ÔN HÌNH C1 LỚP 9

b Cách 1: Từ C kẻ đường thẳng vuông góc BC cắt AB tại P.. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AK, trung tuyến AD.. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường thẳng d qua A không song so

ÔN HÌNH Bài 1 Cho tam giác ABC vuông ở A, phân giác AD, đường cao AH Cho BD=75cm, CD=100cm Tính BH,

HC

HD:

Cách 1: Dùng tính chất phân giác tính AB, AC rồi suy ra BH, CH

Cách 2: 𝐴𝐵𝐴𝐶 =𝐵𝐷𝐷𝐶 =34 suy ra 𝐴𝐵𝐴𝐶

2

=169 mà AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC nên 𝐵𝐻𝐻𝐶 =169 và BH+CH = 175 cm

Bài 2 Cho tam giác ABC vuông tại A Phân giác AD, kẻ DH vuông AC, Cho BD=2cm, DC=4cm Tính diện

tích AHD

HD:

Từ giả thiết tính AB, AC Sử dụng định lí Tatet: 𝐷𝐶

𝐵𝐶 =𝐷𝐻

𝐴𝐵 = 𝐻𝐶

𝐴𝐶 để tính DH và HC, suy ra AH

𝑆𝐴𝐷𝐻 =𝐴𝐻.𝐻𝐷

2

Bài 3 Cho hình thang vuông ABCD ( A=D=90) Đáy nhỏ AB, cho BC=13cm; BD = 15cm, CD=14cm

Tính:

a) AB, AC

b) Tính diện tích hình thang

a) Kẻ HB vuông góc DC tại H Đặt DH = x; HC = y suy ra x+y =DC = 14 cm

𝐷𝐵2 − 𝑥2 = 𝐵𝐶2 − 𝑦2 ( cùng = 𝐵𝐻2 ) nên 𝑥2 − 𝑦2 = 𝐷𝐵2 − 𝐵𝐶2 = 56

4cm 2cm

H

D

B

y

x H

hay (x-y)(x+y) = 56 mà x+y =14 nên 14(x-y) = 56 suy ra x-y = 4

Vậy 𝑥 − 𝑦 = 4

𝑥 + 𝑦 = 14  𝑥 = 9𝑦 = 5 suy ra AB = x = 9cm; BH = AD = 12cm

b) S = 138cm2

Bài 4 Cho hình thang vuông ABCD (A=D=90) có hai đường chéo vuông góc nhau tại O, cho OA =

45cm, OC = 125cm

a) Tính BD

b) Tính khoảng cách từ O đến DC

a) 𝐷𝑂2 = 𝐴𝑂 𝑂𝐶 => DO

𝐴𝐷2 = 𝐴𝑂2 + 𝑂𝐷2 => AD

𝐴𝐷2 = 𝐷𝑂 𝐷𝐵 => DB ( Các em có thể dùng 𝐴𝑂2 = 𝐷𝑂 𝑂𝐵 để tính OB và suy ra DB)

b) Cách 1: 1

𝑂𝐻 2 =𝐷𝑂12+𝑂𝐶12 suy ra OH

Cách 2: 𝑂𝐶

𝐴𝐶 =𝑂𝐻

𝐴𝐷 suy ra OH

Bài 5 Cho tam giác ABC cân tại A có 3 đường cao AD, BE, CF Đường thẳng qua B song song CF cắt

AC tại H

a) Chứng minh: 𝐴𝐶2 = 𝐴𝐻 𝐴𝐸

b) 1

𝐶𝐹 2 =𝐵𝐶12+4𝐴𝐷1 2

H

O B

A

a) BH//CF nên tam giác BAH vuông tại B, BE là đường cao nên 𝐴𝐵2 = 𝐴𝐸 𝐴𝐻 mà AB = AC

b) Cách 1: Từ C kẻ đường thẳng vuông góc BC cắt AB tại P Vì D là trung điểm BC nên AD là đường

trung bình của tam giac BCP => CP = 2AD

Trong tam giác vuông BCP có CF là đường cao nên 𝐶𝐹12 =𝐵𝐶12 +𝐶𝑃12 thay CP = 2AD suy ra đpcm

Cách 2: Ta có:

1

4𝐴𝐷2 =4𝐴𝐷2 + 𝐵𝐶2

𝐵𝐶2 4𝐴𝐷2 =𝐴𝐷2 + 𝐵𝐷2

𝐴𝐷2 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2

𝐶𝐹2 𝐴𝐵2 = 1

𝐶𝐹2

Cách 3: 1

𝐶𝐹 2−𝐵𝐶12 =4𝐴𝐷1 2  𝐵𝐶

2 −𝐶𝐹2

𝐶𝐹 2 𝐵𝐶 2 =4𝐴𝐷1 2  𝐵𝐹

2

𝐶𝐹 2 𝐵𝐶 2 =4𝐴𝐷1 2 2AD.BF = CF,BD

 AD.BF = CF.DC ( các em chứng minh tỉ số này bằng tam giác đồng dạng)

Bài 6 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AK, trung tuyến AD Kẻ DH vuông AC, Chứng minh: a) AC2 = 2CK.AD b) 1

𝐴𝐾 2 = 1

𝐴𝐶 2+ 1 4𝐷𝐻 2

HD: Chứng minh AC.HC = DC.CK ( dựa vào tam giác đồng dạng) mà HC=AC:2; DC = AD

1

𝐴𝐾 2 = 1

𝐴𝐶 2 + 1

𝐴𝐵 2 mà AB=2HD

Bài 7 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH D, E, F là trung điểm của AB, AC, HC Chứng minh: 1

𝐻𝐷 2+ 1

𝐻𝐸 2 = 1

𝐸𝐹 2 HD:

E F

H

P

D B

C A

Ta có:

1

𝐻𝐴 2 = 1

𝐴𝐵 2+ 1

𝐴𝐶 2 mà AB= 2DH; AC = 2DE; AH = 2EF Thay vào được: 1

4𝐸𝐹 2 = 1

4𝐷𝐻 2+ 1

4𝐻𝐸 2 nên 1

𝐻𝐷 2 + 1

𝐻𝐸 2 =𝐸𝐹12

Bài 8 Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường thẳng (d) qua A không song song BC Kẻ BH và CK

vuông góc với d Chứng minh: 𝐵𝐻2 + 𝐶𝐾2 = 𝐵𝐶22

HD:

Tam giác BHA = AKC (ch-gn) nên BH = AK, suy ra 𝐵𝐻2+ 𝐶𝐾2 = 𝐴𝐾2+ 𝐶𝐾2 = 𝐴𝐶2

mà 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶2 ; AB = AC nên 2𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶2

 𝐵𝐻2 + 𝐶𝐾2 = 𝐴𝐶2 =𝐵𝐶22

Bài 9 Cho hình thang vuông ABCD (A=D=90) , AD=DC (AB<DC) , AD giao BC tại E Kẻ BM vuông DC

và CN vuông CE ( N thuộc ED) Chứng minh 𝐴𝐷12 =𝐵𝐶12+𝐸𝐶12

HD:

Chứng minh tam giác BMC = CDN(cgv-gnk) suy ra BC = NC mà

1

𝐶𝐷 2 =𝑁𝐶12+𝐸𝐶12 Thay NC = BC; DC = AD suy ra đpcm

K

H

B

N

M

E

A

B

Bài 10 Cho hình thang ABCD có AB//CD AB=4cm, CD=9cm, BD=5cm, AC=12cm

a) Qua B kẻ đường thẳng song song AC cắt DC ở E Tính góc DBE

b) Tính diện tích hình thang ABCD

HD:

a) ABEC là hbh nên BE=AC=12cm; CE=AB=4cm suy ra DE = 13cm

Xét tam giác DBE có: BD2 + BC2 = 52 +122 = 169 cm2 ; DC2 = 132 = 169cm2 nên BD2 + BC2 = DC2 suy ra tam giác BDE vuông tại B nên 𝐷𝐵𝐸 = 900

b) Tứ giác ABCD có AC vuông góc BD nên 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 =1

2𝐴𝐶 𝐵𝐷 = 30 𝑐𝑚2

Bài 11 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB<AC Đường cao AH, D và E là hình chiếu của H lên

AB, AC

a) Chứng minh AB.AD=AC.AE

b) Chứng minh: 𝐴𝐵𝐴𝐶22 = 𝐵𝐻

𝐶𝐻 c) Chứng minh : 𝐴𝐵3

𝐴𝐶 3 =𝐵𝐷

𝐶𝐸 d) Chứng minh: 𝐴𝐻3 = 𝐵𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐸

e) Cho BC=10cm, AH=4cm Tính HB, HC và diện tích ADHE và BDEC

HD:

a) AB.AD=AC.AE ( = AH2 )

b) 𝐴𝐵2 = 𝐵𝐻 𝐵𝐶; 𝐴𝐶2 = 𝐶𝐻 𝐵𝐶 suy ra 𝐴𝐵2

𝐴𝐶2 = 𝐵𝐻 𝐶𝐻

12cm 5cm

4cm

12cm

4cm

B

A

D

C

c)Ta có: 𝐴𝐵2 = 𝐵𝐻 𝐵𝐶 nên 𝐴𝐵4 = 𝐵𝐻2 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵 𝐵𝐷 𝐵𝐶2 suy ra 𝐴𝐵3 = 𝐵𝐷 𝐵𝐶2

Tương tự: 𝐴𝐶3 = 𝐶𝐸 𝐵𝐶2

d) 𝐴𝐻4 = 𝐻𝐵2 𝐻𝐶2 = 𝐴𝐵 𝐷𝐵 𝐴𝐶 𝐶𝐸 = 𝐴𝐻 𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐸 nên 𝐴𝐻3 = 𝐵𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐸

e) Ta có: 𝐻𝐵 + 𝐻𝐶 = 10

𝐵𝐻 𝐻𝐶 = 𝐴𝐻2 = 16  𝐻𝐵 = 8𝑐𝑚

𝐻𝐶 = 2𝑐𝑚

Bài 12 Cho hình vuông ABCD , M nằm giữa B và C AM cắt DB và DC tại I và N

a) Chứng minh: 𝐼𝐵2 + 𝐼𝐷2 = 2𝐼𝐴2

b) Chứng minh : 𝐴𝐵12 = 1

𝐴𝑀 2+ 1

𝐴𝑁 2 HD:

a) Kẻ AH vuông BD suy ra AH = HB=HD ( tính chất hình vuông)

Ta có: 𝐼𝐵2 + 𝐼𝐷2 = 𝐻𝐵 − 𝐻𝐼 2+ 𝐻𝐷 + 𝐻𝐼 2 = 2𝐻𝐵2 + 2𝐻𝐼2 + 2 𝐻𝐷 𝐻𝐼 − 𝐻𝐵 𝐻𝐼

= 2 𝐵𝐻2 + 𝐻𝐼2 = 2 𝐴𝐻2 + 𝐻𝐼2 = 2𝐴𝐼2

b) Ta có: ∆ABM ∽ ∆NDA(g.g) nên 𝐴𝑀𝐴𝐵22 =𝐷𝑁𝐴𝑁22; 𝐴𝐵𝐴𝑁22 = 𝐴𝐷𝐴𝑁22 suy ra 𝐴𝐵

2

𝐴𝑀 2 +𝐴𝐵𝐴𝑁22 =𝐴𝐷𝐴𝑁22+𝐷𝑁𝐴𝑁22 = 1 suy ra 1

𝐴𝐵2 = 1

𝐴𝑀2+ 1

𝐴𝑁2

Bài 13 Cho tam giác ABC từ điểm M bất kì trong tam giác kẻ MD, ME, MF lần lượt vuông BC, AC,

AB Chứng minh: 𝐵𝐷2 + 𝐶𝐸2 + 𝐴𝐹2 = 𝐷𝐶2 + 𝐸𝐴2+ 𝐹𝐵2

HD:

H I

N

B A

M

Ta có: 𝐵𝐷2 + 𝑀𝐷2+ 𝐶𝐸2 + 𝑀𝐸2 + 𝐴𝐹2 + 𝑀𝐹2 = 𝐵𝑀2 + 𝐶𝑀2 + 𝐴𝑀2

𝐷𝐶2+ 𝑀𝐷2 + 𝐴𝐸2 + 𝑀𝐸2+ 𝐹𝐵2 + 𝑀𝐹2 = 𝐵𝑀2 + 𝐶𝑀2 + 𝐴𝑀2

Bài 14 Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH Kẻ HE vuông AB, HF vuông AC Chứng minh: a) Tam giác AEF đồng dạng ACB,

b) BC2 = 3HA2 + BE2 +CF2

c) 𝐵𝐸 𝐶𝐻 + 𝐶𝐹 𝐵𝐻 = 𝐴𝐻 𝐵𝐶

d) 3 𝐵𝐸2 + 𝐶𝐹3 2 = 𝐵𝐶3 2

HD:

Chưa kịp đánh đáp án

Bài 15 Cho tam giác ABC vuông tại A; AB=a Đường trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau Tính AC và BC

HD:

Gọi G là trọng tâm tam giác

Trong tam giác vuông ABN có AB2 = BG.GN mà BG=2GN Từ đó tính BG và GN Suy ra AN => AC

 BC

Bài 16 Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, BC=25cm; AB=20cm

a) Tính AC, AH, BH, CH

b) Từ H kẻ d // AB cắt AC tại N Tính HN, AN, CN

HD:

D

E F

A

B

C M

a

G

C

a) Pytago tính AC =15cm Sử dụng AH.BC=AB.AC suy ra AH =12cm; CH=9cm,

b) HN.AC=AH.HC suy ra HN=7,2cm Pytago tam giác AHN suy ra AN=9,6cm Suy ra NC=5,4cm

Bài 17 Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm BC Biết tam giác AMB là tam giác đều cạnh

3 Tính diện tích tam giác ABC

HD:

Từ gt suy ra BC = 2 3 ; AB = 3 từ đó tính AC= 3 Từ đó tính diện tích S =AB AC2

Bài 18 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, gọi E, F là hình chiếu của H lên AB, AC Chứng minh AH3 = BC.BE.CF

HD:

Ta có: CHCF BHBE AHBC =CHCF BEBH.BH +HCAH = cosC cosB cotB + cotC = cos2B + sin2B = 1

( Chú ý: cosB = sinC; sinB = cosC) nên CF.BE.BC = CH.HB.AH = AH3

Cách khác:

AH2 = BH.HC nên 𝐴𝐻4 = 𝐵𝐻2 𝐻𝐶2 

Bài 19 Trong tam giác vuông, đường cao ứng với cạnh huyền chia tam giác thành hai phần có diện tích

là 54cm2 và 96cm2 Tính độ dài cạnh huyền

HD:

S1 S2 = 54.96 =AH HB2 AH HC2 = AH44 nên AH = 12cm Mà SABC = 54 + 96 = 150 =AH BC2

suy ra BC = 25cm

Bài 20 Cho tam giác ABC có AB=6cm, AC=8cm Hai đường trung tuyến BD và CE vuông góc nhau Tính BC

HD: Gọi G là trọng tâm tam giác, đặt BD = 3a; CE=3b Ta có:

CG2 + GD2 = 16

EG2+ GB2 = 9  4a2 + b2 = 16

a2+ 4b2 = 9 suy ra a2 =

11 3

b2 =4 3

mà CG2+ GB2 = BC2 nên BC2 = 4 a2 + b2 =

20 suy ra BC = 20

Bài 21 Cho tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền là 12cm Hiệu hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền là 7cm Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông

HD:

BH CH = AH2 = 144

BH − CH = 7  BH = 16cm

CH = 9cm