Đáp án tham khảo đề thi chuyên toán 10 TPHCM

Gọi là hình chiếu của lên .Chứng minh rằng: a Tâm đường tròn nội tiếp tam giác nằm trên.. Đường tròn O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc các cạnh AB,CA,BC lần lượt tại I,H,J.. a Các tia c

1

ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN TOÁN 10 TPCHM

Câu 1:

a) Cho các số thực sao cho : Tính

b) Cho biểu thức ( ) với là các số nguyên dương Chứng minh nếu là số chính phương thì chia hết cho

Câu 2:

a) Giải phương trình: ( )√

b) Giải hệ phương trình: {

Câu 3:Cho tam giác có Trên cạnh lần lượt lấy các điểm sao cho Các đường thẳng cắt nhau tại Gọi là hình chiếu của lên .Chứng minh rằng:

a) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác nằm trên

b) Các đường tròn nội tiếp tam giác và tiếp xúc với nhau

Câu 4:Cho là 2 số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biể thức:

Câu 5:Cho tam giác ABC có góc B tù Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc các cạnh

AB,CA,BC lần lượt tại I,H,J

a) Các tia cắt lần lượt tại Chứng minh: 4 điểm cùng thuộc một đường tròn

b) Gọi là đường thẳng đi qua O và vuông góc với cắt và đường trung trực của cạnh lần lượt tại và Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn

Câu 6: Trên một đường tròn có 9 điểm phân biệt, các điểm này được nối với nhau bởi các đoạn

màu xanh hoặc màu đỏ Biết rằng mỗi tam giác tạo bởi 3 trong 9 điểm đều chứa ít nhất một cạnh màu đỏ Chứng minh rằng: tồn tại 4 điểm sao cho 6 đoạn thẳng nối chúng đều có màu đỏ

2

ĐÁP ÁN THAM KHẢO ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN 10 TPHCM

Câu 1:

a) Ta có đẳng thức sau:

( )

( )( )( )( )

[( )( ) ][( ) ]

Lại có: ( ) ( )

Do đó: ( ) [ ( ) ][ ( )]

b) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )

( )

là số chính phương nên ( ) ( )

Ta có: ( )( ) ( )

Câu 2: a) ( )√ Điều kiện:

( ) ( )√

( )( √ ) *( ) (√ ) +

( √ )[ √ ]

( √ )( √ ) ( )

Vì √ do đó: ( ) √ √ ,

, √

b) {

Điều kiện:

{ ( )

( )

Lấy ( ) ( ) ta có: ( ) ( )

[ ( )

( )

Giải (3):Ta co1

Giải (4): Ta có:

Vậy tập nghiệm là: ,( ) ( )-

3

Câu 3:

a) Xét có nên cân tại Do đó, đường phân giác kẻ từ từ của cũng là đường cao, nên nếu gọi là chân đường phân giác từ thì

Chứng minh tương tự, gọi là chân đường phân giác từ B của thì

Rõ rang, tâm nội tiếp của là

Xét tam giác có là ba đường cao nên đồng quy Từ đó suy ra tâm ngoại tiếp của nằm trên

b) Gọi ( ) ( ) lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và lần lượt là hình chiếu của lên AB

Gọi là tâm đường tròn nội tiếp lần lượt là hình chiếu của lên

Ta có

Khi đó

( ) ( ) (1)

có

có Kết hợp với (1) ta được

Giả sử là hình chiếu của lên Khi đó

là hình chiếu của lên Khi đó

Do đó

Điều đó chứng tỏ ( ) và ( ) tiếp xúc nhau tại

Câu 4:

4

Ta có: √ √ ( ) √ (

√ ) Đặt √ ta có: √

Ta có:

Ta chứng minh: ( )

Thật vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) là bất đẳng thức đúng nên ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của là 10 khi

Câu 5:

a) Xét tứ giác có

̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂

Do đó ta có ̂ ̂ suy ra nội tiếp Khi đó ̂ ̂

Chứng minh tương tự ̂

Từ đó suy ra tứ giác nội tiếp

b) Gọi , là trung điểm BC

Gọi Ta sẽ chứng minh

Dễ chứng minh Ta có:

Suy ra (c.g.c) ̂ ̂ Mặt khác vì tứ giác nội tiếp nên ̂ ̂ (cùng nhìn OK)

Do đó ̂ ̂ là tứ giác nội tiếp ̂ ̂

5

Dễ thấy tứ giác nội tiếp nên ( ) Theo câu a) ta có 4 điểm cùng thuộc một đường tròn, mà cùng thuộc một đường tròn Do đó 5 điểm cùng thuộc một đường tròn

Suy ra là tứ giác nội tiếp nên ̂ ̂ (2) Ngoài ra, tam giác vuông tại có là trung điểm nên cân tại

Nên ̂ ̂ ̂ Kết hợp với (2) suy ra ̂ ̂ nội tiếp ( ) Lại theo a) thì nội tiếp nên ( )

Từ ( ) ( ) ( ) suy ra là tứ giác nội tiếp

Câu 6:Vì 9 điểm thuộc đường tròn nên không có bất kì 3 điểm ào trong chúng thẳng hàng

 Nếu tồn tại điểm A nào đó sao cho từ điểm đó xuất phát ít nhất 4 đoạn thẳng màu xanh (

giả sử là AB,AC,AD,AE) thì 4 điểm B,C,D,E thỏa mãn

 Nếu điểm nào trong 9 điểm cũng chỉ là đầu mút của tối đa 3 đoạn thẳng xanh thì ta thấy

sẽ không có trường hợp cả 9 điểm đều là đầu mút của đúng 3 đoạn thẳng xanh vì nếu điều này xảy ra thì số đoạn xanh là:

Như vậy tồn tại ít nhất một điểm sao cho nó là đầu mút của nhiều nhất hai đoạn thẳng xanh, nghĩa là nó là đầu mút của ít nhất 6 đoạn thẳng đó Giả sử điểm đó là A và 6 đoạn thẳng đỏ là AB,AC,AD,AE,AF,AG

B

C

D E

A

6

Ta cần chứng minh trong 6 điểm B,C,D,E,F,G có 3 điểm được nối với chung nhau

Từ B ta kẻ 5 đường thẳng tới các điểm còn lại thì tồn tại ít nhất 3 đường giả sử BC,BD,BE tô cùng màu Nếu tồn tại ít nhất một trong 3 đoạn thẳng CD,CE,DE được tô cùng màu với BC thì ta

có điều phải chứng minh Ngược lại nếu 3 đoạn này không tô cùng màu với BC thì là 3 điểm cần tìm

Tóm lại ta luôn tìm được 3 điểm được nối với nhau chung được màu và giả sử tam giác đó là B,C,D

Mà trong tam giác bất kì luôn có màu đỏ nên B,C,D được nối với nhau bằng màu đỏ Và

A,B,C,D là 4 điểm cần tìm

Vậy ta có điều phải chứng minh

A

F

C

D G

E B