Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.. Phương trình tham số của đường thẳng a Định nghĩa vectơ chỉ phương.. Hệ phương t

1.Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Định nghĩa: vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu và giá của song hoặc trùng với

Nhận xét: - Nếu là một vectơ chỉ phương của đường thẳng thì cũng là một vectơ chỉ phương của Do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng

đó

2 Phương trình tham số của đường thẳng

a) Định nghĩa

vectơ chỉ phương

Hệ phương trình (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng , trong đó là tham số

Cho một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng

Câu hỏi: Hãy tìm một điểm có tọa độ xác định và một vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình tham số

b) Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng

Cho đường thẳng có phương trìnhtham số

Nếu thì từ phương trìnhtham số của ta có

suy ra

Gọi là giao điểm của với trục hoành, là tia thuộc ở về nửa mặt phẳng toạ độ chứa Oy

Cậu hỏi: Tính hệ số góc của đường thẳng có vectơ chỉ phương là

Ví dụ: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và điểm Tính hệ số góc của

Giải: Vì d đi qua nên có vectơ chỉ phương

Phương trìnhtham số của là

Hệ số góc của là

3 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Định nghĩa: Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng nếu và vuông góc với vectơ chỉ phương của

Nhận xét:

- Nếu là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng thì cũng là một vectơ pháp tuyến của Do đó một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó

4 Phương trình tổng quát của đường thẳng

pháp tuyến

Khi đó :

a) Định nghĩa:

Phương trình với a và b không đồng thời bằng 0 được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng

Nhận xét: Nếu đường thẳng có phương trình thì ta có vectơ pháp tuyến là

và có vectơ chỉ phương là

b) Ví dụ: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A (2;2) và b(4;3)

Giải:

Đường thẳng đi qua hai điểm A và B nên có vectơ chỉ phương là

Từ đó ta suy ra có vectơ pháp tuyến là Vậy đường thẳng có phương trình tổng quát là:

c) Các trường hợp đặc biệt:

Các đường thẳng có phương trình tổng quát (1)

Khi đó đường thẳng vuông góc với Oy tại điểm (0, ) (h.3.6)

Khi đó đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm ( ;0) (h.3.7)

 Nếu c = 0 phương trình (1) trở thành

Khi đó đường thẳng đi qua gốc tọa độ O (h.3.8)

Phương trình (2) được gọi là phương trìnhđường thẳng theo đoạn chắn Đường thẳng này cắt Ox và Oy lần

5 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng và có phương trình tổng quát lần lượt là

Tọa độ giao điểm của và là nghiệm của phương trình

(I)

Ta có các trường hợp sau:

b) Hệ (I) có vô số nghiệm, khi đó trùng với

Ví dụ: Cho đường thẳng d có phương trình , xét vị trí tương đối của d với mỗi đường thẳng sau:

:

:

:

Giải:

a) Xét d và , hệ phương trình:

có nghiệm (1 ; 2)

b) Xét d và , hệ phương trình:

có vô số nghiệm

c) Xét d và , hệ phương trình:

vô nghiệm

6 Chùm đường thẳng

Định nghĩa

Tập hợp các đường thẳng của mặt phẳng cùng đi qua một điểm gọi là một chùm đường thẳng Điểm gọi

là tâm của chùm.

Một chùm đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết tâm của chùm hoặc biết hai đường thẳng phân biệt của chùm

Định lí Giả sử hai đường thẳng phân biệt của một chùm có phương trình tổng quát lần lượt là:

Lúc đó mỗi đường thẳng thuộc chùm khi và chỉ khiphương trình của nó có dạng:

Phương trình (3) được gọi là phương trình của chùm đường thẳng đó

Chứng minh.

Trước hết ta chứng tỏ rằng (3) là phương trình của đường thẳng, tức là các hệ số của và trong (3) không thể đồng thời bằng 0

Thật vậy, giả sử chúng đều bằng 0, ta có :

duy nhất , trái với giả thiết và không đồng thời bằng 0 Vậy (3) là phương trình của

đường thẳng

Bây giờ ta chứng tỏ rằng đường thẳng (3) đi qua giao điểm của hai đường thẳng (1) và (2) Thật vậy, giao điểm của hai đường thẳng đó có toạ độ là nghiệm của hai phương trình (1) và (2) nên cũng là nghiệm của phương trình (3)

Ngược lại, ta hãy tìm phương trình của một đường thẳng nào đó đi qua giao điểm Lấy một

thời bằng 0 (vì không đồng thời nằm trên đường thẳng (1) và đường thẳng (2))

Mặt khác rõ ràng điểm có toạ độ thoả mãn (4) nên đường thẳng đó cũng đi qua , nói cách khác, (4) chính là phương trình của đường thẳng

Áp dụng

Ta có thể dùng phương trìnhchùm đường thẳng để giải các bài toán có dạng: Viết phương trìnhđường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng đã cho và thoả mãn một điều kiện nào đó, mà không cần tìm toạ độ giao điểm đó

Ví dụ Các cạnh của tam giác có phương trình:

Viết phương trình đường cao của tam giác đó

Giải: Đường cao thuộc chùm đường thẳng tâm là giao điểm của hai đường thẳng , nên có phương trình:

Một vectơ pháp tuyến của là , còn một vectơ pháp tuyến của là

7 Góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng và cắt nhau tạo thành bốn góc

 Nếu và không vuông góc với nhau thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng và

Như vậy góc giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng

Góc giữa hai đường thẳng và được kí hiệu là hoặc

Cho hai đường thẳng

: ,