Trờng THCS Định TờngĐề thi môn: Toán.. Các thành viên thẩm định để đối với những môn có từ 2 GV trở lên.. N,P là các tiếp điểm.. Gọi K là trung điểm của AB.. b, Chứng minh đờng tròn ngoạ
Trang 1Trờng THCS Định Tờng
Đề thi môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Họ và tên ngời ra đề: Lê Thị Thu
Các thành viên thẩm định để (đối với những môn có từ 2
GV trở lên)
Đề thi:
Câu 1: (4 điểm)
Cho biểu thức
−
+ + +
+
− +
−
+
=
xy
xy y x xy
y x xy
y
x
A
1
2 1
: 1
1
a, Rút gọn A
b, Tính giá trị của A khi
3 2
2
+
=
x
c, Tìm giá trị lớn nhất của A
Câu 2: (4 điểm)
Giải hệ phơng trình:
+
=
+
−
=
+
4 4
4
6 9
9
2
2
2
2
xy xy
x
xy y
x
Câu 3: (2 điểm)
Cho 3 số x,y,z thoả mãn đồng thời
0 1 2 1
2 1
2 + y+ = y + z+ =z + x+ =
x
Tính giá trị của biểu thức
2010 2010
x
Câu 4: (4 điểm): Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn AB = c, AC= b, CB = a
Chứng minh rằng: b2 =a2 +c2 − 2ac cosB
Câu 5: (4 điểm):
Cho đờng tròn (O;R) và đờng thẳng d cắt (O) tại 2 điểm
A, B Từ điểm M trên d kẻ các tiếp tuyến MN, MP với (O) (N,P
là các tiếp điểm) Gọi K là trung điểm của AB
a, Chứng minh 5 điểm M, N, O, K, P cùng nằm trên 1 đờng tròn
b, Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua 2
điểm cố định khi M di động trên ( d)
e, Xác định vị trí của M để tứ giác MNOP là hình vuông Câu 6: (2 điểm)
Trang 2Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ớc tự nhiên của p4 là 1 số chính phơng
Đáp án:
Câu 1:
a, 1,5 đ
Điều kiện để A có nghĩa là x≥ 0 ;y≥ 0 ;xy≠ 1
(0,5đ)
+ + +
+
− +
−
+
=
xy
xy y x xy
y x xy
y x A
1
2 1
: 1
1
xy
xy y x xy
xy y
x xy
y x
−
+ +
+
−
−
− + +
+
=
1
1 : 1
1 1
(0,25)
xy
xy y x xy
x y y y x x x y y y x x
−
+ +
+
−
+
−
− + +
+ +
=
1
1 : 1
(0,25)
( x) ( y)
xy xy
x y x
+ +
−
−
+
=
1 1
1 1
2 2
(0,25)
x y
x
y x
+
= + +
+
=
1
2 1
1
1 2
(0,25)
b, 1,5 đ
Ta có :
3 2
2
+
=
x thoả mãn điều kiện x≥ 0
(0,25)
( )( ) 4 2 3 ( 3 1)2
3 2
3
2
3 2
− +
−
=
x
(0,25)
Thay x vào A ta có:
Trang 3( )
3 2 5
1 3 2 1 3
2
4
1
3
−
−
= +
−
−
=
A
(0,25)
( )( )
(5 2 3)(5 2 3)
3 2 5 1
3
2
+
−
+
−
=
(0,25)
( )2
5
3 2 5 6
3
5
2
−
−
− +
=
(0,25)
13
1 3 3 2 12
25
1
3
3
−
+
=
(0,25)
c, 1 đ
Với mọi x≥ 0 ta có ( x− 1)2 ≥ 0
(0,25)
⇔ x− 2 x + 1 ≥ 0
⇔ x+ 1 ≥ 2 x
(0,25)
x
x
+
≥
⇔
1
2
1 ( vì x+1>0)
1 1
1
+
x x
(0,25)
Vậy giá trị lớn nhất của P = 1 khi x− 1 = 0 ⇔ x= 1
(0,25)
Câu2: 4 đ
Hệ phơng trình đã cho tơng đơng với
=
−
+
= +
+
4 4
4
9 6
9
2
2
2
2
xy xy
x
xy
y
x
(0,25)
=
−
= +
⇔
4 2
9 3
2
2
y
x
y
x
(0,25)
±
=
−
±
=
+
⇔
2 2
3 3
y
x
y
x
(0,25)
Trang 4Ta có các trờng hợp sau:
=
−
=
+
2
2
3
3
y
x
y
x
;
−
=
−
= +
2 2
3 3
y x
y x
;
=
−
−
= +
2 2
3 3
y x
y x
;
−
=
−
−
= +
2 2
3 3
y x
y x
Ta giải từng trờng hợp:
=
=
⇔
=
−
=
⇔
=
−
=
+
5 12 5 1 2
2
1 5 2
2
3
3
y x
y y
x
y y
x
y
x
(0,5)
=
=
⇔
=
−
=
⇔
−
=
−
=
+
0
1 2
2
5 5 2
2
3
3
x
y y
x
y y
x
y
x
(0,5)
=
−
=
⇔
=
−
−
=
⇔
=
−
−
=
+
0
1 2
2
5 5 2
2
3
3
x
y y
x
y y
x
y
x
(0,5)
−
=
−
=
⇔
−
=
−
=
⇔
−
=
−
−
=
+
5 12 5 1 2
2
1 5 2
2
3
3
x
y y
x
y y
x
y
x
(0,5)
Vậy hệ phơng trình đã cho có 4 nghiệm
− −
−
=
5
1
; 5
12
; 1
; 0
; 1
; 0
; 5
1
;
5
12
; y
x
(0,5)
Câu 3: 2 đ
Từ giả thiết ta có:
= + +
= + +
= + +
0 1 2
0 1 2
0 1 2
2 2 2
x z
z y
y x
(0,5)
Cộng các vế các đẳng thức ta có:
(x2 + 2x+ 1) (+ y2 + 2y+ 1) (+ z2 + 2z+ 1)= 0
(0,25)
( + 1) (2 + + 1) (2 + + 1)2 = 0
(0,25)
=
+
=
+
0
1
y
x
Trang 5−
=
=
=
⇔x y x
(0,5)
( )12010 ( )12010 ( )12010 1 1 1
2010 2010
=
(0,25)
Vậy P = 3
(0,25)
Câu4: 4 đ
Kẻ AH ⊥ BC ⇒ ∆ABC vuông tại H
áp dụng định lí Pi ta go ta có:
AC2= AH2+HC2
= AC2+(BC-BH)2
= AH2+ BC2-2BC.BH+BH2
= (AH2+ BH2)+BC2-2BC.BH
= AB2+ BC2-2BC.AB cosB
= c2+ a2- 2ac cosB
(2)
Vì trong tam giác vuông AHB thì:
AH2+ BH2=AB2= c2 ; BH = AB cosB
Vậy b2 =a2 +c2 − 2ac cosB
(2)
Câu 5: 2 điểm
a,
Vì MN là 2 tiếp của (O)
(0,25)
⇒MN⊥NO; MP⊥OP
(0,25)
⇒ ∆MNO vuông tại N ⇒ N nằm trên đờng kính MO (0,25)
∆MPO vuông tại P ⇒ P nằm trên đờng kính MO (0,25)
Trang 6Vì AK = KB (gt) ⇒ OK⊥AB tại K ( đờng kính đi qua trung
điểm của dây) (0,25)
∆MKO vuông tại K ⇒ K nằm trên đờng tròn đờng kính MO (0,25)
Vậy 3 điểm N, P, K nằm trên đờng tròn đờng kính MO
(0,25)
Hay 5 điểm M,N,O,P,K cùng nằm trên đờng tròn đờng kính
MO (0,25)
b, 1 đ
Ta có K là trung điểm của AB nên K cố định
(0,25)
Mà theo câu a) đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP chính là
đờng tròn đờng kính MO
(0,25)
Theo câu a) đờng tròn đờng kính MO đi qua O; K
(0,25)
Vậy đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua 2 điểm cố
c, 1 đ
Tứ giác MNOP là hình vuông ⇔MN= ON, ∠MON = 90 0
⇔ ∆MNO vuông cân tại N
(0,25)
⇒OM= ON 2= R 2 ( R là bán kính đờng tròn (O))
(0,25)
⇒ M là giao điểm của (O; R 2) với đờng thẳng d
(0,25)
Vậy ta xác định đợc 2 điểm M1; M2 thoả mãn điều kiện đề
ra (0,25)
Câu 6 : 2 đ
Vì p là số nguyên tố nên p4 có các ớc là 1; p; p2; p3; p4
(0,25)
Giả sử 1 + p+ p2 + p3 + p4 =n2 ( n∈ Ζ)
( 2 )2 2
3 4 4 3 2
Mặt khác :
2 3 2
4 2
3 4
) (0,5)
Trang 7Tõ (1) vµ (2) 2 ( 2 )2
2 2
(0,25)
4 4 4 4 4 1 2 5 4 4
(0,25)
0 3 2
(0,25)
V× p∈N⇒ p= 3