chọn ngẫu nhiên 7 học sinh từ đội văn nghệ kể trên để biểu diễn văn nghệ trong lễ bế giảng.. Tính xác suất để trong đội văn nghệ không có học sinh khối 12.. Trong không gian với hệ trục
Trang 1TRƯỜNG THPT VIỆT TRÌ ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG KHỐI 12 LẦN 3
Môn: Toán Năm học 2015-2016
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (1.0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số yx3 3x2
Câu 2 (1.0 điểm) Trong tất cả các hình chữ nhật có chu vi là 60 cm Tìm hình chữ nhật có diện
tích lớn nhất
Câu 3 (1.0 điểm)
a) Cho
5
2 2 cos Tính giá trị biểu thức: 4 4 2 2
cos sin 3 cos
b) Giải phương trình sau : x x
7 6
1
Câu 4 (1.0 điểm)
a) Cho số phức z thỏa mãn: iz12i Tìm mô đun của số phức w 1 i z 2 z
b) Đội văn nghệ nhà trường gồm có 6 học sinh khối 10, 5 học sinh khối 11 và 4 học sinh khối 12 chọn ngẫu nhiên 7 học sinh từ đội văn nghệ kể trên để biểu diễn văn nghệ trong lễ bế giảng Tính xác suất để trong đội văn nghệ không có học sinh khối 12
Câu 5 (1.0 điểm) Tính tích phân: dx
x
x
2 1
2 1
2
Câu 6 (1.0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C', có đáy là tam giác vuông, AB ACa, góc giữa hai mặt phẳng A' BC và mặt phẳng ABC bằng 0
60 Tính thể tích của khối lăng trụ '
'
'
.A B C
ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau A'B và AC'
Câu 7 (1.0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Cho đường thẳng
3
3 1
3 2
1
:
)
(
x
d , mặt phẳng (P):2xyz40 Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) với mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt cầu tâm I(d) tiếp xúc với mặt phẳng (P) và
có bán kính bằng 6
Câu 8 (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp trong đường
tròn tâm I, có đỉnh A thuộc đường thẳng d: x + y - 2 = 0, D(2; -1) là chân đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A Gọi điểm E(3; 1) là chân đường vuông góc hạ từ B xuống đoạn AI; điểm P(6;-1) thuộc đường thẳng AC Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Câu 9 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
3 1 2
1 7
8
16 2 2
4 2 2 2
2 2
2 3 2
3
x y
y x
y x y
x y x y y xy x
Câu 10 (1.0 điểm) Tìm m để mọi số thực x ta có: x2 3x 2 9 x2 4x 2 16 5m
-Hết - Thí sinh không được dùng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:………SBD:……… …
Trang 2TRƯỜNG THPT VIỆT TRÌ ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015-2016-
LẦN 3 Môn: Toán
Câu 1 (1.0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số yx33x2 1.0
* TXĐ: D=R
1
1 0
' ) 1 )(
1 ( 3 3 3
' 2
x
x y
x x x
x
y
y ; lim
lim
Bảng biến thiên:
0.25
0.25
* Đồ Thị: Cắt trục Ox tại 2 điểm (1;0); (-2;0); cắt trục Oy tại điểm (0;-2) Đi qua điểm
(2; -4)
f(x)=x*x*x-3*x+2
-8 -6 -4 -2
2 4 6 8
x
y
0.25
2 Câu 2 (1.0 điểm) Trong tất cả các hình cn có chu vi là 60 cm Tìm hình chữ nhật có
diện tích lớn nhất
Gọi một cạnh của hình chữ nhật là x (cm) (0 < x < 30) Khi đó cạnh còn lại là (30 - x)
(cm)
Theo bài ra thì diện tích của hình chữ nhật là:
15 225 225
30 )
30
( 2 2
S
Vậy diện tích S của hcn lớn nhất = 225 khi x =15 (cm)
(Chú ý: Bài này có nhiều cách giải )
0,25 0,25 0,25
0,25
3 Câu 3 (1.0 điểm)
x
y '
y
- - 1 1 +
0 - 0 + +
-
+
4
0
Trang 3a) Cho
5
2 2 cos Tính giá trị biểu thức: 4 4 2 2
cos sin 3 cos
P
ta có
20
1 4
1 5
2 4
5 4
1 2 cos 4 5
2 cos 1 4
5 1 2 sin 4
5 1 cos sin 5 cos
sin
2 2
2 2
2 2 2
2 2
P
0.25
0.25
b) Giải phương trình sau : x x
7 6
1
7
6 7
x x
Nhận xét x=1 là nghiệm của phương trình cm x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình:
1 1
7
6 7
1 7
6 7
1 1
1 1
7
6 7
1 7
6 7
1 1
x khi vn pt có
Ta
x
x khi vn pt có
Ta
x
x x
x x
Vậy pt đã cho có duy nhất một nghiệm x = 1
0.25
0.25
4
Câu 4 (1.0 điểm)
a) Cho số phức z thỏa mãn: iz12i Tìm mô đun của số phức w 1 i z 2 z 0.5
i i
i z i
Thay vào tính được w73i Tính được 7 3i 7 2 3 2 58 0.25
b) Đội văn nghệ nhà trường gồm có 6 học sinh khối 10, 5 học sinh khối 11 và 4
học sinh khối 12 chọn ngẫu nhiên 7 học sinh từ đội văn nghệ kể trên để biểu diễn văn
nghệ trong lễ bế giảng Tính xác suất để trong đội văn nghệ không có học sinh lớp 12
0.5
Chọn 7 em không gian mẫu của phép thử là : C157 6435
Gọi A là biến cố chọn 7 em không có em nào lớp 12 A C117 330 0.25
Xác suất cần tính là
6435
330 )
A A
5
Câu 5 (1.0 điểm) Tính tích phân: dx
x
x
2 1
2 1
2
Ta có
2 1
2 2
1 2 1
2 1
2 2
1
2
1 1
2
1
1 1 1
1 1
x
dx x
dx dx
dx x
dx x
x
0.25
=
2
3 ln
2
6
7
1
1 ) 1 ln(
x x
0.25
6 Câu 6 (1.0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C', có đáy là tam giác vuông, 1.0
Trang 4B
A
’
A
C
M
C ’
B ’
M’
H’
a AC
AB , góc giữa hai mặt phẳng A' BC và mặt phẳng ABC bằng 0
60 Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C'và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
' 'B và AC
Gọi M là trung điểm của BC
60 ) ' ( '
) ( '
( ) ' (
MA A AM
BC
M A BC ABC
AA
BC AM
BC ABC BC
Tam giác ABC vuông cân nên
2
2 ,
a
Tam giác AMA’ vuông tại A nên AA’=AM.tan(AA’M)= ' '
2
6
CC BB a
4
6 '.
3 '
'
a S
AA
V ABC B C ABC
0.25
Gọi M’ là trung điểm của B’C’ dễ cm được hai mp (A’BM’) //(MAC’)
Suy ra d(A’B, A’C) =d((A’BM’),(MAC’))=d(C’;(A’M’B))=d(B’;(A’M’B))
Gọi B’H là đ/cao của tam giác BB’M’ Ta chứng minh được B’H chính là khoảng
cách cần tính
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông MBB’ ta có
4 6 4
2 4
6 2
6 2 2 '
'
' '
'
2 2 2
a a
a a M B BB
M B BB H
0.25
0.25
7
Câu 7 (1.0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Cho đường thẳng
3
3 1
3 2
1 :
)
(
x
d , mặt phẳng (P):2x yz40 Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) với mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt cầu tâm I(d) tiếp xúc
1.0
Trang 5với mặt phẳng (P) và có bán kính bằng 6
Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình
6 4 3 0
4 2
3
3 1
3 2
1
z y x z
y x
z y
0.25
Gọi I(1+2t;3+t; -3-3t) thuộc d; theo bài ra ta có
2
4 6
2 2 6 ) (
;
t
t t
P I
1 3 6 )
3 (
; )
3
; 1
; 3 (
6 15 7
) 9 ( : )
15
; 7
; 9 (
2 2
2
2 2
2
z y
x ptmc I
z y
x ptmc I
0.25
8
Câu 8 (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp
trong đường tròn tâm I, có đỉnh A thuộc đường thẳng d: x + y - 2 = 0, D(2; -1) là chân
đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A Gọi điểm E(3; 1) là chân đường vuông góc
hạ từ B xuống AI; điểm P(6;-1) thuộc đường thẳng AC Tìm tọa độ các đỉnh của tam
giác ABC
1.0
Gọi M là điểm đối xứng của A qua I
Ta có BCMBAMEDC (Do tứ giác ABDE nội tiếp) Từ đó suy ra DE / /MC mà
MCACDEAC
Ta có DE 1; 2
Phương trình AC :1(x6)2(y1)0x2y40 Ta có A d AC Tọa độ
của A thỏa hệ phương trình x 2y 4 0 x 0
x y 2 0 y 2
A 0; 2
Ta có AD 2; 3 , AE 3; 1
Phương trình BE : 3 x 3 y 1 0 3x y 8 0
0.25
0.25
Trang 6Phương trình BD : 2 x 2 3 y 1 0 2x 3y 7 0. B BEBD
Tọa độ của B thỏa hệ phương trình
17 x
B ;
y 7
Ta có C ACBD, nên Tọa độ của C thỏa hệ phương trình
26 x
C ;
y 7
Kết luận : A 0; 2 , B 17; 5
7 7
,
26 1
C ;
7 7
0.25
0.25
9
2 2
1 3 (2)
+) ĐKXĐ: x 1 (*)
(1) ( 2 ) (2 4 ) ( 2 ) 0 ( 2 )(1 2 ) 0 2
pt x y x x y xy y x y x y x y
1 2 x y 0, x y,
Thế vào (2) được:
x
x x
2
8
3
x
+) x 8 y 4 (tm) +) 2
pt x x x x x
+) Xét hàm số 2
f t t t với t có 2
' 3 1 0,
f t t t nên f t đồng biến trên
+) Mà pt(4) có dạng: f x 1 f x 2
x
2
2
5 3 0
x
x
x y
0.25
0.25
0.25
0.25
Trang 7Vậy hệ đã cho có tập nghiệm x y; là: (8;4); 5 13 11; 13
T
10
Câu 10 (1.0 điểm) Tìm m để mọi số thực x ta có:
m x
x x
x2 3 2 9 2 4 2 16 5
HD: Nếu x0thì Vt 3 4 7 5 = Vp (phương trình không có nghiệm)
Nếu x0thì ta xét tam giác vuông ABC với 0
90
A , AB = 4; AC = 3
Gọi AD là phân giác của góc A, lấy M thuộc tia AD
9 3 2
16 4 2
Từ đó suy ra Vt = CMBM BC5 Vậy theo yêu cầu bài toán thì m1
Dấu đẳng thức xảy ra khi M D,hay
3 4
7
CM BM
x
Vậy dấu “=” xảy ra khi 12 2
7
x
Dự phòng nhé
Cho các số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
3
a ab abc a b c
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
3 1 a 4b 1 a 4b 16c 4
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 4b 16c
0.25
0.25
0.25
0.25
Suy ra
P
2 a b c a b c
Đặt t a b c, t 0 Khi đó ta có: 3 3
P 2t t
0.25
Xét hàm số 3 3
f t
2t t
với t 0 ta có 2
3 3
f ' t
2t 2t t
3 32
f ' t 0 0 t 1
2t 2t t
0.25
Bảng biến thiên
t 0 1
0.25
Trang 8
f ' t 0 +
f t
0
3
2
Do đó ta có
t 0
3 min f t
2
khi và chỉ khi t 1
Vậy ta có P 3
2
, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
16 a 21
a b c 1 4
b
a 4b 16c 21
1 c 21
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3
2
khi và chỉ khi 16 4 1
a, b,c , ,
21 21 21
