CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 3.1. Phương pháp đạo hàm Đề Bài Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây; với là một hằng số dương; ; với a dương và n nguyên dương; với a dương và n nguyên dương; với p và q lớn hơn 1. Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: với mọi a và b không âm; với mọi x>0 và hãy mở rộng kết quả này. Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. Bài làm Bài 1: với là một hằng số dương. Đặt Khi đó Xét hàm số Ta có: Nếu thì Nếu thì b) Đặt Xét hàm Ta có: Vậy: max y min y = 6 với a dương và n nguyên dương Xét hàm số Ta có Ta có: Vậy max y = 2 . √(2na2) min y = √(2na) . d) y với a dương và n nguyên dương Xét hàm số = x(12n)+ (a x)(12n) , ∀ x ∈ 0 ,a Ta có f (x)=12n . x(_2n1) 1 + 12n (a x )(_2n1) 1 =12n x(_2n1) 1 + (a x)(_2n1) 1 >0 ∀ x ∈ 0,a Hàm số đồng biến ∀ x ∈ 0,a f(0)0. Đặt a =tb(t ≥0) ta được: 3t3 b3 18tb3 +17b3≥0 3t3 18t +17 ≥0 Xét hàm số f(t)= 3t3 18t +17 , t ∈⟦0,+ ┤) f (t)=9t2 –1 f (t)=0 9t2 –18 =0 t = √2 Bảng biến thiên của hàm số f(t) t 0 √2 + f (t) ∥ 0 + f(t) 17 17 2√2 f(t)>0 với ∀ t∈⟦0,+ ┤) Vậy BĐT được chứng minh. Dấu “ =” xảy ra a =b =0 . b) Chứng minh: ex>∑_(k=0)n▒xkk với mọi x > 0 Xét hàm số f_n (x)= ex 1 x x22 … xnn Ta sẽ chứng minh f_n (x)>0 () với mọi x >0, n ∈N. Với n =1,f_1 (x)= ex 1 x f_1 (x)= ex –1>0 Hàm số f_1 (x) đồng biến với x ∈ (0 ,∞) f_1 (x)>f_1 (0) =0. Vậy () đúng với n =1 . Giả sử () đúng với n=k, ta cần chứng minh () đúng với n=k +1 hay f_(k +1) (x)=ex 1 x … xkk x(k +1)(k +1)>0 Thật vậy: 〖f〗_(k +1) (x)= ex 1 x … xkk= f_(k ) (x)>0 (Theo giả thuyết quy nạp) Hàm số f_(k +1) (x) đồng biến với mọi x ∈ (0,+ ∞) f_(k +1) (x)>f_(k +1) (0)=0 Suy ra () đúng với n =k +1. Vậy: f_n (x)>0 với ∀ x∈(0 ,+ ∞) Hay ex>∑_(k=0)n▒xkk (đpcm). Bài 2: (Mở rộng) Cho n là số tự nhiên lẻ lớn hơn 3. Chứng minh rằng với mọi ta có: Đặt Ta cần chứng minh: Ta có: Vì n là số lẻ lớn hơn 3 nên cùng dấu với Do đó ta có bảng biến thiên: x 0 f’(x) 0 f(x) 1 Từ bảng biến thiên ta có: (đpcm) Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Đặt Khi đó Xét hàm số: Lập bảng biến thiên ta được x f’(t) 0 f(t) khi Vậy khi Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. 4.1. Cho là số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Bài làm Ta có: Ta có : , vì thế sau khi đặt thì: Ta có . Xét hàm số với . Ta có . Ta có bảng biến thiên như sau t 2 1 2 P’(t) + 0 P(t) 7 1 Vậy khi 4.2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Bài làm TXĐ: 3; 3 Đạo hàm : Ta có: Nên ; 4.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Lại có , . Suy ra , . 4.4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số . Giải. . Ta có ( ). Với mọi , ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được . 4.5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được 4.6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có hoặc hoặc ( ). Vậy , đạt được . , đạt được . 4.7. Tìm GTNN của hàm số . Giải. , suy ra . Ta có . hoặc . Thử lại, ta thấy chỉ có là nghiệm của . , , , đạt được . 4.8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Giải: .Đặt .Do nên . Bài toán trở thành tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 2 tại t=0 hoặc t=1 tức là x=0 hoặc x= GTNN là tại t = tức là x = . 4.9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: D=R . Đặt ; .Do nên Hàm số trở thành , . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là tại t= GTNN là tại t =0 . 4.10. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: Ta có Đặt ; .Khi đó .Thay vào hàm số ta được : .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 1 tại t=1 tức là ;GTNN là 1 tại t =1 tức là 4.11. Tìm GTLN và GTNNcủa hàm số: y= trên đoạn Giải: TXĐ: R ( Ta chỉ xét trên đoạn ) Đạo hàm: . Tại điểm x = 2, x = 3 hàm số không có đạo hàm y’=0 . Nên có 3 điểm tới hạn thuộc (5; 5) là x =2; ; x=3 Tính f(2)= f(3)=0; f ; f(5)=56; f(5)=6 Suy ra: ; 4.12. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , suy ra . Ta có . Xét hàm , với . Ta có đồng biến trên . Do đó , đạt được khi và chỉ khi hoặc . , đạt được khi và chỉ khi . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có với mọi , , . Do đó , đạt được . , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có biến đổi sau đây . Xét hàm với . Ta có , . Suy ra nghịch biến trên . Do đó . . +) , dấu bằng xảy ra . Vậy , đạt được . +) , dấu bằng xảy ra hoặc . Vậy , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có . Xét hàm , . Ta có , đồng biến trên . Do đó . Dấu “ ” xảy ra , Đạt được . . Dấu “ ” xảy ra hoặc . , Đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Từ giả thiết suy ra . Do đó, nếu đặt thì , hay . Ta có , suy ra . Xét hàm với . Ta có , có nghiệm duy nhất . Ta có , . Do đó , đạt được chẳng hạn khi . , đạt được khi và chỉ khi hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTNN của . Giải. Áp dụng bất đẳng thức với , ta được . Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức , ta có (do , ). Đặt . Xét hàm , . Ta có đồng biến trên . Như vậy , dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi hoặc . Vậy , đạt được hoặc . 4.18. Cho các số thực , , thỏa mãn các điều kiện và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giải. Từ suy ra , thay vào đẳng thức thứ hai của giả thiết, ta được Do đó, nếu đặt thì ta có , . Biến đổi . Xét hàm , với . Ta có có hai nghiệm là . Ta có , , , . Vậy , đạt được chẳng hạn khi , . Cho x, y, z >0 thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức . Giải. Đặt . Ta có và . Suy ra . Lại có , . Xét hàm với . Ta có , suy ra nghịch biến trên . Vậy , đạt được khi và chỉ khi . Cho là ba số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Giải : Theo giả thiết ta có và . Thay vào biểu thức P ta được : Xét hàm số : với và coi c là tham số c>0 Ta có : Ta có bảng biến thiên 0 + 0 Từ bảng biến thiên ta có : . Ta có : Bảng biến thiên : 0 + 0 Từ bảng biến thiên suy ra : . Vậy với thì . CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 3.1. Phương pháp đạo hàm Đề Bài Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây; với là một hằng số dương; ; với a dương và n nguyên dương; với a dương và n nguyên dương; với p và q lớn hơn 1. Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: với mọi a và b không âm; với mọi x>0 và hãy mở rộng kết quả này. Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. Bài làm Bài 1: với là một hằng số dương. Đặt Khi đó Xét hàm số Ta có: Nếu thì Nếu thì b) Đặt Xét hàm Ta có: Vậy: max y min y = 6 với a dương và n nguyên dương Xét hàm số Ta có Ta có: Vậy max y = 2 . √(2na2) min y = √(2na) . d) y với a dương và n nguyên dương Xét hàm số = x(12n)+ (a x)(12n) , ∀ x ∈ 0 ,a Ta có f (x)=12n . x(_2n1) 1 + 12n (a x )(_2n1) 1 =12n x(_2n1) 1 + (a x)(_2n1) 1 >0 ∀ x ∈ 0,a Hàm số đồng biến ∀ x ∈ 0,a f(0)0. Đặt a =tb(t ≥0) ta được: 3t3 b3 18tb3 +17b3≥0 3t3 18t +17 ≥0 Xét hàm số f(t)= 3t3 18t +17 , t ∈⟦0,+ ┤) f (t)=9t2 –1 f (t)=0 9t2 –18 =0 t = √2 Bảng biến thiên của hàm số f(t) t 0 √2 + f (t) ∥ 0 + f(t) 17 17 2√2 f(t)>0 với ∀ t∈⟦0,+ ┤) Vậy BĐT được chứng minh. Dấu “ =” xảy ra a =b =0 . b) Chứng minh: ex>∑_(k=0)n▒xkk với mọi x > 0 Xét hàm số f_n (x)= ex 1 x x22 … xnn Ta sẽ chứng minh f_n (x)>0 () với mọi x >0, n ∈N. Với n =1,f_1 (x)= ex 1 x f_1 (x)= ex –1>0 Hàm số f_1 (x) đồng biến với x ∈ (0 ,∞) f_1 (x)>f_1 (0) =0. Vậy () đúng với n =1 . Giả sử () đúng với n=k, ta cần chứng minh () đúng với n=k +1 hay f_(k +1) (x)=ex 1 x … xkk x(k +1)(k +1)>0 Thật vậy: 〖f〗_(k +1) (x)= ex 1 x … xkk= f_(k ) (x)>0 (Theo giả thuyết quy nạp) Hàm số f_(k +1) (x) đồng biến với mọi x ∈ (0,+ ∞) f_(k +1) (x)>f_(k +1) (0)=0 Suy ra () đúng với n =k +1. Vậy: f_n (x)>0 với ∀ x∈(0 ,+ ∞) Hay ex>∑_(k=0)n▒xkk (đpcm). Bài 2: (Mở rộng) Cho n là số tự nhiên lẻ lớn hơn 3. Chứng minh rằng với mọi ta có: Đặt Ta cần chứng minh: Ta có: Vì n là số lẻ lớn hơn 3 nên cùng dấu với Do đó ta có bảng biến thiên: x 0 f’(x) 0 f(x) 1 Từ bảng biến thiên ta có: (đpcm) Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Đặt Khi đó Xét hàm số: Lập bảng biến thiên ta được x f’(t) 0 f(t) khi Vậy khi Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. 4.1. Cho là số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Bài làm Ta có: Ta có : , vì thế sau khi đặt thì: Ta có . Xét hàm số với . Ta có . Ta có bảng biến thiên như sau t 2 1 2 P’(t) + 0 P(t) 7 1 Vậy khi 4.2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Bài làm TXĐ: 3; 3 Đạo hàm : Ta có: Nên ; 4.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Lại có , . Suy ra , . 4.4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số . Giải. . Ta có ( ). Với mọi , ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được . 4.5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được 4.6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có hoặc hoặc ( ). Vậy , đạt được . , đạt được . 4.7. Tìm GTNN của hàm số . Giải. , suy ra . Ta có . hoặc . Thử lại, ta thấy chỉ có là nghiệm của . , , , đạt được . 4.8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Giải: .Đặt .Do nên . Bài toán trở thành tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 2 tại t=0 hoặc t=1 tức là x=0 hoặc x= GTNN là tại t = tức là x = . 4.9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: D=R . Đặt ; .Do nên Hàm số trở thành , . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là tại t= GTNN là tại t =0 . 4.10. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: Ta có Đặt ; .Khi đó .Thay vào hàm số ta được : .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 1 tại t=1 tức là ;GTNN là 1 tại t =1 tức là 4.11. Tìm GTLN và GTNNcủa hàm số: y= trên đoạn Giải: TXĐ: R ( Ta chỉ xét trên đoạn ) Đạo hàm: . Tại điểm x = 2, x = 3 hàm số không có đạo hàm y’=0 . Nên có 3 điểm tới hạn thuộc (5; 5) là x =2; ; x=3 Tính f(2)= f(3)=0; f ; f(5)=56; f(5)=6 Suy ra: ; 4.12. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , suy ra . Ta có . Xét hàm , với . Ta có đồng biến trên . Do đó , đạt được khi và chỉ khi hoặc . , đạt được khi và chỉ khi . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có với mọi , , . Do đó , đạt được . , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có biến đổi sau đây . Xét hàm với . Ta có , . Suy ra nghịch biến trên . Do đó . . +) , dấu bằng xảy ra . Vậy , đạt được . +) , dấu bằng xảy ra hoặc . Vậy , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có . Xét hàm , . Ta có , đồng biến trên . Do đó . Dấu “ ” xảy ra , Đạt được . . Dấu “ ” xảy ra hoặc . , Đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Từ giả thiết suy ra . Do đó, nếu đặt thì , hay . Ta có , suy ra . Xét hàm với . Ta có , có nghiệm duy nhất . Ta có , . Do đó , đạt được chẳng hạn khi . , đạt được khi và chỉ khi hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTNN của . Giải. Áp dụng bất đẳng thức với , ta được . Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức , ta có (do , ). Đặt . Xét hàm , . Ta có đồng biến trên . Như vậy , dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi hoặc . Vậy , đạt được hoặc . 4.18. Cho các số thực , , thỏa mãn các điều kiện và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giải. Từ suy ra , thay vào đẳng thức thứ hai của giả thiết, ta được Do đó, nếu đặt thì ta có , . Biến đổi . Xét hàm , với . Ta có có hai nghiệm là . Ta có , , , . Vậy , đạt được chẳng hạn khi , . Cho x, y, z >0 thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức . Giải. Đặt . Ta có và . Suy ra . Lại có , . Xét hàm với . Ta có , suy ra nghịch biến trên . Vậy , đạt được khi và chỉ khi . Cho là ba số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Giải : Theo giả thiết ta có và . Thay vào biểu thức P ta được : Xét hàm số : với và coi c là tham số c>0 Ta có : Ta có bảng biến thiên 0 + 0 Từ bảng biến thiên ta có : . Ta có : Bảng biến thiên : 0 + 0 Từ bảng biến thiên suy ra : . Vậy với thì . CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 3.1. Phương pháp đạo hàm Đề Bài Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây; với là một hằng số dương; ; với a dương và n nguyên dương; với a dương và n nguyên dương; với p và q lớn hơn 1. Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: với mọi a và b không âm; với mọi x>0 và hãy mở rộng kết quả này. Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. Bài làm Bài 1: với là một hằng số dương. Đặt Khi đó Xét hàm số Ta có: Nếu thì Nếu thì b) Đặt Xét hàm Ta có: Vậy: max y min y = 6 với a dương và n nguyên dương Xét hàm số Ta có Ta có: Vậy max y = 2 . √(2na2) min y = √(2na) . d) y với a dương và n nguyên dương Xét hàm số = x(12n)+ (a x)(12n) , ∀ x ∈ 0 ,a Ta có f (x)=12n . x(_2n1) 1 + 12n (a x )(_2n1) 1 =12n x(_2n1) 1 + (a x)(_2n1) 1 >0 ∀ x ∈ 0,a Hàm số đồng biến ∀ x ∈ 0,a f(0)0. Đặt a =tb(t ≥0) ta được: 3t3 b3 18tb3 +17b3≥0 3t3 18t +17 ≥0 Xét hàm số f(t)= 3t3 18t +17 , t ∈⟦0,+ ┤) f (t)=9t2 –1 f (t)=0 9t2 –18 =0 t = √2 Bảng biến thiên của hàm số f(t) t 0 √2 + f (t) ∥ 0 + f(t) 17 17 2√2 f(t)>0 với ∀ t∈⟦0,+ ┤) Vậy BĐT được chứng minh. Dấu “ =” xảy ra a =b =0 . b) Chứng minh: ex>∑_(k=0)n▒xkk với mọi x > 0 Xét hàm số f_n (x)= ex 1 x x22 … xnn Ta sẽ chứng minh f_n (x)>0 () với mọi x >0, n ∈N. Với n =1,f_1 (x)= ex 1 x f_1 (x)= ex –1>0 Hàm số f_1 (x) đồng biến với x ∈ (0 ,∞) f_1 (x)>f_1 (0) =0. Vậy () đúng với n =1 . Giả sử () đúng với n=k, ta cần chứng minh () đúng với n=k +1 hay f_(k +1) (x)=ex 1 x … xkk x(k +1)(k +1)>0 Thật vậy: 〖f〗_(k +1) (x)= ex 1 x … xkk= f_(k ) (x)>0 (Theo giả thuyết quy nạp) Hàm số f_(k +1) (x) đồng biến với mọi x ∈ (0,+ ∞) f_(k +1) (x)>f_(k +1) (0)=0 Suy ra () đúng với n =k +1. Vậy: f_n (x)>0 với ∀ x∈(0 ,+ ∞) Hay ex>∑_(k=0)n▒xkk (đpcm). Bài 2: (Mở rộng) Cho n là số tự nhiên lẻ lớn hơn 3. Chứng minh rằng với mọi ta có: Đặt Ta cần chứng minh: Ta có: Vì n là số lẻ lớn hơn 3 nên cùng dấu với Do đó ta có bảng biến thiên: x 0 f’(x) 0 f(x) 1 Từ bảng biến thiên ta có: (đpcm) Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Đặt Khi đó Xét hàm số: Lập bảng biến thiên ta được x f’(t) 0 f(t) khi Vậy khi Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. 4.1. Cho là số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Bài làm Ta có: Ta có : , vì thế sau khi đặt thì: Ta có . Xét hàm số với . Ta có . Ta có bảng biến thiên như sau t 2 1 2 P’(t) + 0 P(t) 7 1 Vậy khi 4.2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Bài làm TXĐ: 3; 3 Đạo hàm : Ta có: Nên ; 4.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Lại có , . Suy ra , . 4.4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số . Giải. . Ta có ( ). Với mọi , ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được . 4.5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được 4.6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có hoặc hoặc ( ). Vậy , đạt được . , đạt được . 4.7. Tìm GTNN của hàm số . Giải. , suy ra . Ta có . hoặc . Thử lại, ta thấy chỉ có là nghiệm của . , , , đạt được . 4.8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Giải: .Đặt .Do nên . Bài toán trở thành tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 2 tại t=0 hoặc t=1 tức là x=0 hoặc x= GTNN là tại t = tức là x = . 4.9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: D=R . Đặt ; .Do nên Hàm số trở thành , . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là tại t= GTNN là tại t =0 . 4.10. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: Ta có Đặt ; .Khi đó .Thay vào hàm số ta được : .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 1 tại t=1 tức là ;GTNN là 1 tại t =1 tức là 4.11. Tìm GTLN và GTNNcủa hàm số: y= trên đoạn Giải: TXĐ: R ( Ta chỉ xét trên đoạn ) Đạo hàm: . Tại điểm x = 2, x = 3 hàm số không có đạo hàm y’=0 . Nên có 3 điểm tới hạn thuộc (5; 5) là x =2; ; x=3 Tính f(2)= f(3)=0; f ; f(5)=56; f(5)=6 Suy ra: ; 4.12. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , suy ra . Ta có . Xét hàm , với . Ta có đồng biến trên . Do đó , đạt được khi và chỉ khi hoặc . , đạt được khi và chỉ khi . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có với mọi , , . Do đó , đạt được . , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có biến đổi sau đây . Xét hàm với . Ta có , . Suy ra nghịch biến trên . Do đó . . +) , dấu bằng xảy ra . Vậy , đạt được . +) , dấu bằng xảy ra hoặc . Vậy , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có . Xét hàm , . Ta có , đồng biến trên . Do đó . Dấu “ ” xảy ra , Đạt được . . Dấu “ ” xảy ra hoặc . , Đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Từ giả thiết suy ra . Do đó, nếu đặt thì , hay . Ta có , suy ra . Xét hàm với . Ta có , có nghiệm duy nhất . Ta có , . Do đó , đạt được chẳng hạn khi . , đạt được khi và chỉ khi hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTNN của . Giải. Áp dụng bất đẳng thức với , ta được . Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức , ta có (do , ). Đặt . Xét hàm , . Ta có đồng biến trên . Như vậy , dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi hoặc . Vậy , đạt được hoặc . 4.18. Cho các số thực , , thỏa mãn các điều kiện và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giải. Từ suy ra , thay vào đẳng thức thứ hai của giả thiết, ta được Do đó, nếu đặt thì ta có , . Biến đổi . Xét hàm , với . Ta có có hai nghiệm là . Ta có , , , . Vậy , đạt được chẳng hạn khi , . Cho x, y, z >0 thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức . Giải. Đặt . Ta có và . Suy ra . Lại có , . Xét hàm với . Ta có , suy ra nghịch biến trên . Vậy , đạt được khi và chỉ khi . Cho là ba số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Giải : Theo giả thiết ta có và . Thay vào biểu thức P ta được : Xét hàm số : với và coi c là tham số c>0 Ta có : Ta có bảng biến thiên 0 + 0 Từ bảng biến thiên ta có : . Ta có : Bảng biến thiên : 0 + 0 Từ bảng biến thiên suy ra : . Vậy với thì . CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 3.1. Phương pháp đạo hàm Đề Bài Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây; với là một hằng số dương; ; với a dương và n nguyên dương; với a dương và n nguyên dương; với p và q lớn hơn 1. Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: với mọi a và b không âm; với mọi x>0 và hãy mở rộng kết quả này. Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. Bài làm Bài 1: với là một hằng số dương. Đặt Khi đó Xét hàm số Ta có: Nếu thì Nếu thì b) Đặt Xét hàm Ta có: Vậy: max y min y = 6 với a dương và n nguyên dương Xét hàm số Ta có Ta có: Vậy max y = 2 . √(2na2) min y = √(2na) . d) y với a dương và n nguyên dương Xét hàm số = x(12n)+ (a x)(12n) , ∀ x ∈ 0 ,a Ta có f (x)=12n . x(_2n1) 1 + 12n (a x )(_2n1) 1 =12n x(_2n1) 1 + (a x)(_2n1) 1 >0 ∀ x ∈ 0,a Hàm số đồng biến ∀ x ∈ 0,a f(0)0. Đặt a =tb(t ≥0) ta được: 3t3 b3 18tb3 +17b3≥0 3t3 18t +17 ≥0 Xét hàm số f(t)= 3t3 18t +17 , t ∈⟦0,+ ┤) f (t)=9t2 –1 f (t)=0 9t2 –18 =0 t = √2 Bảng biến thiên của hàm số f(t) t 0 √2 + f (t) ∥ 0 + f(t) 17 17 2√2 f(t)>0 với ∀ t∈⟦0,+ ┤) Vậy BĐT được chứng minh. Dấu “ =” xảy ra a =b =0 . b) Chứng minh: ex>∑_(k=0)n▒xkk với mọi x > 0 Xét hàm số f_n (x)= ex 1 x x22 … xnn Ta sẽ chứng minh f_n (x)>0 () với mọi x >0, n ∈N. Với n =1,f_1 (x)= ex 1 x f_1 (x)= ex –1>0 Hàm số f_1 (x) đồng biến với x ∈ (0 ,∞) f_1 (x)>f_1 (0) =0. Vậy () đúng với n =1 . Giả sử () đúng với n=k, ta cần chứng minh () đúng với n=k +1 hay f_(k +1) (x)=ex 1 x … xkk x(k +1)(k +1)>0 Thật vậy: 〖f〗_(k +1) (x)= ex 1 x … xkk= f_(k ) (x)>0 (Theo giả thuyết quy nạp) Hàm số f_(k +1) (x) đồng biến với mọi x ∈ (0,+ ∞) f_(k +1) (x)>f_(k +1) (0)=0 Suy ra () đúng với n =k +1. Vậy: f_n (x)>0 với ∀ x∈(0 ,+ ∞) Hay ex>∑_(k=0)n▒xkk (đpcm). Bài 2: (Mở rộng) Cho n là số tự nhiên lẻ lớn hơn 3. Chứng minh rằng với mọi ta có: Đặt Ta cần chứng minh: Ta có: Vì n là số lẻ lớn hơn 3 nên cùng dấu với Do đó ta có bảng biến thiên: x 0 f’(x) 0 f(x) 1 Từ bảng biến thiên ta có: (đpcm) Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Đặt Khi đó Xét hàm số: Lập bảng biến thiên ta được x f’(t) 0 f(t) khi Vậy khi Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. 4.1. Cho là số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Bài làm Ta có: Ta có : , vì thế sau khi đặt thì: Ta có . Xét hàm số với . Ta có . Ta có bảng biến thiên như sau t 2 1 2 P’(t) + 0 P(t) 7 1 Vậy khi 4.2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Bài làm TXĐ: 3; 3 Đạo hàm : Ta có: Nên ; 4.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Lại có , . Suy ra , . 4.4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số . Giải. . Ta có ( ). Với mọi , ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được . 4.5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được 4.6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có hoặc hoặc ( ). Vậy , đạt được . , đạt được . 4.7. Tìm GTNN của hàm số . Giải. , suy ra . Ta có . hoặc . Thử lại, ta thấy chỉ có là nghiệm của . , , , đạt được . 4.8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Giải: .Đặt .Do nên . Bài toán trở thành tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 2 tại t=0 hoặc t=1 tức là x=0 hoặc x= GTNN là tại t = tức là x = . 4.9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: D=R . Đặt ; .Do nên Hàm số trở thành , . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là tại t= GTNN là tại t =0 . 4.10. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: Ta có Đặt ; .Khi đó .Thay vào hàm số ta được : .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 1 tại t=1 tức là ;GTNN là 1 tại t =1 tức là 4.11. Tìm GTLN và GTNNcủa hàm số: y= trên đoạn Giải: TXĐ: R ( Ta chỉ xét trên đoạn ) Đạo hàm: . Tại điểm x = 2, x = 3 hàm số không có đạo hàm y’=0 . Nên có 3 điểm tới hạn thuộc (5; 5) là x =2; ; x=3 Tính f(2)= f(3)=0; f ; f(5)=56; f(5)=6 Suy ra: ; 4.12. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , suy ra . Ta có . Xét hàm , với . Ta có đồng biến trên . Do đó , đạt được khi và chỉ khi hoặc . , đạt được khi và chỉ khi . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có với mọi , , . Do đó , đạt được . , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có biến đổi sau đây . Xét hàm với . Ta có , . Suy ra nghịch biến trên . Do đó . . +) , dấu bằng xảy ra . Vậy , đạt được . +) , dấu bằng xảy ra hoặc . Vậy , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có . Xét hàm , . Ta có , đồng biến trên . Do đó . Dấu “ ” xảy ra , Đạt được . . Dấu “ ” xảy ra hoặc . , Đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Từ giả thiết suy ra . Do đó, nếu đặt thì , hay . Ta có , suy ra . Xét hàm với . Ta có , có nghiệm duy nhất . Ta có , . Do đó , đạt được chẳng hạn khi . , đạt được khi và chỉ khi hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTNN của . Giải. Áp dụng bất đẳng thức với , ta được . Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức , ta có (do , ). Đặt . Xét hàm , . Ta có đồng biến trên . Như vậy , dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi hoặc . Vậy , đạt được hoặc . 4.18. Cho các số thực , , thỏa mãn các điều kiện và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giải. Từ suy ra , thay vào đẳng thức thứ hai của giả thiết, ta được Do đó, nếu đặt thì ta có , . Biến đổi . Xét hàm , với . Ta có có hai nghiệm là . Ta có , , , . Vậy , đạt được chẳng hạn khi , . Cho x, y, z >0 thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức . Giải. Đặt . Ta có và . Suy ra . Lại có , . Xét hàm với . Ta có , suy ra nghịch biến trên . Vậy , đạt được khi và chỉ khi . Cho là ba số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Giải : Theo giả thiết ta có và . Thay vào biểu thức P ta được : Xét hàm số : với và coi c là tham số c>0 Ta có : Ta có bảng biến thiên 0 + 0 Từ bảng biến thiên ta có : . Ta có : Bảng biến thiên : 0 + 0 Từ bảng biến thiên suy ra : . Vậy với thì . CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 3.1. Phương pháp đạo hàm Đề Bài Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây; với là một hằng số dương; ; với a dương và n nguyên dương; với a dương và n nguyên dương; với p và q lớn hơn 1. Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: với mọi a và b không âm; với mọi x>0 và hãy mở rộng kết quả này. Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. Bài làm Bài 1: với là một hằng số dương. Đặt Khi đó Xét hàm số Ta có: Nếu thì Nếu thì b) Đặt Xét hàm Ta có: Vậy: max y min y = 6 với a dương và n nguyên dương Xét hàm số Ta có Ta có: Vậy max y = 2 . √(2na2) min y = √(2na) . d) y với a dương và n nguyên dương Xét hàm số = x(12n)+ (a x)(12n) , ∀ x ∈ 0 ,a Ta có f (x)=12n . x(_2n1) 1 + 12n (a x )(_2n1) 1 =12n x(_2n1) 1 + (a x)(_2n1) 1 >0 ∀ x ∈ 0,a Hàm số đồng biến ∀ x ∈ 0,a f(0)0. Đặt a =tb(t ≥0) ta được: 3t3 b3 18tb3 +17b3≥0 3t3 18t +17 ≥0 Xét hàm số f(t)= 3t3 18t +17 , t ∈⟦0,+ ┤) f (t)=9t2 –1 f (t)=0 9t2 –18 =0 t = √2 Bảng biến thiên của hàm số f(t) t 0 √2 + f (t) ∥ 0 + f(t) 17 17 2√2 f(t)>0 với ∀ t∈⟦0,+ ┤) Vậy BĐT được chứng minh. Dấu “ =” xảy ra a =b =0 . b) Chứng minh: ex>∑_(k=0)n▒xkk với mọi x > 0 Xét hàm số f_n (x)= ex 1 x x22 … xnn Ta sẽ chứng minh f_n (x)>0 () với mọi x >0, n ∈N. Với n =1,f_1 (x)= ex 1 x f_1 (x)= ex –1>0 Hàm số f_1 (x) đồng biến với x ∈ (0 ,∞) f_1 (x)>f_1 (0) =0. Vậy () đúng với n =1 . Giả sử () đúng với n=k, ta cần chứng minh () đúng với n=k +1 hay f_(k +1) (x)=ex 1 x … xkk x(k +1)(k +1)>0 Thật vậy: 〖f〗_(k +1) (x)= ex 1 x … xkk= f_(k ) (x)>0 (Theo giả thuyết quy nạp) Hàm số f_(k +1) (x) đồng biến với mọi x ∈ (0,+ ∞) f_(k +1) (x)>f_(k +1) (0)=0 Suy ra () đúng với n =k +1. Vậy: f_n (x)>0 với ∀ x∈(0 ,+ ∞) Hay ex>∑_(k=0)n▒xkk (đpcm). Bài 2: (Mở rộng) Cho n là số tự nhiên lẻ lớn hơn 3. Chứng minh rằng với mọi ta có: Đặt Ta cần chứng minh: Ta có: Vì n là số lẻ lớn hơn 3 nên cùng dấu với Do đó ta có bảng biến thiên: x 0 f’(x) 0 f(x) 1 Từ bảng biến thiên ta có: (đpcm) Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Đặt Khi đó Xét hàm số: Lập bảng biến thiên ta được x f’(t) 0 f(t) khi Vậy khi Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. 4.1. Cho là số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Bài làm Ta có: Ta có : , vì thế sau khi đặt thì: Ta có . Xét hàm số với . Ta có . Ta có bảng biến thiên như sau t 2 1 2 P’(t) + 0 P(t) 7 1 Vậy khi 4.2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Bài làm TXĐ: 3; 3 Đạo hàm : Ta có: Nên ; 4.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Lại có , . Suy ra , . 4.4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số . Giải. . Ta có ( ). Với mọi , ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được . 4.5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được 4.6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có hoặc hoặc ( ). Vậy , đạt được . , đạt được . 4.7. Tìm GTNN của hàm số . Giải. , suy ra . Ta có . hoặc . Thử lại, ta thấy chỉ có là nghiệm của . , , , đạt được . 4.8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Giải: .Đặt .Do nên . Bài toán trở thành tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 2 tại t=0 hoặc t=1 tức là x=0 hoặc x= GTNN là tại t = tức là x = . 4.9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: D=R . Đặt ; .Do nên Hàm số trở thành , . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là tại t= GTNN là tại t =0 . 4.10. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: Ta có Đặt ; .Khi đó .Thay vào hàm số ta được : .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 1 tại t=1 tức là ;GTNN là 1 tại t =1 tức là 4.11. Tìm GTLN và GTNNcủa hàm số: y= trên đoạn Giải: TXĐ: R ( Ta chỉ xét trên đoạn ) Đạo hàm: . Tại điểm x = 2, x = 3 hàm số không có đạo hàm y’=0 . Nên có 3 điểm tới hạn thuộc (5; 5) là x =2; ; x=3 Tính f(2)= f(3)=0; f ; f(5)=56; f(5)=6 Suy ra: ; 4.12. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , suy ra . Ta có . Xét hàm , với . Ta có đồng biến trên . Do đó , đạt được khi và chỉ khi hoặc . , đạt được khi và chỉ khi . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có với mọi , , . Do đó , đạt được . , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có biến đổi sau đây . Xét hàm với . Ta có , . Suy ra nghịch biến trên . Do đó . . +) , dấu bằng xảy ra . Vậy , đạt được . +) , dấu bằng xảy ra hoặc . Vậy , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có . Xét hàm , . Ta có , đồng biến trên . Do đó . Dấu “ ” xảy ra , Đạt được . . Dấu “ ” xảy ra hoặc . , Đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Từ giả thiết suy ra . Do đó, nếu đặt thì , hay . Ta có , suy ra . Xét hàm với . Ta có , có nghiệm duy nhất . Ta có , . Do đó , đạt được chẳng hạn khi . , đạt được khi và chỉ khi hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTNN của . Giải. Áp dụng bất đẳng thức với , ta được . Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức , ta có (do , ). Đặt . Xét hàm , . Ta có đồng biến trên . Như vậy , dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi hoặc . Vậy , đạt được hoặc . 4.18. Cho các số thực , , thỏa mãn các điều kiện và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giải. Từ suy ra , thay vào đẳng thức thứ hai của giả thiết, ta được Do đó, nếu đặt thì ta có , . Biến đổi . Xét hàm , với . Ta có có hai nghiệm là . Ta có , , , . Vậy , đạt được chẳng hạn khi , . Cho x, y, z >0 thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức . Giải. Đặt . Ta có và . Suy ra . Lại có , . Xét hàm với . Ta có , suy ra nghịch biến trên . Vậy , đạt được khi và chỉ khi . Cho là ba số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Giải : Theo giả thiết ta có và . Thay vào biểu thức P ta được : Xét hàm số : với và coi c là tham số c>0 Ta có : Ta có bảng biến thiên 0 + 0 Từ bảng biến thiên ta có : . Ta có : Bảng biến thiên : 0 + 0 Từ bảng biến thiên suy ra : . Vậy với thì . CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 3.1. Phương pháp đạo hàm Đề Bài Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây; với là một hằng số dương; ; với a dương và n nguyên dương; với a dương và n nguyên dương; với p và q lớn hơn 1. Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: với mọi a và b không âm; với mọi x>0 và hãy mở rộng kết quả này. Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. Bài làm Bài 1: với là một hằng số dương. Đặt Khi đó Xét hàm số Ta có: Nếu thì Nếu thì b) Đặt Xét hàm Ta có: Vậy: max y min y = 6 với a dương và n nguyên dương Xét hàm số Ta có Ta có: Vậy max y = 2 . √(2na2) min y = √(2na) . d) y với a dương và n nguyên dương Xét hàm số = x(12n)+ (a x)(12n) , ∀ x ∈ 0 ,a Ta có f (x)=12n . x(_2n1) 1 + 12n (a x )(_2n1) 1 =12n x(_2n1) 1 + (a x)(_2n1) 1 >0 ∀ x ∈ 0,a Hàm số đồng biến ∀ x ∈ 0,a f(0)0. Đặt a =tb(t ≥0) ta được: 3t3 b3 18tb3 +17b3≥0 3t3 18t +17 ≥0 Xét hàm số f(t)= 3t3 18t +17 , t ∈⟦0,+ ┤) f (t)=9t2 –1 f (t)=0 9t2 –18 =0 t = √2 Bảng biến thiên của hàm số f(t) t 0 √2 + f (t) ∥ 0 + f(t) 17 17 2√2 f(t)>0 với ∀ t∈⟦0,+ ┤) Vậy BĐT được chứng minh. Dấu “ =” xảy ra a =b =0 . b) Chứng minh: ex>∑_(k=0)n▒xkk với mọi x > 0 Xét hàm số f_n (x)= ex 1 x x22 … xnn Ta sẽ chứng minh f_n (x)>0 () với mọi x >0, n ∈N. Với n =1,f_1 (x)= ex 1 x f_1 (x)= ex –1>0 Hàm số f_1 (x) đồng biến với x ∈ (0 ,∞) f_1 (x)>f_1 (0) =0. Vậy () đúng với n =1 . Giả sử () đúng với n=k, ta cần chứng minh () đúng với n=k +1 hay f_(k +1) (x)=ex 1 x … xkk x(k +1)(k +1)>0 Thật vậy: 〖f〗_(k +1) (x)= ex 1 x … xkk= f_(k ) (x)>0 (Theo giả thuyết quy nạp) Hàm số f_(k +1) (x) đồng biến với mọi x ∈ (0,+ ∞) f_(k +1) (x)>f_(k +1) (0)=0 Suy ra () đúng với n =k +1. Vậy: f_n (x)>0 với ∀ x∈(0 ,+ ∞) Hay ex>∑_(k=0)n▒xkk (đpcm). Bài 2: (Mở rộng) Cho n là số tự nhiên lẻ lớn hơn 3. Chứng minh rằng với mọi ta có: Đặt Ta cần chứng minh: Ta có: Vì n là số lẻ lớn hơn 3 nên cùng dấu với Do đó ta có bảng biến thiên: x 0 f’(x) 0 f(x) 1 Từ bảng biến thiên ta có: (đpcm) Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Đặt Khi đó Xét hàm số: Lập bảng biến thiên ta được x f’(t) 0 f(t) khi Vậy khi Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. 4.1. Cho là số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Bài làm Ta có: Ta có : , vì thế sau khi đặt thì: Ta có . Xét hàm số với . Ta có . Ta có bảng biến thiên như sau t 2 1 2 P’(t) + 0 P(t) 7 1 Vậy khi 4.2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Bài làm TXĐ: 3; 3 Đạo hàm : Ta có: Nên ; 4.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Lại có , . Suy ra , . 4.4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số . Giải. . Ta có ( ). Với mọi , ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được . 4.5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được 4.6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có hoặc hoặc ( ). Vậy , đạt được . , đạt được . 4.7. Tìm GTNN của hàm số . Giải. , suy ra . Ta có . hoặc . Thử lại, ta thấy chỉ có là nghiệm của . , , , đạt được . 4.8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Giải: .Đặt .Do nên . Bài toán trở thành tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 2 tại t=0 hoặc t=1 tức là x=0 hoặc x= GTNN là tại t = tức là x = . 4.9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: D=R . Đặt ; .Do nên Hàm số trở thành , . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là tại t= GTNN là tại t =0 . 4.10. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: Ta có Đặt ; .Khi đó .Thay vào hàm số ta được : .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 1 tại t=1 tức là ;GTNN là 1 tại t =1 tức là 4.11. Tìm GTLN và GTNNcủa hàm số: y= trên đoạn Giải: TXĐ: R ( Ta chỉ xét trên đoạn ) Đạo hàm: . Tại điểm x = 2, x = 3 hàm số không có đạo hàm y’=0 . Nên có 3 điểm tới hạn thuộc (5; 5) là x =2; ; x=3 Tính f(2)= f(3)=0; f ; f(5)=56; f(5)=6 Suy ra: ; 4.12. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , suy ra . Ta có . Xét hàm , với . Ta có đồng biến trên . Do đó , đạt được khi và chỉ khi hoặc . , đạt được khi và chỉ khi . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có với mọi , , . Do đó , đạt được . , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có biến đổi sau đây . Xét hàm với . Ta có , . Suy ra nghịch biến trên . Do đó . . +) , dấu bằng xảy ra . Vậy , đạt được . +) , dấu bằng xảy ra hoặc . Vậy , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có . Xét hàm , . Ta có , đồng biến trên . Do đó . Dấu “ ” xảy ra , Đạt được . . Dấu “ ” xảy ra hoặc . , Đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Từ giả thiết suy ra . Do đó, nếu đặt thì , hay . Ta có , suy ra . Xét hàm với . Ta có , có nghiệm duy nhất . Ta có , . Do đó , đạt được chẳng hạn khi . , đạt được khi và chỉ khi hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTNN của . Giải. Áp dụng bất đẳng thức với , ta được . Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức , ta có (do , ). Đặt . Xét hàm , . Ta có đồng biến trên . Như vậy , dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi hoặc . Vậy , đạt được hoặc . 4.18. Cho các số thực , , thỏa mãn các điều kiện và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giải. Từ suy ra , thay vào đẳng thức thứ hai của giả thiết, ta được Do đó, nếu đặt thì ta có , . Biến đổi . Xét hàm , với . Ta có có hai nghiệm là . Ta có , , , . Vậy , đạt được chẳng hạn khi , . Cho x, y, z >0 thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức . Giải. Đặt . Ta có và . Suy ra . Lại có , . Xét hàm với . Ta có , suy ra nghịch biến trên . Vậy , đạt được khi và chỉ khi . Cho là ba số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Giải : Theo giả thiết ta có và . Thay vào biểu thức P ta được : Xét hàm số : với và coi c là tham số c>0 Ta có : Ta có bảng biến thiên 0 + 0 Từ bảng biến thiên ta có : . Ta có : Bảng biến thiên : 0 + 0 Từ bảng biến thiên suy ra : . Vậy với thì . CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 3.1. Phương pháp đạo hàm Đề Bài Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây; với là một hằng số dương; ; với a dương và n nguyên dương; với a dương và n nguyên dương; với p và q lớn hơn 1. Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: với mọi a và b không âm; với mọi x>0 và hãy mở rộng kết quả này. Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. Bài làm Bài 1: với là một hằng số dương. Đặt Khi đó Xét hàm số Ta có: Nếu thì Nếu thì b) Đặt Xét hàm Ta có:
Trang 1CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 3.1 Phương pháp đạo hàm
Đề Bài Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây;
a) y cosx sinxvới là một hằng số dương;
b) ycos3x5cos 2xcosx1;
c) y2n x2n a x với a dương và n nguyên dương;
d) y2n x2n a x với a dương và n nguyên dương;
e) y cosx p sinxq với p và q lớn hơn 1.
Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 3a3 17b3 � 18ab2 với mọi a và b không âm; 0 !
k n
x
k
x
e
k
�
với mọi x>0 và hãy mở rộng kết quả này
Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 3
2 2
4x 4
y
x x y
Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này.
Bài làm Bài 1:
a) y cosx sinx với là một hằng số dương.
Đặt t cos x , t� 0,1
Khi đó y t 1 t2
Xét hàm số f t( ) t 1 t2,t� 0,1
2
.
1
t
t
.t t 1 t
Trang 2
2
2
2 2
0
0 0,1 '( ) 0
1
1 1
0,1 2 1
1 0,1 2
t
t
f t
t
t
�
� �
�
� �
�
�
� �
�
Ta có: f(0) f(1) 1,
1 2 1
2 2
f
� �
� �
� �
- Nếu 0 2 thì maxy 21 2 ,
miny 1.
- Nếu 2 thì maxy 1, miny 2 1 2
b) ycos 3x5cos 2xcosx1
4cos 3cos 5 2 cos 1 cos 1
4cos 10 cos 2cos 6
Đặt t cos , 2x t� 1,1
Xét hàm f t( ) 4 t3 10t2 2t 6, t� 1,1
f t' 12t2 20t 2
f t' 0 � 12t2 20t 2 0
2
6 10 1 0
5 31
1,1 6
5 31
1,1 6
t t
�
�
�
� �
�
Ta có:
1 6; 1 2
f
� �
Vậy: max y
8 31 31 27
min y = -6
c) y2n x2n a x với a dương và n nguyên dương
Trang 3Xét hàm số y f x 2n x 2n a x
x21n a x21n, �x 0,a
Ta có ' 1 1 1 1
1 1 1 1
1 2
n
1 1 1
1
1
2 1
0 2
0, 2
n
n
a
Ta có:
1 1
2 2 2
2
0
n
n n
� �
� � Vậy max y 2
min y
d) y 2n x2n a x với a dương và n nguyên dương
Xét hàm số y f x 2n x 2n a x
,
Ta có
0
� Hàm số đồng biến
Vậy: min
max
e) y = với p và q lớn hơn 1
Đặt t = |cosx| , t
Xét hàm số f t t p 1 t2q
Trang 4Ta có 1
2
1
t
2
2
1
2
2 2
1
0,1 0
1
q p
p
q
qt
t
p
t
�
�
�
�
�
Ta có:
0 1 0
f
� � � �� �
Vậy max y
min y
Bài 2:
a) 3a 3 17b 3 ≥ 18ab 2 với a, b không âm.
Ta xét hai trường hợp
+ Nếu b , BĐT trở thành
BĐT đúng với mọi a không âm
+ Nếu b Đặt a ta được:
3
� 3
Xét hàm số 3 , t )
t
Bảng biến thiên của hàm số
0
0 17
17
� với )
Trang 5Vậy BĐT được chứng minh Dấu “ =” xảy ra �
b) Chứng minh: với mọi x 0
Xét hàm số
Ta sẽ chứng minh với mọi ,
- Với
� Hàm số đồng biến với
�
Vậy đúng với
Giả sử đúng với , ta cần chứng minh đúng với hay
Thật vậy:
(Theo giả thuyết quy nạp)
� Hàm số đồng biến với mọi
�
Suy ra đúng với
Vậy: với
Hay (đpcm)
Bài 2: (Mở rộng) Cho n là số tự nhiên lẻ lớn hơn 3 Chứng minh rằng với mọi
0
x� ta có:
Đặt
2
n
n
n
n
Ta cần chứng minh: f x( )u x v x( ) ( ) 1.
Ta có:
1
�
�
�
� '( ) '( ) ( ) ( ) '( )
f x u x v x u x v x
( ) ( ) ( ) ( )
u x v x u x v x
Trang 6 ( ) ( )
!
n
x
u x v x n
2x
Vì n là số lẻ lớn hơn 3 nên f x'( ) cùng dấu với ( 2x). Do đó ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có: f x( ) f(0) 1, �x 0. (đpcm)
Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 3
2 2
4x 4
y
x x y
Đặt x ty ,t�0, �
2
Xét hàm số: 3
2
4
4
t
f t
t t
t�0, �
2
3
'( )
f t
'( ) 0,
(0, )
2
4 3
t
�
� Lập bảng biến thiên ta được
2
�
8
(0, )
1 max ( )
8
f t
�
�
khi
8 2
f � �� �
� �
2 3
2 2
max
8 4
y
khi
1 2
x y
Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này.
Trang 74.1 Cho x y, là số thực thỏa mãn x2 y2 2
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P2(x3y3) 3 xy
Bài làm
Ta có:
= 2( )(2 ) 3
Ta có :
2
2
x y
xy
, vì thế sau khi đặt t x y thì:
3 2
P t t t t t
Ta có
2
2
x y
x y � � x y � � � �t
Xét hàm số
3 3 2
2
P t t t t
với � � 2 t 2.
Ta có P t'( ) 3t2 3t 6
1 '( ) 0
2
t
P t
t
�
� � �
Ta có bảng biến thiên như sau
t -2 1 2 P’(t) + 0
-P(t)
13 2
-7 1
Vậy
Trang 8 2;2
min ( )P t P( 2) 7
khi x y 1
2;2
;
( ) (1)
;
max P t P
�
�
�
�
4.2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y f x ( ) x 9 x2
Bài làm
TXĐ: [-3; 3]
Đạo hàm :
2
9 ' 1
y
' 0 3 ( 3 3;3
2 2
Ta có:
3 ( 3) 3; (3) 3; ( ) 3 2
2
Nên min ( )f x 3;(x ; 3)
3 max ( ) 3 2;( )
2
4.3 Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
1
y
x
trên đoạn 0; 2
Giải Ta có
y
�x 0; 2 Lại có
0 3
y , 2 17
3
Suy ra min 0;2 3
�
, 0;2
17 max
3
�
4.4 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y x 4x2
Giải.TXD 2;2 Ta có
2
4 ' 1
y
(x� 2; 2)
Với mọi x� 2;2, ta có
Trang 9' 0
y � 4 x2 x 0 � 4 x 2 x � 2 2
0 4
x
x x
�
�
�
Vậy
miny min y 2 ;y 2 ;y 2 min 2; 2;2 2 2
, đạt được � x 2;
maxy max y 2 ;y 2 ;y 2 min 2;2;2 2 2 2
, đạt được � 2
4.5 Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2
1 1
x y x
trên đoạn 1; 2.
Giải Ta có
2
2
1 1
'
x
x x
y
Với mọi x� 1;2 ta có
' 0
y � x1. Vậy
5
� , đạt được � x 1;
5
� , đạt được � x 1
4.6 Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
ln x
y x
trên đoạn � �1;e3
Giải Ta có
2
2
ln
2 ln ln '
x
x y
Với mọi x� 1;e3 ta có
' 0
y � 2lnx ln 2x 0 � lnx 0 hoặc lnx 2
Trang 10� x 1 hoặc x e 2 � x e 2 (1 � 1;e3
)
3 2
9 4 miny min y 1 ;y e ;y e min 0; ; 0
e e
� , đạt được � x 1.
3 2 2
maxy max y 1 ;y e ;y e max 0; ;
� , đạt được � x e 2.
4.7 Tìm GTNN của hàm số y x2 4x21 x2 3x10.
2 2
4 21 0
3 10 0
�
�
�
x x
� �
�
� � �
� � � � 2 x 5, suy ra
TXD= 2;5 Ta có
'
y
' 0
� 4 x2 3x 10 x2 4x 4 x2 4x 21 4 x2 12x 9
� 51x2 104x 29 0 �
1 3
x hoặc
29 17
x
Thử lại, ta thấy chỉ có
1 3
x
là nghiệm của y'
2 3
y , y 5 4, y � �� �� �13 2 � miny 2, đạt được � x13.
4.8 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
G
iải:
.Đặt Do nên
Bài toán trở thành tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn
Trang 11
.So sánh các giá trị này ta được GTLN là 2 tại t=0 hoặc t=1 tức là x=0 hoặc x=
4
GTNN là tại t = tức là x =
4.9 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn
G
iải:
D=R
Đặt ; Do nên
*Hàm số trở thành ,
.So sánh các giá trị này ta được GTLN là tại t= GTNN là tại t =0
4.10 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn
G
iải:
Ta có
Đặt ; Khi đó Thay vào hàm số ta được :
.So sánh các giá trị này ta được
GTLN là 1 tại t=1 tức là ;GTNN là -1 tại t =-1 tức là
4.11 Tìm GTLN và GTNNcủa hàm số: y=
x x trên đoạn 5;5
G
iải:
TXĐ: R ( Ta chỉ xét trên đoạn 5;5)
Đạo hàm:
'
y
�
� Tại điểm x = 2, x = 3 hàm số
không có đạo hàm
y’=0 5 5;5
2
Nên có 3 điểm tới hạn thuộc (-5; 5) là x =2;
5 2
; x=3
Trang 12Tính f(2)= f(3)=0; f
� �
� �
� � ; f(-5)=56; f(5)=6 Suy ra: max ( ) 56 5;5 f x
;
5;5
4.12 Cho x, y�0 thỏa mãn x y 4 Tìm GTLN, GTNN của S x3 1 y3 1.
Giải Đặt txy, suy ra
4
x y
� �
Ta có
xy x y ��x y xy�� t3 4 4 ��2 3t�� 1 t3 12t 63. Xét hàm f t t3 12t 63, với t� 0; 4 Ta có f t' 3t2 12 0 �t 0; 4 �
f t đồng biến trên 0; 4 Do đó
min min 0;4 0 63
t
�
, đạt được khi và chỉ khi 4
0
x y xy
�
�
� � x y; 4;0 hoặc x y; 0;4
max max 0;4 4 49
t
�
, đạt được khi và chỉ khi 4
4
x y xy
�
�
� � x y; 2; 2
4.13. Cho x, y�0 thỏa mãn x2y2 2 Tìm GTLN, GTNN của S x y xy
Giải Đặt t �x y t 0 Ta có
t x y � x y � t�2,
t x y x y xy x� y � t� 2 Suy ra t ��� �2;2� Lại có
2 2 2
2 1 1
1 2
S f t t t
Ta có f t' t 1 0 với mọi t� 2;2
, f 2 1, 1 3
2
Do đó
Trang 13 minS f 2 1, đạt được � 2 2
2 2
x y
x y
�
�
1 1
x y
�
�
max 1 3
2
S f
, đạt được � 2 2
1 2
x y
x y
�
�
2
2
x y
�
�
�
�
� hoặc
2
1 3 2
x y
�
�
�
�
4.14. Cho x, y�0 thỏa mãn x2y2 8 Tìm GTLN, GTNN của 1 1
S
Giải Đặt t x y, ta có
x y � x y � � t� 4,
x y x y xy x� y � t�2 2
Suy ra 2 2 � �t 4 Lại có
2 2 2
2 8
�
Ta có biến đổi sau đây
S
11 1 1
2 1
x y xy
2
8 8 1 2
t t t t t
2 6
t
t t
�
.
Xét hàm 2
8
2 6
t
f t
t t
với 2 2 � �t 4 Ta có
f t
, t: 2 2 � �t 4.
Suy ra f nghịch biến trên ��2 2; 4�� Do đó min2 2 ;4 4 2
3
� �
�� �
max f t f 2 2 2.
+) 2 min2 2;4 4
3
t
� �
�� �
� �
, dấu bằng xảy ra �
2 2 8 4
x y
x y
�
� � x y 2 Vậy 4
min
3
S
, đạt được � x y 2.
Trang 14+) 2 max2 2;4 4 2
t
� �
�� �
� �
, dấu bằng xảy ra �
2 2 8
2 2
x y
x y
�
�
0
2 2
x y
�
�
� hoặc
2 2
0
x
y
�
�
�
Vậy
4 max
3
S
, đạt được �
0
2 2
x y
�
�
� hoặc
2 2 0
x y
�
�
�
4.15. Cho x, y�0 thỏa mãn x y xy 3 Tìm GTLN, GTNN của
S
Giải Đặt
t x y �
2
3
4
t t
�
�
�
�
�
3
t
�
�� �
Ta có
3 3 2 2 1
3 3 3 2 2 3 1
3
2 7 1 3
t
t
Xét hàm 3 2 7 1 3
t
, t� 2;3
Ta có
2
2
t
t
, �t 2;3 � f 1 đồng biến trên 2;3
Do đó
2 4
5
S f t �f
Dấu “” xảy ra �
3 2
x y xy
x y
�
�
�
4 min
5
S , Đạt được � x y 1.
Trang 15 3 35
6
S f t �f
Dấu “” xảy ra �
3 3
x y xy
x y
�
�
0 3
x y
�
�
� hoặc 3
0
x
y
�
�
�
35 max
6
S
, Đạt được �
0 3
x y
�
�
� hoặc
3 0
x y
�
�
4.16. Cho x, y thỏa mãn x2 xy y2 1 Tìm GTLN, GTNN của S x2 xy y2
Giải Từ giả thiết suy ra 2 2 2 3 2
1
Do đó, nếu
đặt t x y thì 34t2 �1, hay
2 3 2 3
;
Ta có 2 2
xy x y t , suy ra
S x y xy t t t .
Xét hàm f t 2t2 3 với
2 3 2 3
;
� � Ta có f t' 4t, f t' có nghiệm
duy nhất
2 3 2 3
��� ��
Ta có f 0 3,
Do đó
1 min
3
S
, đạt được chẳng hạn khi
2 3 3 1
x y
x xy y
�
�
�
�
2 3 3 1
x y
x y xy
�
�
�
2 3 3 1 3
x y xy
�
�
�
�
3 3
maxS 3, đạt được khi và chỉ khi
Trang 162 2
0 1
x y
x xy y
�
�
0
1
x y
x y xy
�
0 1
x y xy
�
�
� � x y; 1; 1 hoặc x y; 1;1.
4.17. Cho x, y thỏa mãn 3
x y xy� Tìm GTNN của
4 4 2 2 2 2
A x y x y x y .
Giải Áp dụng bất đẳng thức 2 2 3 2
4
a b ab � a b
với a x 2, b y 2 ta được
4
x y x y � x y
� 9 2 2 2 2 2
4
A� x y x y
Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức 2
4xy�x y , ta có
2
x y ��x y x y ���
� x y �1 (do 2 2
x y x y x y x, y)
Đặt t x2 y2 �
2
2
1
9
2 1 4
x y t
�
�
�
Xét hàm 9 2
2 1 4
f t t t
,
1 2
t� Ta có ' 9 2 0
2
2
t
�
� f t đồng biến trên
1
; 2
� �� �
� �� f t � � �f � �12 169
� �
1 2
t
�
Như vậy
9 16
S �
, dấu “” xảy ra khi và chỉ khi
2 2 1
2
x y
x y
�
�
�
2 2
� �� �
hoặc ; 1; 1
2 2
x y �� ��
Vậy
9 min
16
S
, đạt được � ; 1 1;
2 2
� �� �
hoặc ; 1; 1
2 2
x y �� ��
4.18 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x y z 0 và
2 2 2 1
x y z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 5 y5 z5.
Giải Từ x y z 0 suy ra z x y, thay z x y vào đẳng thức thứ hai
của giả thiết, ta được
Trang 17Do đó, nếu đặt t x y thì ta có
2 3 1
2t �
�
6 6
;
3 3
2
2
t
xy
Biến đổi
P 5 5 5
3 3 2 2 2 2 5
2
2
4 t t
Xét hàm 5 3
2 4
f t t t
, với
6 6
;
3 3
� � Ta có 5 2
4
f t t
có hai
nghiệm là
;
Ta có
6 5 6
6 5 6
f � �
� �
f � �
� �
Vậy
5 6 min
36
P
, đạt được chẳng hạn khi
6 6
x y
,
6 3
z
4.19 Cho x, y, z >0 thỏa mãn
3 2
x y z �
Tìm GTNN của biểu thức
2 2 2
2 2 2
x y y z z x
.
Giải Đặt t 3 xyz Ta có t0 và
3 3
3
2 �x y z � xyz
�
1 2
t�
Suy ra
1 0;
2
t � ��� �� �
Lại có
Trang 182 2 2 33 2 2 2 3 2
x y z � x y z t ,
3
3
x y y zz x � x y y z z x� � xyz t
�
2 3
1 3
t
� �� ��
Xét hàm 2
3
1
f t t
t
với
1 0;
2
t � ��� �� �
Ta có 4 54
f t t
2
t � �
�� �� �
,
suy ra f nghịch biến trên
1 0;
2
� �
� �
� � Vậy
1 99 min 3
S f � �� �
� � , đạt được khi và chỉ khi
2
xyz
�
�
� � x y z 12
4.20 Cho a b c, , là ba số thực thỏa mãn điều kiện abc a c b Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức : 2 2 2
P
Giải : Theo giả thiết ta có (1 ) 0 1
a c
ac
và
1
a c
Thay vào biểu thức P ta được :
2
a c
Xét hàm số :
2
1 ( 1)( 1)
x c
f x
với 0 x 1c và coi c là tham số c>0
Ta có :
2
2 0
2 2 2
(1 ) (1 )
c x cx
Ta có bảng biến thiên
x
0 x0
1
c
'( )
f x + 0 - ( )
f x f x( ) 0
Trang 19Từ bảng biến thiên ta có : ( ) ( )0 1 2
c
f x f x
c
�
.
2 2 2
c
Ta có : 2 2 2 2 0 2(1 8 ) 1 '( ) 0 0; 8 (1 ) (3 1 ) c g c c c c c c � � � Bảng biến thiên :
c 0 c0 �
g c'( ) + 0 -
g c( )
0 ( )
g c
Từ bảng biến thiên suy ra : g c( ) �g c( ) 0
0
10 ( ) ( )
3
S g c g c
�
Vậy với
2 8
c a b
thì
10 max
3
S