Hàm số: Hàm số bậc nhất

Bản đầy đủ của cả chuyên đề này và các chuyên đề khác, xem và tải (có phí) tại địa chỉ website: http:www.etcgroup.edu.vntailieutoan10 Trong quá trình sử dụng tài liệu, nếu có khó khăn hay có những lỗi sai xin hãy phản hồi tới E.T.C theo hotline, website và facebook. Tài liệu này chúng tôi xây dựng dựa trên bài tập Toán theo chương trình học của học sinh trường THPT Chuyên Ngoại ngữ. Có chỉnh sửa, bổ sung kiến thức – chuyên đề, thêm đáp án để phù hợp với mọi đối tượng học sinh và các đồng nghiệp tham khảo.

Dạng 1 Tìm tập xác định của hàm số (TXĐ)

Dạng 2 Khảo sát sự biến thiên của hàm số Lập bảng biến thiên

Dạng 3 Hàm số chẵn – Hàm số lẻ

Dạng 1 Khảo sát sự biến thiên của hàm số Lập bảng biến thiên Vẽ đồ thị Dạng 2 Ứng dụng khảo sát hàm số

Vào bài toán biện luận số nghiệm của phương trình

Vào bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất

(GTNN)

Vào bài toán tìm điều kiện của tham số trong bất phương trình

Dạng 3 Tìm điểm cố định của họ đồ thị hàm số bậc nhất

Dạng 1 Khảo sát sự biến thiên của hàm số Lập bảng biến thiên Vẽ đồ thị Dạng 2 Biến đổi đồ thị dựa vào tính chẵn lẻ của hàm số

Ứng dụng của đồ thị hàm số ddeer biện luận về số nghiệm của

phương trình

Dạng 3 Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN)

Tìm điều kiện của tham số trong các bất phương trình

Dạng 4 Tìm điểm cố định của họ Parabol

Dạng 5 Sự tương giao giữa Parabol với đường thẳng

Bản đầy đủ của cả chuyên đề này và các chuyên đề khác, xem và tải (có phí) tại địa chỉ website:

http://www.etcgroup.edu.vn/tai-lieu-toan-10

Trong quá trình sử dụng tài liệu, nếu có khó khăn hay có những lỗi sai xin hãy

phản hồi tới E.T.C theo hotline, website và facebook

Tài liệu này chúng tôi xây dựng dựa trên bài tập Toán theo chương trình học của học sinh trường THPT Chuyên Ngoại ngữ Có chỉnh sửa, bổ sung kiến thức – chuyên đề, thêm đáp

án để phù hợp với mọi đối tượng học sinh và các đồng nghiệp tham khảo

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Hàm số bậc nhất y = ax+b ( a≠ 0)

TXĐ: D = !

Chiều biến thiên:

a > 0 hàm số đồng biến trên !

a < 0 hàm số nghịch biến trên !

Đồ thị của hàm số là một đường thẳng không song song, không trùng với các trục tọa độ, luôn đi qua hai điểm

A 0;b( ) và

B −b

a;0

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟

2 Hàm số y =b

TXĐ: D = !

Hàm số này là hàm hằng

Đồ thị của hàm số là một đường thẳng vuông góc với trục tung tại điểm có tọa độ

( )0;b

3 Hàm số

y = x

TXĐ: D = !

Hàm số này là hàm số chẵn

Hàm số đồng biến trên khoảng

(0;+∞) và nghịch biến trên khoảng

(−∞;0)

4 Hàm số

y = ax+b ( a≠ 0 )

TXĐ: D = !

Chiều biến thiên:

a > 0 hàm số nghịch biến trên khoảng

−∞;−b

a

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟ và đồng biến trên

khoảng

−b

a;+∞

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟

a < 0 hàm số đồng biến trên

−∞;−b

a

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟ và nghịch biến trên khoảng

−b

a;+∞

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟

BÀI TẬP

Bài 1 Lập bảng biến thiên của các hàm số sau:

a)

y = 2x−6 + x−14 b) y = 3x−15 + 4x−1

c)

y = x−1 + x+ 4 + 2x−9 d) y = 2x−4 + x+ 3 + x−5

Hướng dẫn giải

a)

y = 2x−6 + x−14

TXĐ: D = !

• Với x < 3 thì 2x−6 < 0 ⇒ 2x−6 = −2x+ 6

Khi đó y =−2x+6+x−14=−x−8

• Với x≥3 thì 2x−6 ≥ 0 ⇒ 2x−6 = 2x−6

Khi đó y = 2x−6+x−14= 3x−20

Ta có

y = −x−8 khi x < 3

⎧

⎨

⎪⎪

⎩⎪⎪

Bảng biến thiên:

b)

y = 3x−15 + 4x−1

TXĐ: D = !

• Với x < 5 thì 3x−15 < 0 ⇒ 3x−15 = −3x+15

Khi đó y =−3x+15+4x−1= x+14

• Với x≥5 thì 3x−15 ≥ 0 ⇒ 3x−15 = 3x−15

Khi đó y = 3x−15+4x−1=7x−16

Ta có

y = x +14 khi x < 5

⎧

⎨

⎪⎪

⎩⎪⎪

Bảng biến thiên:

y

-11

c)

y = x−1 + x+ 4 + 2x−9 =

2x−4 khi −4 ≤ x <1 4x−6 khi x ≥1

⎧

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

TXĐ: D = !

Bảng biến thiên:

d)

y = 2x−4 + x+ 3 + x−5 =

⎧

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

TXĐ: D = !

Bảng biến thiên:

Dạng 2 Ứng dụng khảo sát hàm số

Vào bài toán biện luận số nghiệm của phương trình

Vào bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất

(GTNN)

Vào bài toán tìm điều kiện của tham số trong bất phương trình

Bài 1

y

19

-12

y

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

x+1 + x+ 3 = m−2x

b) Cho hàm số

y = x−2 −2 x−3 −3 x+1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

x−2 −2 x−3 = 3 x+1 +m

Hướng dẫn giải

a)

y = x+1 + x+ 3 + 2x−1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

TXĐ: D = !

y = x+1 + x+ 3 + 2x−1=

2x+1 khi −3 ≤ x <−1 4x+ 3 khi x ≥−1

⎧

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

Bảng biến thiên:

Vẽ đồ thị hàm số:

- 5

2

x+1 + x+ 3 = m−2x ⇔ x+1 + x+ 3 + 2x−1= m−1

Xét hàm số

y = f (x) = x+1 + x+ 3 + 2x−1 và hàm số y = g(x)=m−1

Số nghiệm của phương trình f(x)= g(x) tương ứng với số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đồ thị hàm số y = g(x)

Ta có đồ thị hàm số y = f(x) đã vẽ ở phần 1; đồ thị hàm số y = g(x) là đường

thẳng song song với trục hoành

Từ đây ta có:

• Với m−1<−5 ⇔ m<−4 đồ thị hai hàm số không cắt nhau Suy ra

phương trình đã cho vô nghiệm

• Với m−1=−5 ⇔ m=−4 đồ thị hai hàm số có vô số điểm chung trên

(−∞;−3) Suy ra phương trình có vô số nghiệm x <−3

• Với m−1>−5 ⇔ m>−4 đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm Suy ra

phương trình đã cho có một nghiệm

Vậy m<−4 phương trình đã cho vô nghiệm

m = −4 phương trình đã cho có vô số nghiệm x <−3

m >−4 phương trình đã cho có một nghiệm

b)

y = x−2 −2 x−3 −3 x+1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

TXĐ: D = !

y = x−2 −2 x−3 −3 x+1 =

4x−1 khi x <−1

−2x−7 khi −1≤ x < 2

−4x+1 khi x ≥ 3

⎧

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

Bảng biến thiên:

Vẽ đồ thị hàm số:

2

x−2 −2 x−3 = 3 x+1 +m ⇔ x−2 −2 x−3 −3 x+1 = m

Xét hàm số

y = f (x) = x−2 −2 x−3 −3 x+1 và hàm số y = g(x)=m

Số nghiệm của phương trình f(x)= g(x) tương ứng với số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đồ thị hàm số y = g(x)

Ta có đồ thị hàm số y = f(x) đã vẽ ở phần 1; đồ thị hàm số y = g(x) là đường

thẳng song song với trục hoành

Từ đây ta có:

• Với m<−11 đồ thị hai hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt Suy ra

phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

• Với m=−11 đồ thị hai hàm số có vô số điểm chung trên

2;3

2

⎧

⎨

⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪

⎭⎪⎪ Suy ra phương trình có vô số nghiệm

x ∈ 2;3( )∪ − 5

2

⎧

⎨

⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪

⎭⎪⎪

• Với −5>m>−11 đồ thị hai hàm số cắt nhau tại hai điểm Suy ra phương

trình đã cho có hai nghiệm

đã cho có một nghiệm

Vậy

m ∈ −∞;−11( )∪ −11;−5( ) phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

m=−11 phương trình đã cho có vô số nghiệm

x ∈ 2;3( )∪ − 5

2

⎧

⎨

⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪

⎭⎪⎪

m=−5 phương trình đã cho có một nghiệm

m ∈ −5;+∞( ) phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số:

a)

y = x−1 + 4x+8 + 3x với x ∈ −5;2⎡⎣⎢ ⎤⎦⎥

b)

y = 2x + 2 + x2−10x + 25 − 5x−10 với x ∈ −3;6⎡⎣⎢ ⎤⎦⎥

Hướng dẫn giải

a)

y = x−1 + 4x+8 + 3x với x ∈ −5;2⎡⎣⎢ ⎤⎦⎥

Ta có:

y = x−1 + 4x+8 + 3x =

−2x−7 khi x <−2

6x+ 9 khi −2 ≤ x <1 8x+7 khi x ≥1

⎧

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra:

•

Min

−5;2

⎡

⎣⎢ ⎤⎦⎥

y = −3 ⇔ x = −2

•

Max

−5;2

⎡

⎣⎢ ⎤⎦⎥

y = 23 ⇔ x = 2

b)

y = 2x + 2 + x2−10x + 25 − 5x−10 với x ∈ −3;6⎡⎣⎢ ⎤⎦⎥

Ta có:

y = 2x+ 2 + x2−10x+ 25 − 5x−10 = 2x+ 2 + x−5( )2 −5x−10

23

3

- 3

−4x+17 khi 2 ≤ x < 5

−2x+17 khi x ≥ 5

⎧

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra:

•

Min

−5;2

⎡

⎣⎢ ⎤⎦⎥

y = −13 ⇔ x = −3

•

Max

−5;2

⎡

⎣⎢ ⎤⎦⎥

y = 9 ⇔ x = 2

Dạng 3 Tìm điểm cố định của họ đồ thị hàm số bậc nhất

Bài 1 Tìm điểm cố định của họ đường thẳng d m sau khi tham số m thay đổi Biết

phương trình đường thẳng d m là:

a)

y = m−1( )x+ 3m−2

b)

y = 2m+1( )x−5m+ 3

c)

(3−2m)x+ y−4m+1= 0

d)

(2m−1)x+ m−2( )y = 3

1) Tìm điểm cố định của họ đường thẳng d m

2) Tìm m để khoảng cách từ điểm E 3;4( ) đến đường thẳng d m là lớn nhất

Hướng dẫn giải

1) Gọi

M x( 0;y0) là điểm cố định thuộc họ đường thẳng d m

9

- 3

-13

⇔m x( 0+3)−(y0+x0+2)=0 với mọi m

⇔ x0+3 = 0

y0+x0+2 = 0

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

x0= −3

y0=1

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪ ⇒M −3;1( )

Vậy

M −3;1( ) là điểm cố định của họ đường thẳng d m

b) Ta có:

y0=(2m+1)x0−5m+ 3 với mọi m ⇔m 2x( 0−5)+(x0−y0+3)=0 với mọi m

⇔ 2x0−5 = 0

x0−y0+3 = 0

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

x0= 5 2

y0= 11 2

⎧

⎨

⎪⎪

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

⎪

2;112

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟

Vậy

M 5

2;112

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟ là điểm cố định của họ đường thẳng d m c) Ta có:

(3−2m)x0+y0−4m+1= 0 với mọi m ⇔(3x0+y0+1)−2m x( 0+2)=0 với mọi m

⇔ x0+2 = 0

3x0+y0+1= 0

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

x0 = −2

y0 =5

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪ ⇒M −2;5( )

Vậy

M −2;5( ) là điểm cố định của họ đường thẳng d m

d) Ta có:

(2m−1)x0+(m−2)y0=3 với mọi m ⇔m 2x( 0+y0)−(x0+2y0+3)=0 với mọi m

⇔ 2x0+y0=0

x0+2y0+3 = 0

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

x0=1

y0= −2

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪ ⇒M 1;−2( )

Vậy

M 1;−2( ) là điểm cố định của họ đường thẳng d m

2) Khoảng cách từ điểm E đến đường thẳng d m luôn nhỏ hơn hoặc bằng độ dài

đoạn thẳng EM (mối quan hệ đường xiên – đường vuông góc) Suy ra khoảng cách từ điểm E đến đường thẳng d m lớn nhất khi và chỉ khi EM vuông góc với

d m

Đến đây, nếu đã học kiến thức về tọa độ vecto chỉ cần biểu diễn vecto chỉ phương của

EM và vecto chỉ phương của d m rồi tính tích vô hướng Vì hai đường thẳng vuông góc

Nếu theo đúng chương trình học của trường THPT Chuyên Ngoại ngữ và phân phối chương trình của Bộ Giáo dục thì khi học tới phần kiến thức này trong đại số thì sẽ chưa học kiến thức về vecto chỉ phương Ta sẽ giải bài toán bằng cách gọi phương trình đường thẳng EM có dạng y = ax+b, thay tọa độ E và M tìm ra phương trình đường thẳng

Gọi phương trình đường thẳng EM có dạng y = ax+b

a) Ta có

M −3;1( );

E 3;4( ) nên có hệ phương trình

−3a+b = 1

3a+b = 4

⎧

⎨

⎪⎪

⎩⎪⎪

⇔ a = 1

2

b = 5

2

⎧

⎨

⎪⎪

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

⎪

suy

ra

( )EM : y = 1

2x + 52 Đường thẳng

d m : y = m−1( )x+ 3m−2 vuông góc với đường thẳng

( )EM : y = 1

2x + 52 nên

1

2 m−1( )= −1 ⇔ m = −1

Vậy m=−1

b) Ta có

M 5

2;112

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟; E 3;4( ) nên có hệ phương trình

5

2a+b = 112

3a+b = 4

⎧

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

b = 13

⎧

⎨

⎪⎪

⎩⎪⎪

suy ra

( )EM : y = −3x+13

Đường thẳng

d m : y = 2m+1( )x−5m+ 3 vuông góc với đường thẳng

( )EM : y = −3x+13 nên

−3 2m+1( )= −1 ⇔ m = −1

3 Vậy

m = −13

c) Ta có

M −2;5( );

E 3;4( ) nên có hệ phương trình

−2a+b = 5

3a+b = 4

⎧

⎨

⎪⎪

⎩⎪⎪

⇔ a = −1

5

b = 23

5

⎧

⎨

⎪⎪

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

⎪ suy ra

( )EM : y = −1

5x + 235

d m : 3−2m( )x+ y−4m+1= 0 ⇔ y = 2m−3( )x+ 4m−1

vuông góc với đường thẳng

( )EM : y = −1

5x + 235 nên − 15 2m−3( )= −1

Vậy m= 4

d) Ta có

M 1;−2( );

E 3;4( ) nên có hệ phương trình

a+b = −2

3a+b = 4

⎧

⎨

⎪⎪

⎩⎪⎪

b = −5

⎧

⎨

⎪⎪

ra

( )EM : y = 3x−5

Đường thẳng

d m : 2m−1( )x + m−2( )y = 3 ⇒ y = 1−2m

m ≠ 2 ) vuông góc với EM( ): y = −3x+13 nên

1−2m

m−2 .3 = −1 ⇔ m = 15 Vậy

m = 15

Chuyên đề trước đã phát hành ngày 28.08.2017

Hàm số: Đại cương về Hàm số

(Xem miễn phí 30% số trang | Giá mua tài liệu: 10.000)

Chuyên đề tiếp theo dự kiến phát hành ngày 04.09.2017

Hàm số: Hàm số bậc hai

(Xem miễn phí 30% số trang | Giá mua tài liệu: 10.000)