Toán Hàm Số CHUYÊN đề hàm số 1

 Với 6 phần học trong chuyên đề hàm số tương ứng với 2 điểm trong kì thi THPT Quốc gia năm 2016 được phân bổ thành 2 câu trong đề thi.. Từ năm 2015 trở đi 2 câu trong chuyên đề hàm số

 Với 6 phần học trong chuyên đề hàm số tương ứng với 2 điểm trong kì thi THPT Quốc gia năm 2016 được phân bổ thành 2 câu trong đề thi Từ năm 2015 trở đi 2 câu trong chuyên

đề hàm số được đánh giá là 2 câu ở mức độ cơ bản, các bạn học sinh chỉ cần nắm rõ sơ đồ

con đường các phần và rèn luyện tư duy qua các tính chất là có thể đạt điểm tối đa

 Riêng phần Biến đổi đồ thị được sắp xếp vào bài đọc thêm vì đây là phần ít thi trong đề

thi THPT Quốc gia

Chuyên đề này gồm những phần gì ?

Đây là chuyên đề xương sống trong giải tích 12

Là tiền đề để học các phần còn lại ,nên hãy bắt

đầu tìm hiểu nó nhé ! ^_^

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Tôi là : Tôi sẽ là người xuất sắc nhất chuyên đề này

 Các bài khảo sát và vẽ đồ thị ra trong đề thi THPT Quốc gia thường rơi vào 3 dạng hàm chính

: Hàm bậc 3, hàm trùng phương , hàm bậc nhất / bậc nhất với đặc trưng và hình dạng đồ thị

các hàm được tổng quát như sơ đồ trên

1

Tuyên bố

SƠ ĐỒ CON ĐƯỜNG

KẾ HOẠCH RÈN LUYỆN CÁ NHÂN

STT Hàm Số bài tập rèn luyện Thời gian rèn luyện Ghi chú Bản thân

 Hàm số đồng biến trên khoảng (

 Hàm số nghịch biến trên khoảng (

 Cực trị

 Hàm số đạt giá trị cực đại tại

 Hàm số đạt giá trị cực tiểu tại =>

 Giới hạn và tiệm cận

0

-4

-1 -2 -1 0 1

y

x

 [

 Hàm số đồng biến trên khoảng (

 Hàm số nghịch biến trên khoàng (

 Cực trị  Hàm số đạt giá trị cực đạt tại =>

 Hàm số đạt giá trị cực tiểu tại =>

 Giới hạn

 Bảng biến thiên của hàm số

- - Vẽ đồ thị hàm số  Đồ thị hàm số đi qua một số điểm



Đồ thị hàm số  Nhận xét : Đồ thị đối xứng qua trục Oy  Lưu ý: Đối với hàm trùng phương khi vẽ đồ thị phải đảm bảo tính dối xứng qua trục 0y Để đảm bảo như vậy chúng ta vẽ lần lượt các cạnh tương ứng đối xứng Ví dụ 3 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

0

x => y = 1 là đường tiệm cận ngang

 Bảng biến thiên của hàm số

ta phải vẽ 2 đường tiệm cận trước để

đảm bảo tính đối xứng tâm Sau đó tịnh

tiến đồ thị để xác định hệ trục tọa độ Ox

và Oy

 NHẬN XÉT PHẦN HỌC

 Đây là câu 1 điểm trong kì thi THPT Quốc gia năm 2016 với lời giải chi tiết và trình bày

theo đáp án kì thi tốt nghiệp THPT Quốc gia của Bộ GD&ĐT Đối với trình bày bài khảo

sát và vẽ đồ thị hàm số có 2 cách trình bày theo 2 chương trình sách giáo khoa ban cơ bản

và nâng cao nên một số các em học sinh có thể trình bày theo cách còn lại vẫn được chấp

nhận điểm tuyệt đối nhé !

 Trong trình bày nên vẽ bằng nét chì trước để đảm bảo nét vẽ đúng sau đó tẩy đi và tô lại

bằng nét bút mức Các bạn lưu ý là không được viết, vẽ bằng bút chì trong bài thi ( trừ

STT Dạng bài Số bài tập

rèn luyện

Thời gian rèn luyện Ghi chú Bản thân

1 Xét tính đơn điệu trực tiếp

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng D

Nếu f đồng biến / D thì f(x)  0, x  D

LÍ THUYẾT CƠ BẢN

Xét trực tiếp tính đơn điệu của một hàm xác định

Ví dụ 1 : Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số

Giải SƠ ĐỒ CON ĐƯỜNG

 Tập xác định : D = R Bước 1 : Tập xác định

Bước 2 : Tính y ‘ = 0

  *

- Tìm x Hàm số đồng biến trên khoảng Bước 3 : Lập bảng xét dấu và kết luận

(

Hàm số nghịch biến trên khoảng (

 Bài tập đề nghị : Xét tinh đồng biến, nghịch biến của hàm số sau y = 5

Tìm m để hàm số luôn đơn điệu trên đoạn, khoảng , miền xác định

 Phương pháp 1: Xét hàm số

Ví dụ 1 :Cho hàm số: Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng

Bài giải Sơ đồ con đường Ta có : y’ = 3

 Hàm đồng biến trên

 với



 với

 Xét hàm số f(x) = trên khoảng (0;

 



Bước 1: Tính y’  Hàm đồng biến : y’

Bước 2 : Chuyển x sang một bên m sang một bên Bước 3 : Xét hàm số f(x) BẤT PHƯƠNG TRÌNH Chuyển 1 vế là f(x) vế còn lại là f(m) 𝒇 𝒎 𝑴𝒂𝒙 𝒇 𝒙 𝒇 𝒎 ≤ 𝑴𝒊𝒏 𝒇 𝒙 Xét hàm f(x)

Xét điều kiện của m Dạng 2

0 +

2 +

Từ đó ta đi đến kết luận: ( ) 

Bước 4 : Xét điều kiện của m Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y=: đồng biến trên khoảng (1;3) Bài giải Sơ đồ con đường Ta có : y’ = 4

 Hàm số đồng biến trên khoảng (1;3) nên y’ với mọi x ( 1; 3)

 4 mọi x ( 1; 3)

 4x(

 mọi x ( 1; 3)

 Xét hàm số f(x) = trên khoảng (1; 3)

f’(x) = 2x với mọi x ( 1; 3) nên hàm số luôn đồng biến Suy ra Min f(x) = f(1)

Vậy m ≤ là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán

m ≤

Bước 1: Tính y’  Hàm đồng biến nên y’

Bước 2 : Chuyển x sang một bên và m sang một bên Bước 3 : Xét hàm số f(x) Bước 4 : Xét điều kiện của m Ví dụ 3 : Tìm m để hàm số sau : y = đồng biến trên khoảng [1; +

Bài giải Sơ đồ con đường Ta có : y’ =

( x

Hàm số đồng biến trên khoảng [1; +  {

 {  {  m < 1

Vậy m < 1 là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán Bước 1: Tính y’  Hàm đồng biến nên

Chú ý : Điều kiện x

Bước 2: Xét điều kiện của m Ví dụ 4 : Tìm m để hàm số sau luôn đồng biến trên R:

m ≤ 𝑀𝑖𝑛 𝑓 𝑥

 Trường hợp 2 : mẫu số

≤

Bước 3: Xét hàm số f (x)

Bước 4 : Tìm điều kiện của m

 Phương pháp 2 : Sử dụng tam thức bậc 2

1) Nếu thì:

2) Định lí về dấu của tam thức bậc hai :

3) So sánh các nghiệm x 1 , x 2 của tam thức bậc hai với số 0:

 Nếu  < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a

 Nếu  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = )

 Nếu  > 0 thì g(x) có hai nghiệm x 1 , x 2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a

Trong quá trình ghi nhớ các bạn học sinh sẽ luôn thắc mắc làm thế nào để ghi nhớ một cách chính xác các công thức và sau đây là phương pháp giúp các bạn làm điều

đó :

 Xét { với 0 rồi chuyển về so sánh { với 0

4) Để hàm số có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x 1 ;

x 2 ) bằng d thì ta thực hiện các bước sau:

 Tính y

 Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: (1)

 Biến đổi thành (2)

 Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m  Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm Ví dụ 1: Cho hàm số Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

Bài giải Sơ đồ con đường Tập xác định: D = R

y’ = Ta có ∆

 Nếu ≤ thì   0  y’ với

 Hàm số đồng biến trên R

Từ đó suy ra ≤ thỏa mãn yêu cầu bài toán  Nếu thì   0  phương trình y’

có 2 nghiệm phân biệt ,

Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng , Do đó hàm số đồng biến trên khoảng  ≤ ≤  {∆

{

(VN) Vậy: ≤

Bước 1 : Tính y’ ( tam thức bậc 2 ) Bước 2 : Xét ∆ và a  ∆ ≤ thì y’

(do a )

 ∆ mà a

nên ngoài khoảng ( hàm số ĐB Bước 3: Xét điều kiện với trường hợp so sánh nghiệm Ví dụ 2 :Tìm m để hàm số y x33x2 (m1)x4m nghịch biến trong ( - 1; 1) Bài giải Sơ đồ con đường  y’ =

Ta có :∆ ( a 3 > 0 ) Hàm số nghịch biến trong ( - 1; 1) y'0 và x111x2        0 ) 1 ( 0 ) 1 ( af af             0 ) 1 6 3 ( 3 0 ) 1 6 3 ( 3 m m        8 4 m m 8   m Vậy: m8 thì hàm số nghịch biến trong ( - 1; 1) Bước 1 : Tính y’( bậc 2) Bước 2 : Xét ∆ và a  Trong khoảng ( y’ ngược dấu với a

Bước 3: Xét điều kiện so sánh

nghiệm

Ví dụ 3: Cho hàm số (1),(m là tham số).Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1

Ta có có ∆

 Nếu m ≥ 3 thì , thì hàm số đồng biến trên R

 m ≥ 3 không thoả mãn

 Nếu m < 3 thì có 2 nghiệm phân biệt ,

Hàm số nghịch biến trên đoạn , với độ dài I

Ta có: x x x x m

1 2 2; 1 2

3

    YCBT  l 1  x x1 2 1  2

1 2 1 2 (x x )  4x x  1  4

Vậy m = là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 4 Tìm m để hàm số y = đồng biến trên khoảng (2 ; )

Bước 1 : Tính y’( bậc 2) Bước 2 : Xét ∆ và a

?1: Nếu a ở dạng tham số m thì ?

 Biện luận trường hợp > 0 ( hoặc

< 0 ) với a tương ứng trường

hợp với ∆

 Biện luận đồng thời điều kiện của ∆ và a theo mục 2 định lí về dấu của tam thức bậc 2

 Coi f(m) = k biện luận nghiệm theo k với f(k) = k là hàm hằng

 Giải bất phương trình tìm m đối với điều kiện k vừa tìm được

Bài tập đề xuất: Tìm m để hàm số y= đồng biến trên ( 2;+ Các bạn đọc có thể trong quá trình giải toán còn xuất hiện thêm các trường hợp khác cần bàn luận thì vui lòng truy cập vào trang facebook :

https://www.facebook.com/groups/564286070405967/ để cùng nhau giải đáp nhé !

3 nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1

2 đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4

3  

 

2 3

mx

y

x m đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

4 luôn đồng biến trên R

5 y x 4 2mx2 3m 1 (1), đồng biến trên khoảng (1; 2)

6.y 1( 1) (2 1)m x3 m x2 3(2m 1)x 1

3

       (m  1), luôn đồng biến trên khoảng K (1;  )

Bài 3: Chứng minh hàm số √ nghịch biến trên đoạn

 Đây là câu hỏi thuộc phần hàm số và là câu 1 diểm trong kì thi THPT Quốc gia Mức độ câu hỏi tương đối dễ trong đề thi các năm gần đây nên đây là câu mà các bạn phải nắm chắc chắn được số điểm Các bạn hãy bắt tay ngay vào rèn luyện đi nhé ! Chúc các bạn thành công !

Tôi đã xuất sắc hoàn thành được điểm phần học này

Lập bảng biến thiên

Cách

1

Tính y’ = 0 ( Tìm x )

Sử dụng Quy tắc 2

Cách

2 Dạng 1: Tìm Min, Max / GTLN, GTNN của hàm số

Điều kiện để cực trị tồn tại

Hàm số có cực tịểu tại x 0 :

{𝒚′ đổ𝒊 𝒅ấ𝒖 𝒕ừ 𝒔𝒂𝒏𝒈 𝒒𝒖𝒂 𝒙𝒐

𝑦 ′ 𝑥 𝑜 =0

hoặc

  

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu y CT   4

2 3

)1(40

x

x x

x y

68 ) 3 (

; 13 ) 2 (

; 4 ) 1 (

; 4 ) 1 (

; 5 )

; 2

; 2

a) trên [-1;5]

Bước 1: Tập xác định Bước 2 : Tính y’ = 0 => Tìm x

Bước 3 : Sử dụng phương

pháp

b) trên [-3;2]

Ví dụ 4: Tìm GTLN-GTNN của hàm số sau:

a) y = x.√ c) y =

b) y = cosx +

Bài giải Sơ đồ con đường a) y = x.√

 Tập xác định : D

 y’ =

√ ( với -1 < x < 1 ) y’ = 0  1 - 2  x = √ hoặc x = √

 Bảng biến thiên của hàm số: x -1 √

√ 1

f’(x) - 0 + 0 -

f(x) 0

0

Bước 1: Tập xác định Bước 2 : Tính y’ = 0 => Tìm x

Bước 3 : Sử dụng phương

pháp

 Lập bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt GTLN là tại x = √

hàm số đạt GTNN là

 Ta có :y” = -cosx – 2cos2x

+ y”( = - cos – 2cos2 =

+ y”( = -cos – 2cos = > 0

Vậy hàm số đạt GTLN tại x =

hàm số đạt GTNN là tại x = ( k

Bước 1: Tập xác định Bước 2 : Tính y’ = 0 => Tìm x

Bước 3 : Sử dụng phương

pháp

 Quy tắc 2

 Hoặc Bảng biến thiên

Dạng 2 : Tìm m để hàm số có Cực Đại , Cực Tiểu và thỏa mãn một tính chất

Ví dụ 1: Cho hàm số: 3 2

yx  m x  xm, với m là tham số thực.Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x1x2 2

 Ta có y ‘ = 3

 Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu x1, x2

 Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2

=> Bình phương mất | |

Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1 2x2 1

 Ta có:

Hàm số (2) có 2 diểm cực đại và cực tiểu

 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt , (

Có 2 điểm  2 nghiệm nên

điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x

vuông góc với đường thẳng y = x và I thuộc đường

nghiệm

Bước 3 : Xử lí tinh chất

 Tính chất hình học

 1 ẩn m => 1 phương trình

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vg ⃗⃗⃗⃗  ∆ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ = 0 ∆ Gọi I ∆ thế I vào AB

Bài giải Sơ đồ con đường

Do tính chất của hàm số trùng phương, tam giác ABC

là tam giác cân, cho nên để thỏa mãn điều kiện tam giác là

vuông, thì AB vuông góc với AC

- Cạnh :AB=AC ;AB vuông

AC

- Góc : ( AB, BC ) = 45

Ví dụ 5 :Cho hàm số (1) Viết phương trình đường thẳng

qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

+) PT có 2 nghiệm

Bước 2 : Xử lí tính chất

Ví dụ 7 :Cho hàm số : (1).Tìm m để hàm số có hai cực trị x x1 2,

thoả mãn 1 x x

Bài giải Sơ đồ con đường

thoả mãn 1 x1x2

Ví dụ 8 Cho hàm số 4 2 2

yx  m x  (1).Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C và diện tích tam giác ABC bằng 32 (đơn vị diện tích)

Hãy sáng tạo ra các tính chất có thể có từ 2 yếu tố &

xoay quanh 2 cách xử lí dùng hệ thức Viet ( chuyển về tổng & tích ) và Hình học ( cạnh &

góc )

CÂU HỎI TƯ DUY

Trong quá trình làm các bài tập các em học sinh thăc mắc hay cần đưa ra bàn luận có thể truy

cập vào group https://www.facebook.com/groups/564286070405967/ để cùng nhau giải đáp

Bài 6: Cho hàm số , trong đó m là tham số.Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x2CĐ= xCT

môn như tiếng anh và các môn xã hội

Bạn thường chiếm ưu thế trong các cuộc tranh luận hoặc cãi vã

Bạn thích nói chuyện để giải quyết vấn đề, giải thích cho những giải pháp cũng như đặt nhiều câu hỏi

2.LOGIC – TOÁN HỌC

Bạn thích làm việc với những con số và tính nhẩm rất tốt

Bạn có nhiều hứng thú với các tiến bộ khoa học mới nhất

Bạn thích thú với những thức thách của các trò chơi trí tuệ hoặc toán đố cần nhiều suy nghĩ logic Bạn thường là người tìm ra các điểm vô lý trong những việc người nói hoặc làm Toán và các môn tự

nhiên là những môn học yêu thích của bạn

3.HÌNH ẢNH – KHÔNG GIAN

Bạn thường hiểu và trân trọng các môn nghệ thuật Bạn thường ghi nhận những sự kiện quan trọng bằng máy chụp hình và máy quay phim

Bạn thường vẽ vời khi phải ghi chép hoặc suy nghĩ Bạn thích chơi các game về hình ảnh như ghép hình và

mê cung Bạn thường chia sẻ quan điểm của mình bằng sơ đồ hoặc hình ảnh Bạn thích đọc những tài liệu có hình ảnh minh họa

4.CẢM XÚC – VẬN ĐỘNG CƠ THỂ

Bạn tham gia thể thao hoặc tham gia biểu diễn múa thể dục, võ hoặc

những môn tương tự Bạn có xu hướng tự tay thực hiện những việc thủ

công lắp ráp Bạn thích suy nghĩ những vấn đề khi đang chạy hoặc đi

bộ Bạn không ngại nhảy trước một đám đông.Bạn thích những trò chơi

mạo hiểm tại các hội chợ/ trung tâm vui chơi giải trí Môn học thích thú

nhất tại trường của bạn là môn thể dục & thủ công kỹ thuật Bạn thích

chơi những trò chơi nghịch ngợm và phá bĩnh với trẻ con

5.ÂM NHẠC

Bạn có thể chơi một nhạc cụ Bạn thường nghe nhạc ở nhà Bạn thường hay gõ nhịp theo điệu nhạc Bạn thường hay huýt sao hay nhẩm theo một giai điệu Bạn thích có nhạc khi đang làm việc

6.QUAN HỆ GIAO TIẾP

Bạn rất tự tin làm quen với một người chưa từng gặp, đặc biệt là bạn khác giới

Bạn thích làm việc với những người khác trong một nhóm

Bạn thích trò chơi có sự tham gia của nhiều người như cờ tỷ phú, cá ngựa

Bạn là một người thích giao tiếp bạn thích tham dự một bữa tiệc hơn là ở nhà xem ti vi một mình

7.NỘI TÂM|

Bạn viết một cuốn nhật ký hay blog để ghi lại những suy nghĩ của

mình.Bạn thường dành những thời gian yên tĩnh syu nghĩ những vấn đề

quan trọng trong cuộc sống của mình.Bạn thích tự mình đi câu cá hay