bất đẳng thức

Gồm ba phầnNội Dung bài phần I - Số thực dương , âm phần iI - Bất Đẳng thức phần iI - các tính chất cơ bản của Bất Đẳng thức... Phần III Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức 1.Các tính

§ BÊt §¼ng thøc

Gồm ba phần

Nội Dung bài

phần I - Số thực dương , âm

phần iI - Bất Đẳng thức

phần iI - các tính chất cơ bản của Bất Đẳng thức

I- Số thực dương , âm

1- Cho x bất kỳ, x∈R , x chỉ có thể x > 0

x < 0

x = 0

x dương

x = 0

x âm

x không dương x ≤ 0

Phủ định mệnh đề x > 0 Là mệnh đề x ≤ 0

Phủ định mệnh đề x < 0 Là mệnh đề x ≥ 0

2- Nếu x1 > 0 và x2 > 0 thì x1 + x2 > 0 và x1 x2 > 0

II- Bất đẳng thức

Định nghĩa 1 a > b ⇔a- b > 0

Định nghĩa 2

Các mệnh đề : a > b , a < b , a ≥ b , a ≤ b gọi là bất đẳng thức

 a gọi là vế trái b gọi là vế phải

 a > b và c > d

a > b và c < d

gọi là 2 bất đẳng thức cùng chiều gọi là 2 bất đẳng thức trái chiều

 a > b ⇒ c > d c > d là hệ quả của a > b

a > b ⇔ c > d c > d và a > b tương đương

Phần III Các tính chất cơ bản của

bất đẳng thức

1.Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức

với các số thực bất kỳ

2 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức

với các số thực dương

3 Một số chú ý

Tính chất với các số a b c d bất kỳ (Xét bất đẳng thức

a > b

a > b còn các bất đẳng thức khác tương tự )

1.Bắc cầu

a > b

b > c a > c

2 Cộng vào hai vế với cùng 1số

3 Cộng hai vế với 1 bất đẳng thức cùng chiều

a > b ⇔ a + c > b + c

⇒

a > b

c > dc > d a + c > b + d⇒

Hệ quả : Chuyển vế đổi dấu a > b +c ⇔ a - c > b

4.Nhân hai vế của 1 bất đẳng thức với 1 số

a > b ⇔ac > bc nếu c > 0

ac < bc nếu c < 0

Tính chất với các số a b c d bất kỳ

1.Bắc cầu

a > b

b > c a > c

2 Cộng vào hai vế với cùng 1số

3 Cộng hai vế với 1 bất đẳng thức cùng chiều

a > b ⇔ a + c > b + c

⇒

a > b

c > dc > d a + c > b + d⇒

Hệ quả : Chuyển vế đổi dấu a > b +c ⇔ a - c > b

4.Nhân hai vế của 1 bất đẳng thức với 1 số

a > b ⇔ac > bc nếu c > 0

ac < bc nếu c < 0

Tính chất với các số a , b , c , d > 0

a > b > 0 a n > b > n , n nguyên dương

5.Nhân hai vế tương ứng của bất đẳng thức cùng chiều

a > b > 0

c > d > 0 ac > bd

6 Nâng lên cùng một luỹ thừa hai vế của bất đẳng thức

7.Khai căn hai vế của bất đẳng thức

⇒

⇒

Hệ quả kết hợp (6)và( 7) ( Với n=2 )

⇔

⇒

a > b > 0 n a > n b n nguyên dương

a ≥ b ≥ 0 a2 ≥ b 2

Chøng minh

• TÝnh chÊt 4

⇔

a > b ac > bc nÕu c > 0

ac < bc nÕu c < 0

c > 0

ac - bc > 0

⇔

⇔ac > bc §pcm

c < 0

⇔

(a - b) c < 0

⇔

⇔ac < bc §pcm ac - bc < 0

Chøng minh

⇔(a - b)c > 0> 0

Chøng minh

• TÝnh chÊt 5

⇔

Theo t/c 1 ( B¾c cÇu )

Chøng minh

c > d

Nh©n víi c > 0 Theo t / c 4

bc > bd

Nh©n víi b > 0 Theo t / c 4

ac > bd §pcm

⇒

⇒

a > b > 0

c > d > 0 ac > bd

Một vài chú ý khi sử dụng tính chất

của bất đẳng thúc

⇔

Không có phép trừ hai bất đẳng thức cùng chiều

a > b

c > d

-Không có phép chia hai bất đẳng cùng chiều

Chú ý cách sử dụng bất đẳng thức hệ quả , tương đương

⇒

a > b c > d đúng c > d ⇒a > b chưa chắc đúng

a > b c > d a > b ⇒c > d đúng

c > d ⇒

Chú ý điều kiện a, b, c ,d của các tính chất từ 5 đến tính chất 7

a > b đúng