Lý thuyết số ôn 10

x2 + b từ hệ phương trình trên tìm được a,b thay v{o 1 ta được phương trình đường thẳng.. Vì đường thẳng qua A x1, y1 nên thay tọa độ A v{o đường thẳng để tìm b.. Lập phương trình đường

C|c công thức lũy thừa:

1 an = a a … … a

m thừa số

2 a0 = 1 ∀ a ≠ 0 3 a−n = 1

a n

4 an am = an+m 5.aamn = am−n 6 an bn = a b n

7 an

b n = a

b

n

8 an m = an.m 9 an m = amn

10 an k

am

n 12 an n = a với n = 2k + 1 a với n = 2k

7 hằng đẳng thức đ|ng nhớ:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2

a2 − b2 = a − b (a + b) a + b 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

a − b 3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 a3 − b3 = a − b a2 + ab + b2

a3 + b3 = a + b a2 − ab + b2

Mở rộng:

(a + b + c)2 = a2+ b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

(a + b − c)2 = a2+ b2 + c2 + 2ab − 2bc − 2ac

(a + b + c)3 = a3+ b3 + c3 + 3 a + b b + c (c + a)

Các phép toán cộng trừ nh}n chia đơn thức – đa thức

 Đơn thức:

Đơn thức: L{ biểu thức chỉ gồm một số, một biến hoặc tích c|c số v{ c|c biến: 3; 3xy; … trong biểu thức không có phép to|n cộng trừ

Bậc của đơn thức l{ tổng số mũ của c|c biến: 3xy2z3: bậc 6

Đơn thức đồng dạng: l{ đơn thức giống nhau phần biến nhưng kh|c hệ số: 2xy; -3xy; 5xy…

Cộng, trừ đơn thức đồng dạng ta cộng hệ số còn giữ nguyên phần biến: 2xy+5xy = 7xy

Nh}n 2 đơn thức: Nh}n hệ số với hệ số, biến với biến: 3xy2 2x3y5 = 6x4y7

Chia hai đơn thức: Ta chia hệ số cho hệ số, biến cho biến: −12x3y2: 2x3y = −6xy

 Đa thức:

Đa thức: l{ tổng c|c đơn thức trong biểu thức có phép to|n cộng trừ : 2x+3y-5;

Bậc của đa thức l{ bậc của đơn thức cao nhất: 3xy2 − x4 + 12xy7 : Bậc 8 vì đơn thức có bậc cao nhất l{ 12xy7)

Cộng trừ đa thức ta cộng c|c đơn thức đồng dạng với nhau: 3xy2 + xy − 2xy2 + 6xy = xy2 + 7xy Nh}n đơn thức với đa thức: Ta nh}n đơn thức với từng hạng tử của đa thức:

2xy x − 2y + 3 = 2xy x − 2xy 2y + 2xy 3 = 2x2y − 4xy2 + 6xy

Nh}n hai đa thức: ta lấy từng hạng tử của đa thức n{y nh}n với từng hạng tử của đa thức kia:

x − 2 x2 + 3y = x x2 + x 3y − 2 x2 − 2.3y = x3 + 3xy − 2x2 − 6y Chia đa thức cho đơn thức: Ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức:

2xy2 + 4x3y2 − 6x4y : xy = 2xy2: xy + 4x3y2: xy − 6x4y: xy = 2y + 4x2y − 6x3

Chia đa thức cho đa thức: Ta kẻ cột rồi thực hiện phép chia:

Gi| trị tuyệt đối

A ≥ 0 ∀ A : −3 = 3; 3 = 3

A = A nếu A ≥ 0−A nếu A ≤ 0

f x = g x  f x = −g(x)f x = g(x)

f x = g(x) * Điều kiện: g x ≥ 0 (*)  f x = −g(x)f x = g(x) Tìm x , so s|nh đk v{ kết luận Chú ý: 𝐟 𝐱 = 𝐟(𝐱)  𝐟 𝐱 ≥ 𝟎 ; 𝐟 𝐱 = − 𝐟(𝐱)  𝐟 𝐱 ≤ 𝟎

f x + g x + |k x | = L(x) :

Cách 1: Xét dấu trên c|c khoảng rồi ph| dấu GTTĐ

Cách 2: Điều kiện L x ≥ 0 rồi dùng điều kiện của x tìm được để ph| dấu GTTĐ

Cách 3: Dùng bất đẳng thức: A + B ≥ A + B Dấu bằng xảy ra khi : A B ≥ 0

f x > 𝑎 : f x > 𝑔(𝑥)

Nếu a ≥ 0 => f x ≤ −af x ≥ a TH2: f(x)g x ≥ 02 > g(x)2

f(x)2 < g(x)2 Nếu a ≤ thì x ∈ ∅

Nếu a > 0 => −a < 𝑓 x < 𝑎

Chú ý: x2 > a  x > a

x < − a với a > 0 x2 < 𝑎  − a < 𝑥 < a

Phương trình chứa căn

A = B  A ≥ 0B ≥ 0

A = B

A = B2

A < B  A ≥ 0B ≥ 0

B < 0A ≥ 0

B ≥ 0

A > 0

A > B2

A < 𝐵  A ≥ 0B > 0

Điều kiện

Chuyển vế( để hai vế dương)

Bình phương hai vế

Bất đẳng thức Bất đẳng thức AM-GM :

a1 + a2 + ⋯ an ≥ n an 1 a2… an Tổng qu|t Dấu bằng xảy ra khi: a1 = a2 = ⋯ an

a + b ≥ 2 ab Dấu bằng xảy ra khi: a = b

a + b + c ≥ 3 abc3 Dấu bằng xảy ra khi: a = b = c

1

a+b1 ≥a+b4 Dấu bằng xảy ra khi: a = b

1

a+1

b +1

c ≥ 9

a+b+c Dấu bằng xảy ra khi: a = b = c

a2 + b2 ≥ 2ab Dấu bằng xảy ra khi: a = b

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (Bunyakovsky):

Tổng qu|t: a1b1 + a2b2 + ⋯ anbn 2 ≤ a12 + a22+ an2 b12 + b22+ bn2 Dấu bằng xảy ra khi:

a1

b1 =a2

b2…an

bn

a1b1 + a2b2 2 ≤ a12 + a22 b12 + b22 Dấu bằng xảy ra khi: a1

b1 =a2

b2

Bất đẳng thức Schwarz

x1

a 1 +x2

a 2 + ⋯xn

a n ≥ x1 +x2+⋯xn 2

a 1 +a 2 +⋯a n Dấu bằng xảy ra khi: x1

a 1 =x2

a 2 = ⋯xn

a n

Bất đẳng thức Trê- bư-sép:

Với

a1 ≥ a2 ≥ an

b1 ≤ b2… ≤ bn

a1 ≤ a2 ≤ an

b1 ≥ b2… ≥ bn

thì a1 b1+a2b2+⋯anbn

n b1 +b2…+bn

n Dấu bằng xảy ra :

a1 = a2 = an

b1 = b2… = bn

Bất đẳng thức Bernoulli

Với x > −1; 𝑟 > 1 hoặc r ≤ 0 => (1 + x)r ≥ 1 + rx

Với 0 < 𝑟 < 1 => (1 + x)r ≤ 1 + rx

Bất đẳng thức Netbitt :

x

y+z+ y

x+z + z

x+y ≥3

2 Dấu bằng xảy ra khi x = y = z > 0

x

y+z+ y

z+t+ z

x+t+ t

x+y ≥ 2 Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = t > 0

Bất đẳng thức trung bình cộng:

a1+a2 +an

a1+

1 a2+⋯

1 an

Dấu bằng xảy ra khi: a1 = a2 = an

Bất đẳng thức gi| trị tuyệt đối:

x + y ≥ x + y Dấu bằng xảy ra khi: xy ≥ 0

x − y ≤ x − y Dấu bằng xảy ra khi: x − y y ≥ 0

Bất đẳng thức Mincopxki

a12 + b12+ a22 + b22 + ⋯ an2 + bn2 ≥ a1 + a2 + ⋯ an 2+ b1 + b2 + ⋯ bn 2

abc

3

+ xyz3 ≤ a + x b + y (c + z)3

ac + bd ≤ a + b (c + d)

Căn bậc 2, căn bậc 3

Số dương a có hai căn bậc hai l{ a và − a

Số dương a có hai căn bậc hai số học l{ a

A2 = A = A nếu A ≥ 0

−A nếu A < 0

A B = AB ; A

B = AB ; A2B = A B Trục căn thức: A

B =A BB ; C

A ± B =C( A ∓ B)A−B ;

a3

3

= a; a3 3 = a : Biểu thức trong căn bậc 3 không cần điều kiện

Biểu thức có nghĩa x|c định : Nếu có căn thì căn ≥ 0 Nếu có mẫu thì mẫu ≠ 0

 A có nghĩa  A 0 

A

1 có nghĩa  A > 0

 g(x)f(x) có nghĩa khi g x ≠ 0  g(x)f(x) có nghĩa khi

f(x) g(x) ≥ 0 g(x) ≠ 0

 Nếu f x ≥ a thì f(x) ≤ −af(x) ≥ a với a>0

 Nếu f x ≤ a thì -a ≤ f x ≤ a với a>0

 Nếu f2 x ≥ a thì f(x) ≥ a

f x ≤ − a

 Nếu f2 x ≤ a thì - a ≤ f x ≤ a

 x − a x − b ≥ 0; x−bx−a ≥ 0 : Ta kẻ bảng xét dấu

C|c bước l{m b{i to|n rút gọn Bước 1: Tìm ĐKXĐ

Bước 2: Ph}n tích tử số v{ mẫu số th{nh nh}n tử có thể rút gọn nếu tử v{ mẫu có nh}n tử chung Bước 3: Tìm MSC rồi quy đồng, rút gọn

Chú ý: 𝐚𝐱 + 𝐛 𝐱 + 𝐜 = 𝟎 có hai nghiệm l{ 𝐱𝟏; 𝐱𝟐 thì 𝐚𝐱 + 𝐛 𝐱 + 𝐜 = 𝐚 𝐱 − 𝐱𝟏 𝐱 − 𝐱𝟐

𝐱 𝐱 − 𝟏 = 𝐱𝟑 − 𝟏 = 𝐱 − 𝟏 𝐱 + 𝐱 + 𝟏

So s|nh biểu thức với một số

Để so s|nh A với a ta xét hiệu a ta xét hiệu A − a rồi đ|nh gi|: Nếu A − a ≥ 0 thì A ≥ a

A − a < 0 𝑡𝑕ì 𝐴 < 𝑎

Để so s|nh A ; A với A>0 ta so s|nh A với 1: Nếu A ≥ 1 thì A ≥ A

0 < 𝐴 < 1 𝑡𝑕ì 𝐴 < A

Để so s|nh A; |A| ta so s|nh A với 0: Nếu A < 0 𝑡𝑕ì 𝐴 < |𝐴|A ≥ 0 thì A = |A|

H{m số bậc nhất y= ax+b:

L{ h{m số bậc nhất nếu a ≠ 0 Hệ số góc l{ a và a = tanα (α l{ góc tạo bởi đt với trục Ox, góc tạo bởi đường thẳng với trục Oy l{ 90 − α )

Nếu a > 0 h{m số đồng biến hoặc tạo với Ox góc nhọn hoặc đt có hướng đi lên

Nếu a < 0 h{m số nghịch biến hoặc tạo với Ox góc tù hoặc đt có hướng đi xuống)

Vẽ y= ax+b : Tìm giao với Ox y= 0 => x v{ giao với Oy x=0 => y rồi vẽ

Giao điểm của hai đồ thị y= f x v{ y = g x : Xét phương trình ho{nh độ giao điểm : f x =g x => x

=> y

Vị trí tương đối của hai đường thẳng: 𝐲 = 𝐚𝟏𝐱 + 𝐛𝟏; 𝐲 = 𝐚𝟐𝐱 + 𝐛𝟐

Cắt nhau: a1 ≠ a2 Song song: ba1 = a2

1 ≠ b2 Trùng nhau: ba1 = a2

1 = b2 Vuông góc:

a1 a2 = −1

Hai đường thẳng 𝐲 = 𝐚𝟏𝐱 + 𝐛𝟏 và 𝐲 = 𝐚𝟐𝐱 + 𝐛𝟐 cắt nhau tại một điểm nằm trên trục ho{nh Ox

- Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau : a1 ≠ a2

- Tìm giao điểm của đường thẳng thứ nhất với Ox: y = 0; x = − b1

a1 suy ra A(− b1

a1 ; 0 )

- Tìm giao điểm của đường thẳng thứ nhất với Ox: y = 0; x = − b2

a2 suy ra B(− b2

a2 ; 0)

- Để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc Ox thì A ≡ B nên : ab11 ≠ a2

a1 =b2

a2

Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc trục tung Oy

- Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau : a1 ≠ a2

- Tìm giao điểm của đường thẳng thứ nhất với Oy: x= 0; y = b1 suy ra A(0; b1 )

- Tìm giao điểm của đường thẳng thứ nhất với Oy: x = 0; y = b2 suy ra B(0; b2 )

- Để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc Oy thì A ≡ B nên : ba1 ≠ a2

1 = b2 Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm có ho{nh độ m:

- Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau: a1 ≠ a2

- Thay x =m v{o đường thẳng thứ nhất để tìm y

-Thay x= m v{ y tìm được ở bước 2 v{o đường thẳng thứ 2 để tìm m

- Kết hợp c|c điều kiện để kết luận

Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có tung độ y=m

- Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau: a1 ≠ a2

- Thay y =m v{o đường thẳng thứ nhất để tìm x

- Thay y= m v{ x tìm được ở bước 2 v{o đường thẳng thứ 2 để tìm m

- Kết hợp c|c điều kiện để kết luận

Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A 𝐱𝟏, 𝐲𝟏); B(𝐱𝟐, 𝐲𝟐)

Gọi phương trình đường thẳng l{ y=a.x+b 1

- Thay tọa độ của A x1, y1); B(x2, y2) v{o 1 ta được hệ phương trình:

y1 = a x1 + b

y2 = a x2 + b từ hệ phương trình trên tìm được a,b thay v{o 1 ta được phương trình đường thẳng

Lập phương trình đường thẳng qua A 𝐱𝟏, 𝐲𝟏) v{ có hệ số góc l{ k: Gọi đường thẳng l{ y=ax+b Vì hệ

số góc l{ k nên a=k Vì đường thẳng qua A x1, y1) nên thay tọa độ A v{o đường thẳng để tìm b

Lập phương trình đường thẳng biết 1 điều kiện K v{ tiếp xúc với Parabol:

Gọi đường thẳng l{ y = ax+b Dựa v{o điều kiện K để tìm mối liên hệ giữa a v{ b

Dùng điều kiện tiếp xúc : ∆= 0 để tìm 1 phương trình liên quan giữa a v{ b Kết hợp hai phương trình ở trên để tìm a, b

Tính khoảng c|ch từ gốc tọa độ đến đường thẳng:

Để tính khoảng c|ch từ điểm O 0;0 đến một đường thẳng, ta tìm giao điểm của đường thẳng với hai trục Ox v{ Oy l{ A v{ B Từ O kẻ OH vuông góc AB rồi tính OH dựa v{o tam gi|c vuông OAB

Tìm điểm cố định của y= f x,m chứng minh đồ thị luôn đi qua điểm cố định hoặc tìm điểm m{ đồ thị luôn đi qua với mọi m :

Bước 1: Chuyển y= f x,m về dạng: f x,m -y=0

Bước 2: Nhóm c|c số chứa m lại với nhau: m.f x +g x,y =0

Bước 3: Gọi I x,y l{ điểm cố định, suy ra g x, y = 0f x = 0 => x =?y =? suy ra điểm cố định I

Chứng minh 3 điểm trên tọa độ không thẳng h{ng thẳng h{ng Tìm m để 3 điểm thẳng h{ng:

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm, thay tọa độ điểm thứ 3 v{o, nếu thỏa m~n thì 3 điểm thẳng h{ng, nếu không thỏa m~n thì 3 điểm không thẳng h{ng

Tìm m để 3 đường thẳng đồng quy cùng đi qua 1 điểm : Tìm giao điểm của 2 đường thẳng 2

đường thẳng không chứa m để 3 đường thẳng đồng quy thì giao điểm đó phải thuộc đường thẳng thứ 3, Thay tọa độ giao điểm v{o đường thẳng thứ 3 tìm được m

Hàm số 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 (𝒂 ≠ 𝟎)

 Nếu a > 0 thì h{m số nghịch biến khi x < 0 v{ đồng biến khi x > 0

 Nếu a < 0 thì h{m số đồng biến khi x < 0 v{ nghịch biến khi x > 0

 H{m số đạt GTNN bằng 0 khi a > 0

 H{m số đạt GTLN bằng 0 khi a < 0

Vẽ đồ thị h{m số y= ax2 a≠ 0 : Đồ thị h{m số nhận Oy l{m trục đối xứng, C|c em kẻ bảng c|c gi| trị tương ứng x, y, tìm 5 điểm đồ thị đi qua rồi vẽ

Giao điểm h{m số bậc nhất y=f x =mx+n v{ bậc hai y=g x =ax2+bx+c:

- Xét ho{nh độ giao điểm của 2 đồ thị thỏa m~n phương trình: f x =g x

- Đưa phương trình về dạng: Ax2 +Bx+C=0 (1)

- Để hai đồ thị tiếp xúc nhau thì phương trình 1 có nghiệm kép: ∆= 𝐵2𝐴 ≠ 0− 4𝐴𝐶 = 0

- Để hai đồ thị không cắt nhau thì phương trình 1 vô nghiệm:

+ Xét A=0

+ Xét A≠ 0 Phương trình vô nghiệm khi: ∆= 𝐵2 − 4𝐴𝐶 < 0

- Để hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm ph}n biệt thì phương trình 1 có 2 nghiệm ph}n biệt:

𝐴 ≠ 0

∆= 𝐵2 − 4𝐴𝐶 > 0

Hệ phương trình 𝐚𝐚𝟏𝐱 + 𝐛𝟏𝐲 = 𝐜𝟏

𝟐𝐱 + 𝐛𝟐𝐲 = 𝐜𝟐 Giải hệ phương trình bằng phương ph|p thế: Rút x hoặc y từ một phương trình rồi thế v{o phương trình còn lại

Giải hệ phương trình bằng phương ph|p cộng: Nh}n thêm v{o hai phương trình c|c hệ số phụ của cùng một ẩn rồi cộng hoặc trừ hai phương trình cho nhau

Giải hệ phương trình bằng phương ph|p đặt ẩn phụ: Khi đặt ẩn phụ cần chú ý điều kiện cho ẩn phụ Giải v{ biện luận hệ phương trình: 𝐚𝐚𝟏𝐱 + 𝐛𝟏𝐲 = 𝐜𝟏

𝟐𝐱 + 𝐛𝟐𝐲 = 𝐜𝟐 C|ch 1 : Dùng vị trí tương đối của hai đường thẳng

- Nếu a1

a 2 ≠b1

b 2 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

-Nếu a1

a 2 =b1

b 2 ≠c1

c 2 Hệ phương trình vô nghiệm -Nếu a1

a2 =b1

b2 =c1

c2 Hệ phương trình vô số nghiệm

C|ch 2: Dùng phương ph|p thế đưa về phương trình bậc nhất ax=b 1

Xét a =0; b=0 Phương trình 1 có vô số nghiệm nên hệ phương trình có vô số nghiệm

Xét a=0; b ≠ 0 Phương trình 1 vô nghiệm nên hệ vô nghiệm

Xét a ≠ 0 Phương trình 1 có nghiệm duy nhất nên hệ có nghiệm duy nhất

Tìm m để hệ phương trình 𝐚𝐚𝟏𝐱 + 𝐛𝟏𝐲 = 𝐜𝟏

𝟐𝐱 + 𝐛𝟐𝐲 = 𝐜𝟐 có nghiệm duy nhất thỏa m~n điều kiện K

- Tìm điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất: a1

a2 ≠b1

b2

- Dùng phương ph|p cộng hoặc phương ph|p thế để tính x, y theo m

- Thay x, y v{o điều kiện K để tìm m, đối chiếu với điều kiện v{ kết luận

Giải b{i to|n bằng c|ch lập phương trình- Hệ phương trình Bước 1: Lập phương trình

– Chọn ẩn số v{ đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số

– Biểu diễn c|c đại lượng chưa biết kh|c theo ẩn v{ c|c đại lượng đ~ biết

– Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa c|c đại lượng

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Kết luận: Kiểm tra xem trong c|c nghiệm của phương trình, nghiệm n{o thoả m~n điều kiện của ẩn, nghiệm n{o không, rồi kết luận

C|c công thức:

Qu~ng đường – vận tốc – thời gian : 𝑆 = 𝑣 𝑡

Chuyển động trên dòng nước: 𝑉𝑉𝑥𝑢 ô𝑖 = 𝑉𝑐𝑛 + 𝑉𝑛

𝑛𝑔 ượ𝑐 = 𝑉𝑐𝑛 − 𝑉𝑛 Năng suất: 𝑁ă𝑛𝑔 𝑠𝑢ấ𝑡 = 𝑇ổ𝑛𝑔 𝑠ả𝑛 𝑝𝑕ẩ𝑚

𝑡𝑕ờ𝑖 𝑔𝑖𝑎𝑛

Diện tích hình vuông : 𝑎2 Chu vi hình vuông : 4𝑎

Diện tích hình chữ nhật : 𝑎𝑏 Chu vi hình chữ nhật : 2(𝑎 + 𝑏)

Diện tích tam gi|c : 1

2 𝑥 đ|𝑦 𝑥 𝑐𝑕𝑖ề𝑢 𝑐𝑎𝑜 Diện tích tam gi|c vuông : 12 𝑡í𝑐𝑕 𝑕𝑎𝑖 𝑐ạ𝑛𝑕 𝑔ó𝑐 𝑣𝑢ô𝑛𝑔

Diện tích tam gi|c đều : 𝑎2 3

4

PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

1 C|ch giải phương trình bậc hai: ax2bx c 0 (a0) Tính b2 4ac:

 Nếu  > 0 thì phương trình có 2 nghiệm ph}n biệt x b x b

 Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép x x b

a

1 2 2

 Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm

Chú ý: Nếu phương trình có a v{ c tr|i dấu thì  > 0 Khi đó phương trình có 2 nghiệm ph}n biệt

2 Công thức nghiệm thu gọn : Đối với phương trình bậc hai ax2bx c 0 (a0) và b2b,

b2 ac

    :

 Nếu  > 0 thì phương trình có 2 nghiệm ph}n biệt x b x b

1  ; 2    

 Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép x x b

a



  

 Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm

3 Hệ thức Viet

 Định lí Viet: Nếu x x1 2, l{ c|c nghiệm của phương trình ax2bx c 0 (a0) thì:







 Nếu hai số có tổng bằng S v{ tích bằng P thì hai số đó l{ hai nghiệm của phương trình:

X2SX P  0 Điều kiện để có hai số đó l{: S2 4P 0)

Chú ý: Giải phương trình bằng c|ch nhẩm nghiệm:

 Nếu nhẩm được: x1x2  m n x x; 1 2mn thì phương trình có nghiệm x1m x, 2 n

 Nếu a b c 0   thì phương trình có nghiệm x x c

a

11, 2 

 Nếu a b c 0   thì phương trình có nghiệm x x c

a

1 1, 2   C|ch tính gi| trị biểu thức m{ không giải phương trình:

- Viết hệ thức Viet

- Sử dụng c|c công thức quy đổi bên dưới

• x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2 • (x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2

• x13+x23 =(x1+x2)3−3x1x2(x1+x2) • x14+x24=(x12+x22)2-2x12x22

• 2 2

1 2

x x x1x2x1x2 • =  2 2 2 2

x x x x =……

(x )  (x )  x x x x x x = ……

x x x x x x  x x  x x x x 

a có 2 nghiệm x1 , x2 và S = x1 + x2 ; P = x1 x2 Khi đó :

1 2



x x   x x  x x

4 4

1 2

x x

6 6

1 2

x x

3 3

1 2

x x

0

2 bxc

x

x2  1 2 1  1 2  1

1

3

1

1 1

1 2

1

1.x x Sx P Sx Px

1 1

.Sx P Px S x SP Px

S      S2 Px1 SP

S SPx PS P

x

x

1 3

3

1

1

4