Vậy phương trình luôn có nghiệm... Suy ra, N' thuộc đường tròn ngoại tiếp DCHO... Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm.. HS trình bày theo cách k
Trang 1UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HƯỚNG DẪN CHẤM
NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn: Toán - Lớp 9
1.1 (1.5 điểm)
2
0.75
2
2
13 30 2 2 2 1 13 30 ( 2 1) 18 2 18.5 25
( 18 5) 3 2 5
0.75
1.2 (1.5 điểm)
P
b c b c c a c a a b a b
bc ca ab abc
0.75
Ta có a3+b3+c3- 3abc=(a b c a+ + ) ( 2+b2+c2- ab bc ca- - ) =0
a b c abc
Do vậy, 3
2
P =
0.75
2.1 (2.0 điểm)
3
y y x x
é = ê
ê = ë
y= xÞ x+ = x Û x+ x- = , không có x thỏa mãn.
1.0
Với
1 1
4 2
x x
x x
ê =
=
ë
Từ đó tìm được các điểm thỏa mãn là M( )1;3 hoặc 1 3;
4 2
Mæççç ö÷÷÷
÷
çè ø
1.0
2.2 (2.0 điểm)
4
a= Þ b= - c ta được 5
4cx= c Nếu c =0, phương trình nghiệm đúng với mọi x Î ¡ .
Nếu c ¹ 0,phương trình có nghiệm 4.
5
x =
1.0
Với a ¹ 0,
b ac b aæç a bö÷÷ b ab a b ab a a
2
2
=çç + ÷÷+ > " ¹ "
çè ø Suy ra, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình luôn có nghiệm
1.0
Trang 23.1 (2.0 điểm)
Ta có
2
a b
a b
a b abc a b c a b c a b
+
0.5
( )
3
Do đó,
2
a b
c
a b abc
+
+
Tương tự
2
c a
b c ab
b c
+
+
2
a c
b
a c abc
+
+
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a= = =b c 1
0.5
3.2 (2.0 điểm)
Vì VP chia 3 dư 1 nên VT chia 3 dư 1 Mà bình phương của số nguyên tố chia 3 dư 1
hoặc 0 nên hai trong ba số , ,a b c phải bằng 3 0.5
TH1: a= =b 3 ta có 18 16+ c2=9k2+ Þ1 17=9k2- 16c2=(3k- 4 )(3c k+4 )c
k c
k c
ï
Þ íï + =
ïî
3 2
k c
ìï = ï
Þ íï =
ïî (thỏa mãn) Vậy ta được (a b c k =; ; ; ) (3;3;2;3).
0.5
TH2: Nếu c =3; a =3 hoặc b =3
Với a =3 ta có
3 +b +16 3× =9k + Þ1 152=9k - b =(3k b k b- )(3 + =) 2 19.×
Vì 3k b k b- ,3 + cùng tính chẵn lẻ mà tích là chẵn nên chúng cùng chẵn
Ta được các trường hợp:
13 37
k b
k
k
ï
Ta được các bộ (a b c k thỏa mãn là ( , , , ) (3,37,3,13).; ; ; ) a b c k =
7 17 8
k b
k b
k b
(thỏa mãn)
Ta được các bộ (a b c k thỏa mãn là ( , , , ) (3,17,3,7); ; ; ) a b c k =
Tương tự ta có các bộ ( , , , )a b c k =(37,3,3,13),(17,3,3,7)
1.0
4.1 (1.0 điểm)
Trang 3H D
N
M E
A
Tam giác AOC cân tại O, có OD là
đường cao nên là phân giác trong góc
·AOC , do đó · AOD=COD·
0.5
AD DM
Þ = nên DA=DM.
4.2 (1.0 điểm)
( ) · · 90 0
OEA OEC cgc OAE OCE
Do đó, AE ^AB Vậy AE là tiếp tuyến chung của ( )O và ( )O' 0.5
4.3 (2.0 điểm)
Giả sử AM cắt ( )O tại N' DOAN' cân tại ,O có OM ^AN' nên OM là đường trung
Ta có ·CN A' =CAM· mà CAM· =DOM· , do đó ·CN H' =COH· . Bốn điểm , ', ,C N O H
thuộc một đường tròn
Suy ra, N' thuộc đường tròn ngoại tiếp DCHO Do vậy, N' trùng với N Vậy ba điểm
, ,
A M N thẳng hàng.
1.0
4.4 (2.0 điểm)
Vì ME / /AB và AB ^AE nên ME ^AE
Ta có hai tam giác MAO EMA đồng dạng nên ,
MO MA AO MA AO EM
EA =EM =MA Þ = (*)
1.0
Dễ thấy DMEO cân tại M nên ME =MO Thay vào (*) ta được MA2=OA MO (**)
Đặt MO= > ta có x 0 MA2=OA2- MO2=a2- x2
Từ (**) suy ra a2- x2=axÛ x2+ax a- 2= 0
Từ đó tìm được ( 5 1)
2
a
OM = -
1.0
5.1 (1.5 điểm)
B A
N
,
A B nằm khác phía đối với NP )
Ta có AB2=2AN2, ·BAN =450 và
( )
1.0
Do đó, AP2+AB2=AP2+2AN2=AM2=BP2Þ DABP vuông tại A 0.5
Trang 4Nên PAN· =PAB· +BAN· =900+450=1350
5.2 (1.5 điểm)
Gọi x x x1, ,2 3 là ba nghiệm của P x( ) ta có P x( ) (= x x x x x x- 1)( - 2)( - 3)
Suy ra, P Q x( ( ) ) =(Q x( )- x Q x1) ( ( ) - x Q x2) ( ( )- x3) 0.5
Do P Q x =( ( ) ) 0 vô nghiệm nên các phương trình Q x( )- x i =0(i =1,2,3) vô nghiệm
Hay các phương trình x2+2016x+2017- x i =0(i =1,2,3) vô nghiệm
Do đó, các biệt thức tương ứng D =i' 10082- (2017- x i) < Û0 2017- x i >10082
Chú ý:
1 Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm.
2 HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm Trong trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn sai sót thi giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải quyết
3 Tổng điểm của bài thi không làm tròn