Tìm bán kính ñáy r và ñường cao h của hình trụ sao cho ít tốn kim loại nhất Giải : Gọi x là bán kính ñáy.. Tìm hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhất... N
Trang 1GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
• Hàm số f x xác ñịnh và có liên tục trên ñoạn ( ) a b; thì f'( )x xác ñịnh trên khoảng ( )a b ;
• Hàm số f x xác ñịnh và có liên tục trên nửa ñoạn ( ) a b hay a b; ) ( ; thì f'( )x xác ñịnh trên khoảng ( )a b ;
• Hàm số có thể không ñạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên một tập hợp số thực cho trước
x a b f x x a b f a f x f x f x f b
∈ ∈
x a b f x x a b f a f x f x f x f b
∈ ∈
, max
,
x D
x D f x M
x D f x M
∈
, min
,
x D
x D f x m
x D f x m
∈
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:
b f x = +x −x Giải :
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ
Ta có
sin cos sin cos 2 sin cos 1 2 2 sin cos 1 sin 2
Với mọi x ∈ℝ , ta có
( )
( )
( )
( ) ( )
1
2
2
hay
π π π
b f x = +x −x
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn −2;2
Trang 2Bảng biến thiên của f x trên ñoạn ( ) −2;2
x 2− 2 2
( )
'
f x − 0 +
( )
f x 2− 2
2 2
Từ bảng biến thiên , ta ñược max2;2 ( ) 2 2 2 min2;2 ( ) 2 2
∈ − = = ∈ − = − = −
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:
2
π π
−
Giải :
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ
ðặt t = sin2x, 0 ≤ ≤ t 1
2
f t =t − +t t∈ f t = t − t ∈ f t = ⇔ =t
t
∈
= = = ax ( ) max0;1 ( ) 3
t
∈
( )
b f x = −x x trên ñoạn ;
2
π π
−
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn ;
2
π π
−
f x = − x −π <x <π ⇒ f x = ⇔x = −π π π
( )
Ví dụ 3:Cho parabol ( ) 2
:
P y =x và ñiểm A(−3; 0) Xác ñịnh ñiểm M thuộc ( )P sao cho khoảng cách
AM là ngắn nhất ; tìm khoảng cách ngắn nhất ñó
Giải :
0; 0 0; 0
Trang 3( ) ( )2 ( )2
0 0 0
( )0
'
d x ñổi dấu từ âm sang dương khi x0ñi qua x0 = −1 Hàm số d x( )0 ñạt cực tiểu tại x0 = −1,
d − = ðiểm M( ) ( )−1;1 ∈ P là ñiểm ñể khoảng cách AM = 5là ngắn nhất
Ví dụ 4: Người ta ñịnh làm một cái hộp kim loại hình trụ có thể tích V cho trước Tìm bán kính ñáy r
và ñường cao h của hình trụ sao cho ít tốn kim loại nhất
Giải :
Gọi x là bán kính ñáy ðể hộp kim loại hình trụ có thể tích V =πx h2 thì hiều cao của hộp là
2
V h x π
Lượng kim loại ñể làm hộp bằng diện tích toàn phần của hộp : ( ) 2
2
x
π
2
2
x
π
π
( )
'
S x ñổi dấu từ âm sang dương nên hàm số S x ñạt ñiểm cực tiểu tại ( ) 3
2
V x
π
= Vậy :
3 3 4
,
2
Ví dụ 5 : Chu vi của một tam giác là 16 cm , ñộ dài của một cạnh tam giác là ( ) 6 cm Tìm hai cạnh ( )
còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhất
Giải :
Gọi một cạnh còn lại của tam giác là x , cạnh còn lại thứ hai là y , ta có x + + =y 6 16⇒ =y 10− x Diện tích tam giác : (theo công thức hêrông)
S x = p p− p−x p−y = −x −y = −x + x − <x <
x
−
( )
'
S x ñổi dấu từ dương sang âm nên hàm số S x ñạt ñiểm cực ñại tại ( ) x = Diện tích tam giác lớn 5 nhất khi mỗi cạnh còn lại dài 5 cm Khi ñó diện tích lớn nhất : ( ) S x( )=12
Ví dụ 6:Một hộp không nắp ñược làm từ một mảnh cáctông Hộp có ñáy là hình vuộng cạnh x cm , ( )
ñường cao là h cm và có thể tích là ( ) 500cm Gọi 3 S x là diện tích của mảnh cáctông Tìm ( ) x cm sao ( )
cho S x nhỏ nhất ( )
Giải:
Thể tích hình hộp là 2 ( )3
2
500
x
Trang 4Diện tích của mảnh cáctông dùng làm hình hộp là : ( ) 2 2 2000
x
Bài toán trở thành tìm x > sao cho tại ñó 0 S x ñạt giá trị nhỏ nhất ( )
2000
−
= − = > S'( )x = ⇔0 x =10
Bảng biến thiên của S x trên khoảng ( ) (0; +∞ )
x 0 10 +∞
( )
'
S x − 0 +
( )
S x
300
Vậy x =10( )cm thì minS x( ) =300
Ví dụ 7: Cho một tam giác ñều ABC cạnh a Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh
MN nằm trên cạnh BC , hai ñỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác Xác ñịnh vị trí ñiểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất ñó
Giải :
2
a
BM =x <x < ⇒NM =BC − BM = −a x
Trong tam giác vuông BMQ có tanQBM QM QM BM tanQBM x 3
BM
Diện tích hình chữ nhật MNPQ là S x( ) =MN QM =(a −2x x) 3
Bài toán quy về : Tìm giá trị lớn nhất của ( ) ( 2 ) 3, 0;
2
a
S x a x x x
Bảng biến thiên của S x trên khoảng ( ) 0;
2
a
x 0
4
a
2 a
( )
'
S x + 0 −
( )
S x
2
3 8
a
0 0
Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất là
2
3 8
a khi
4
a
x =
Ví dụ 8: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ ,một nhà sinh học thấy rằng : Nếu trên mỗi ñơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau vụ cân nặng P n( )= 480−20n (gam) Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một ñơn vị diện tích của mặt hồ ñể sau một vụ thu hoạch ñược nhiều nhất ?
Trang 5Giải :
Nếu trên mỗi ñơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì sau một vụ , số cá trên mỗi ñơn vị diện tích
f n =n P n =n − n n∈N
f n = − n f n = ⇔n =
Vậy ñể thu ñược nhiều nhất sau một vụ thu hoạch cần thả mỗi ñơn vị diện tích mặt hồ là n =12con cá
Ví dụ 8: Trong các hình chữ nhật có chu vi là 40 cm , hãy các ñịnh hình chữ nhật có diện tích lớn nhất ( )
Giải :
Gọi một cạnh bất kỳ của hình chữ nhật có chiều dài x cm Tổng chiều dài hai cạnh là ( ) 20 cm Chiều ( )
dài cạnh kia là 20− x ( )cm Diện tích hình chữ nhật là : S x( ) (=x 20−x), 0 ≤x ≤20
S x = − x <x < S x = ⇔x =
Diện tích hình chữ nhật lớn nhất khi x =10 Trong các hình chữ nhật chu vi 40 cm , hình vuông cạnh ( ) ( )
10 cm có diện tích lớn nhất bằng ( )2
100 cm
Ví dụ 9: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau , rồi gập tấm nhôm lại ñể ñược một cái hộp không nắp Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất
Giải :
Gọi 0
2
a
x x
< <
là ñộ dài của cạnh của hình vuông bị cắt
V =x a − x <x < ⇒V = a − x a − x <x <
0 2
2
2
a x
a
x
=
Ví dụ 10:
1) Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16cm , hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất 2) Trong số các hình chữ nhật có cùng diện tích 2
48m , hãy tìm hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất Giải :
1) Gọi ,x y là ñộ dài hai kích thước của hình chữ nhật , ta có :
8
x y
> < <
+ = = −
0 8
x
< <
2) Gọi ,x y là ñộ dài hai kích thước của hình chữ nhật, ta có :
48 48
x y
x y
x
>
>
=
48
x
1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau ñây :
Trang 6( ) 2
a f x =x + x − trên ñoạn −2; 3
3
x
b f x = + x + x − trên ñoạn −4; 0
)
x
= + trên khoảng (0; +∞ )
d f x = −x + x + trên ñoạn 2; 4
)
1
e f x
x
=
+ trên ñoạn 0 : 1
)
x
= − trên nửa khoảng (0 : 2
2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau ñây :
a f x =x + x − x + trên ñoạn −4; 4
b f x =x + x − trên ñoạn −3;1
c f x =x − x + trên ñoạn −1; 3
d f x =x − x + trên ñoạn 3
3;
2
−
( )
)
2
x
e f x
x
= + trên nửa khoảng (−2; 4
1
x
= + +
− trên khoảng (1; +∞ )
g f x =x −x trên ñoạn −1;1
( )
h f x = −x x trên ñoạn ;
2
π π
−
3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau ñây :
5 ðộ giảm huyết áp của một bệnh nhân ñược cho bởi công thức ( ) 2( )
0, 025 30
( )
x mg là liều lượng thuốc ñược tiêm cho bệnh nhân Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân
ñể huyết áp giảm nhiều nhất và tính ñộ giảm ñó
Hướng dẫn
G x = ⇔ x = x = G < Lượng thuốc cần tiêm ñể giảm huyết áp nhiều nhất là
( )
20 mg ðộ giảm huyết áp là G( )20 =100
6 Một con cá hồi bơi ngược dòng ñể vượt một khoảng cách là 300km Vận tốc nước là 6km/h Nếu vận tốc bơi của cá khi nước ñứng yên là v km( /h thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ ñược cho )
bởi công thức ( ) 3
,
E v =cv t trong ñó c là một hằng số , E J Tìm vận tốc bơi của cá khi nước ñứng ( )
yên ñể năng lượng tiêu hao là ít nhất
Hướng dẫn :
Vận tốc cá khi dòng nước ñứng yên là v km( /h , thì vận tốc của cá khi ngược dòng nước là )
v − km h
Thời gian của cá bơi ngược dòng với khoảng cách s = 300kmlà 300
6
t v
=
−
Trang 7Năng lượng tiêu hao của cá
3 2
3 3
2
−
7 Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày phát hiện bệnh nhân ñầu tiên ñến ngày thứ t là ( ) 2 3
f t = t −t t∈ Nếu coi f t là hàm số xác ( )
ñịnh trên ñoạn 0;25 thì ñạo hàm f '( )t ñược xem là tốc ñộ truyền bệnh (người/ngày) tại thời ñiểmt )
a Tính tốc ñộ truyền bệnh vào ngày thứ năm
)
b Xác ñịnh ngày mà tốc ñộ truyền bệnh là lớn nhất và tính tốc ñộ ñó
)
c Xác ñịnh các ngày mà tốc ñộ truyền bệnh lớn hơn 600
)
d Xét chiều biến thiên của hàm số f t trên ñoạn ( ) 0;25
Hướng dẫn :
f t = t −t t ∈
)
a f'( )t =3 30t( −t)⇒ f ' 5( ) =375
)
b f''( )t =90−6t ⇒ max 'f ( )t = f ' 15( ) =675
)
c f '( )t = 3 30t( −t)> 600⇔10< <t 20
)
d f'( )t =3 30t( −t) >0, 0 < <t 25⇒ Hàm số f t ñồng biến trên ñoạn ( ) 0;25
8 Hình thang cân ABCD có ñáy nhỏ AB và hai cạnh bên ñều dài 1m Tính góc α =DAB =CBA sao cho hình thang có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất ñó.Giả sử , 0
2
= < <
Hướng dẫn :
9 Trong các tam giác vuông mà cạnh huyền có ñộ dài cạnh bằng 10cm , hãy xác ñịnh tam giác có diện tích lớn nhất
Hướng dẫn :
Gọi x y là ñộ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng , 10cm , 0 <x <10,
S = xy cm ⇒S = xy = x −x <x < với x2 +y2 =100
10 Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng của một lăng trụ ñứng Hai mặt bên ABB A ACC A là ' ', ' ' hai tấm kính hình chữ nhật AA' =20( )m A B, ' ' =5( )m BC, =x m( )
)
a Tính thể tích V của hình lăng trụ theo x
)
b Tìm x sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất và tính thể tích lớn nhất ñó
Hướng dẫn :
2
0;10
x
∈