Chuyên đề ôn thi giới hạn của hàm số và ứng dụng vào đạo hàm

Khái niệm về số gia đối số và số gia hàm số.

x x

x x

x x

1

x

x x

1lim

1

x

x x

t t

1lim

1

x

x x

1

x

x x





Đặt t 8 x  t8 x

x x

x x

x x

x x





x x

x

x x

3

3sin

3

x x

x x

Ví dụ 33:

2 2

3 2

e x

0

1lim

e x







1 Khái niệm về số gia đối số và số gia hàm số.

Cho hàm số yf x có tập xác định là D với x o thuộc D

Cho x o một số gia đối số  x

Khi đó số gia hàm số y f x o x f x o f 2 x f x o 2 2  x 3 2.2 3   2 x

Ví dụ 3: Cho y f x 2x2

Tính số gia hàm số y tại x o=-1

GiảiCho x o=-1 một số gia đối số x

Khi đó số gia hàm số  y f x o  x f x o f  x 2 f   2   x 23 23x12 6   x x2.

Ví dụ 6: Cho y f x  x3

Tính số gia hàm số y tại x  o 2

GiảiCho x  o 2 một số gia đối số x

Khi đó số gia hàm số

Khi đó số gia hàm số  y f x o  x f x o f 4 x f  4  4 x  4  4 x  2.

Ví dụ 13: Cho yf x  3 x

Tính số gia hàm số y tại x  o 1

GiảiCho x  o 1 một số gia đối số x

Khi đó số gia hàm số y f x o x f x o f 1 x f  1    3 x 1 1

Ví dụ 14: Cho yf x  4 x

Tính số gia hàm số y tại x  o 1

GiảiCho x  o 1 một số gia đối số x

Khi đó số gia hàm số  y f x o  x f x o f 1 x f  1 41  x 1

Ví dụ 15: Cho yf x  2

Tính số gia hàm số y tại x  o 1

GiảiCho x  o 1một số gia đối số x

Khi đó số gia hàm số  y f x o  x f x o f  x 1 f 1  2 2 0.

Ví dụ 16: Cho yf x  10

Tính số gia hàm số y tại x  o 2

GiảiCho x  o 2 một số gia đối số x

o

x  một số gia đối số x

Khi đó số gia hàm số

Khi đó số gia đối số  y f x o x  f x o f  x 1 f  1 e x 1 e e e  x e.

Ví dụ 25: Cho y f x  ex

Tính số gia hàm số y tại x  o 1

GiảiCho x  o 1 một số gia đối số x



 nếu tồn tại và duy nhất thì được gọi là đạo hàm của hàm số yf x  tại điểm f x' o hoặc y x' o .

Bài tập 1: Cho hàm số yf x  x2 tính đạo hàm của hàm số tại x o

trong các trường hợp sau :

a f b f  c f

Bài giải

a, cho x  o 1 một số gia đối số x

b Cho x  o 1 một số gia đối số x

Bài tập 7: Cho yf x  x

Tính f ' 1 ; ' 0 ;  f   f  1

Bài giảiCho x  o 1 một số gia đối số x

Tính f ' 2 ; ' 0 ; ' 2  f   f  

Bài giảiCho x  o 2 một số gia đối số x

Khi đó số gia hàm số

 o   o  2  2 2 4 4 2

22

Bài tập 15: Cho yf x   x.Tính f ' 1 ; ' 4  f  

Bài giảiCho x  o 1 một số gia đối số x

x

Bái tập 16: Cho yf x   x Tính f ' 1 ; ' 4  f  

Bài giảiCho x  o 1 một số gia đối số x

Cho x  o 8 một số gia đối số x

Tổng quát: Cho x một số gia đối số  x

x



Bài giảiCho x  o 1 một số gia đối số x

Tổng quát: Cho x một số gia đối số  x

Khi đó số gia đối số    

Vậy 31 4

' 3

Vậy 41 5

' 4

y

x

Bài tập 27: Cho yf x  sinx

Cho x  o 0 một số gia đối số x

Khi đó số gia hàm số  y f x o  x f x o f x f  0 sin x sin 0 sin x

Tổng quát: Cho x một số gia đối số  x

Khi đó số gia hàm số     sin   sin 2cos sin

Tổng quát: Cho x một số gia đối số  x

Khi đó số gia hàm số     cos   cos 2sin sin

Tổng quát: Cho x một số gia đối số  x

Khi đó số gia hàm số     sin sin   2cos sin

Tổng quát: Cho x một số gia đối số  x

Khi đó số gia hàm số     cos cos   2sin sin

x

Bài tập 32: Cho yf x  cotx

x y

x y

Vậy 12

' sin

y

x

Bài tập 35: cho yf x  e x

Tính f ' 1 ; ' 0 ; ' 1  f   f  

Bài giảiCho x  o 1 một số gia đối số x

Khi đó số gia hàm số y f x o x f x o f  x f  0 ex 1

Tổng quát: Cho x một số gia đối số  x

Khi đó số gia hàm số        1  log 1  ln 1 

x a

Khi đo số gia hàm số  y f x o  x f x o f  x 1  f  1 ln x 1 ln1 ln  x 1

e

 một số gia đối số xKhi đo số gia hàm số y f x o x f x o f x 1 f 1 ln x 1 ln 1 lne x 1

Bài tập 40: Cho yf x   lnx

3 Quy tắc đạo hàm

1, Quy tắc đạo hàm của một tổng và hiệu

Bài toán 1: Cho hàm số yf x  u x v x 

Tính y x' 

Bài giảiCho x một số gia đối số x

Khi đó số gia hàm số

 u v   '   u v ' '

 u v   '   u v ' '

B2, Giả sử  1 đúng với n=k nghĩa là ta có  x k k x k1

B3, Ta đi chứng minh  1 đúng với n k 1

Nghia là ta phải chứng minh x k1' k1x k

Nếu f x'   0 x D thì y f x  đồng biến trên D

Nếu f x' 0, x D thì yf x  nghịch biến trên D

x y

1' 0

1

x y

1

x y

x y



Tập xác định R\1

02x

21

x x

y

x x

x



Tập xác định R\ 2

Ta có

 

2 2

4x 3'

2

x y

x





Hàm số yf x  đạt cực đại tại xx o nếu f x'  đổi dấu từ   sang   khi đi qua x o

Hàm số yf x  đạt cực tiểu tại xx o nếu f x'  đổi dấu từ   sang   khi đi qua x o