 Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a

Bài 4 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với

2

AB= a, ·BAC=600 Tam giác A’AC cân tại A’ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt

phẳng (ABC); các cạnh bên bằng 5a Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a

Bài 5 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a 3 Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho 1

3

BI = BC; hai mặt phẳng (AB’I) và (BB’I) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Cho biết AB' 2= a , tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a

Bài 6 Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a= ,

3

AD a= Hình chiếu của điểm A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm O của hình chữ nhật ABCD Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy (ABCD) bằng 60 Tính thể tích của khối lăng trụ0

ABCD.A’B’C’D’ theo a

A

B

C

A’

B’

C’

A

A’

D D’

GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI TẬP

Bài 1 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với

·ACB=300 và AA'=a Góc giữa đường thẳng AA’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60 Hình chiếu0

vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thể

tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a

Giải

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

Ta có A G' ⊥(ABC) Suy ra AG là hình chiếu

của AA’ trên mặt phẳng (ABC) Do đó · 'A AG

là góc giữa đường thẳng AA’ và (ABC)

Ta có ·A AG' =600

Trong ∆A GA' vuông tại G, ta có:

A G AA AA

G AA AA

a a

AM = AG= =

3

AB BC BC

2 2

3

BC AB

⇒ = (1)

Trong ABM vuông tại B, ta có

a BC

AB = AM −BM = − (2)

Từ (1) và (2) Suy ra

2

BC

14

a BC

Suy ra 3 21 3 3 7

Diện tích tam giác ABC vuông tại B là:

2

ABC

Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

' ' '

ABC A B C ABC

Bài 2 Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a= ,

3

AD a= và A B' =3a Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với

tâm O của hình chữ nhật ABCD Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo a

Giải

Ta có A O' ⊥(ABCD) Suy ra A O' là chiều cao của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’

Diện tích hình chữ nhật ABCD là:

2

ABCD

S = AB AD a=

Trong ABD∆ vuông tại A, ta có BD2 = AB2+AD2 =a2 +3a2 =4a2

2

BD a

B

M G

A’

B’

C’

0

30

a

0

60

Ta có 1

2

BO= BD a=

Trong ∆A OB' vuông tại O, ta có:

A O =A B −BO = a −a = a ⇒ A O' =2a 2.

Chiều cao của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’

A O= a

Thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là:

ABCD

V =S A O a= a = a

BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a; góc giữa cạnh bên BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60 Hình chiếu của điểm A’ trên mặt phẳng (ABC)0

trùng với trọng tâm G của tam giác ABC Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a

KQ: V =2a3 3

Bài 2 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với

AB= a BAC= Mặt bên (AA’C’C) vuông góc với mặt phẳng (ABC); cạnh bên AA' 3= a

và tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bằng 0

30 Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’

theo a

V = a

Bài 3 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB a= , BC=2a Hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC; góc giữa hai mặt phẳng (AA’B’B) và (ABC) bằng 60 Tính thể tích của khối0

lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a

KQ: 2 3 3

3

a

V =

Bài 4 Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 Hai mặt phẳng (B’AC) và (B’D’DB) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Góc giữa cạnh bên B’B và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo a 0

KQ: V =2a3 3

Bài 5 Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình bình hành với AB=2a,

3

AD= a, ·ABC =600 Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC; các cạnh bên bằng a 5 Tính thể tích của khối lăng trụ

ABCD.A’B’C’D’ theo a

KQ: V =a3 78

Ghi nhớ: Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác

( 2 2) 2

4

a

b c a

=

( 2 2) 2

4

b

a c b

=

( 2 2) 2

=

A’

B

A

C

D O

D’

a

3a

3

a