Tính thể tích khố i chóp SABCD theo a và khoả ng cách giữ a BM và SN.
Trang 1Câu Lờ i giả i Điể m 1.1
(1 điể m)
Cho hàm số y x3 3x2 mx 4
Khả o sát sự biế n thiên và vẽ đồ thị (C) củ a hàm số đã cho khi m 0.
Vớ i m 0 thì 3 2
Tậ p xác đị nh:D
Sự biế n thiên:
+ Chiề u biế n thiên: 2
0 ' 0
2
x y
x
0,25
Hàm số đồ ng biế n trên từ ng khoả ng ; 0 và 2;
Hàm số nghị ch biế n trên khoả ng 0; 2
+ Giớ i hạ n:
xlim y
0,25
+ Bả ng biế n thiên:
x 0 2
y’ + 0 – 0 +
y
4
0
0,25
+ Đồ thị
0,25
ĐỀ THI THỬ ĐẠ I HỌ C 2015 MÔN THI: TOÁN HỌ C
Thờ i gian làm bài: 180 phút
Trang 2(1 điể m) Tìm m để hàm số nghị ch biế n trên khoả ng 1;3
Ta có y' 3x2 6x m
Để hàm số nghị ch biế n trên khoả ng 1;3 thì y' 0 x 1;3
2
0,25
Đặ t f x 3x2 6x, x 1;3
x -1 1 3
y
3
0,5
Dự a vào BBT ta có m 9thì hàm số nghị ch biế n trên khoả ng 1;3 0,25
2
(1 điể m) Giả i phư ơ ng trình:
sin 2 3sin 2 3 cos 2 1 sin 2 0
2
Điề u kiệ n: TXĐ = R
Phư ơ ng trình tư ơ ng đư ơ ng vớ i:
2
2
1 sin 2 3sin 2 3 sin 2 cos 2 3 cos 2 0
2
sin 4 3 3 sin 2 cos 2 0
sin 4 cos 4 2 3 sin 2 cos 2 1 0
2 sin 2
x
x
2
1 2 3 sin 2 1 0
x
0,5
6
2
6
x
k
π
Vậ y phư ơ ng trình có nghiệ m:
k
3
(1 điể m) Tính tích phân:
2 1
1
4 3
x
Trang 32 3 2
1 2 2
4
13 11 4
4 3
x
0,25
1
1
1
x
x
0,5
Vậ y 1 2 5 14 ln5 ln3
0,25
4
(1 điể m) a) Cho số phứ c z thỏ a mãn
2
11
z z z i Tìm phầ n ả o củ a số phứ c z
Đặ t z a bi z a bi Khi đó:
3; 2 2; 3
ab b a
TH1: z 3 2i z 3 2i nên ph ầ n ả o số phứ c z là 2
TH2: z 2 3i z 2 3i nên ph ầ n ả o số phứ c z là -3
0,5
b) Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau lậ p từ tậ p
0;1; 2;3; 4;5;6;7
X sao cho chữ số đằ ng sau lớ n hơ n chữ số đằ ng trư ớ c.
NX: Số cầ n viế t không chứ a chữ số 0
Chọ n 4 số khác 0 trong tậ p X có C74 35 cách
Vớ i mỗ i bộ số đã chọ n, có 1 cách sắ p xế p duy nhấ t thành số có 4 chữ số sao
cho chữ số đứ ng sau lớ n hơ n chữ số đứ ng trư ớ c
Vậ y có 35 số thỏ a mãn đề bài
0,5
5
(1 điể m) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhậ t, AB = a, AD a 2 ; góc giữ a
SD và (ABCD) bằ ng 45 Tam giác SAB cân tạ i S và nằ m trong mặ t phẳ ng vuông góc0
vớ i mặ t phẳ ng (ABCD) Gọ i M và N lầ n lư ợ t là trung điể m AD và BC Tính thể tích khố i chóp SABCD theo a và khoả ng cách giữ a BM và SN.
+ Gọ i H là trung điể m củ a AB SH ABCD
2
a
3
a
0,5
+ Gọ i E AC BM
E là trọ ng tâm tam giác ABD
; BE
0,5
Trang 4AE BM HN BM
+ Gọ i F HN BM
,
d BM SN FK
; NS a 3
a
2
6
(1 điể m)
Trong không gian vớ i hệ tọ a độ Oxyz, cho điể m M 1;3; 1 và mặ t cầ u
S x y z y z Viế t phư ơ ng trình đư ờ ng thẳ ng đi qua M, cắ t trụ c
Oz và cắ t mặ t cầ u (S) theo mộ t đoạ n thẳ ng có độ dài nhỏ nhấ t.
+ Mặ t cầ u (S) có tâm I 0;1; 2 , bán kính R 3
6
IM R M nằ m bên trong mặ t cầ u (S)
+ Gọ i H là hình chiế u vuông góc củ a I lên d và A, B là giao điể m củ a f vớ i
mặ t cầ u (S) IH IM
Dấ u “=” xả y ra khi H M d IM
0,5
+ Gọ i N Oz d N 0; 0;t
1; 3; 1 , 1; 2;1
d
0,5
7
(1 điể m)
Cho tam giác ABC cân tạ i A(0;2) Gọ i D thuộ c AB sao cho AB = 3AD Gọ i H là hình chiế u củ a B lên CD, M là trung điể m CH, M(3/2;-5/2) Xác đị nh tọ a độ điể m C biế t điể m
B thuộ c đư ờ ng thẳ ng x + y + 7 = 0.
+ B d B t; 7 t
t t
3
;
3 3
t t D
DM
0,5
+ BH đi qua B và nhậ n DM làm VTCP nên BH x: y 2t 7 0
3; 4
M là trung điể m CH nên C t t; 1
0,25
+ Tam giác ABC cân tạ i A nên AB2 AC2 t 3 C 3; 4 0,25
8
(1 điể m) Giả i hệ phư ơ ng trình:
2
F E M
N H
C
B
S
K
M H
A
D
Trang 53 2
1 x 3x 2 y y 3
3
2
Thay vào pt(2) đư ợ c: 3 x 2 x2 2x 2 2 8 x2 2x 2
(Do x3 x2 5x 2 x2 x 1 5x 2 0 x 2)
Vậ y hệ phư ơ ng trình có nghiệ m duy nhấ t 3;1
0,5
9
(1 điể m) Cho 3 số dư ơ ng a, b, c thỏ a mãn6 6 6 6 abc6 2 26 Tìm giá trị nhỏ nhấ t củ a biể u thứ c
P
P
0,25
Ta sẽ chứ ng minh
1 (1) 3
Thậ t vậ y, 1 2 x y 2 0 (luôn đúng)
Dấ u “=” xả y ra khi a b c 2
0,5