Copy of DE 21 HSG t9 20122013

Kẻ các đường cao AD, BE của tam giác ABC.. Chứng minh rằng: n2 + d không là số chính phương... Vậy điều giả sử sai.. Vậy tồn tại hai số bằng nhau.. Theo BĐT B.C.

ĐỀ 21 - ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN LẦN 1 Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 150 phút

-Bài 1: ( 2.0 điểm)

Cho x và y là các số hữu tỉ thỏa mãn đẳng thức:  x y  3  xy x  3  3 y  2 

Chứng minh rằng: 1 xy  là một số hữu tỉ

Bài 2: (2,0 điểm)

Cho 100 số tự nhiên a1, a2… a100 thỏa mãn:

19

Chứng minh rằng: Trong 100 số tự nhiên đó, tồn tại 2 số bằng nhau

Bài 3: ( 2.0 điểm)

Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn Kẻ các đường cao AD, BE của tam giác ABC Trên đoạn AD lấy điểm P sao cho BPC900; trên đoạn BE lấy điểm Q sao cho 0

90

AQC

Chứng minh rằng: Tam giác CPQ là tam giác cân

Bài 4: ( 1,5 điểm)

Cho n là số tự nhiên và d là ước nguyên dương của 2n2 Chứng minh rằng: n2 + d không là

số chính phương

Bài 5: (2,5 điểm)

Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức : P 14( a2 b2 c2) 2ab bc ca2 2

a b b c c a

 

Hết

-ĐÁP ÁN VẮN TẮT VÀ THANG ĐIỂM

1

+) Nếu x 0 hoặc y0 thì 1 xy 1 là số hữu tỉ

+) Nếu x 0 và y0: T ừ giả thiết ta có:

2 2

 

4

           

2 2

1 1

2

xy

    là số hữu tỉ

2

Giả sử trong 100 số tự nhiên đã cho đó không có hai số nào bằng nhau

Ta có:

1 1 1 1 1 1

1 2( 2 1 3 2 100 99 ) 19

Mâu thuẫn với giả thiết Vậy điều giả sử sai

Vậy tồn tại hai số bằng nhau

3

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông,

ta có:

Trong tam giác vuông AQC có: CQ2 = AC.CE

Trong tam giác vuông BPC có: CP2 = BC.CD

Mặt khác: ACDBCE (g.g) nên AC CD

BC CE

suy ra: AC.CE = BC.CD

Do đó: CQ2 = CP2 hay CQ = CP

nên PCQ cân tại C

D

E

C

P

Q

4

Giả sử n2 + d = m2 ( m  N) (*).Vì d là ước dương của 2n2 nên 2n2 = k.d (k  N) suy ra:d =

2

2n k

Thay d = 2n2

k vào (*) ta có: n2 + 2n2

k = m2  n2.k2 + 2n2k = m2k2

Từ đó suy ra: k2 + 2k = 2

(mk)

n là số chính phương Nhưng k2 < k2 + 2k < (k+1)2 nên k2 + 2k không thể

là số chính phương, mâu thuẫn Vậy: n2 + d không là số chính phương

Ta có: a 2 + b 2 + c 2 = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ) = a 3 + b 3 + c 3 + a 2 b + b 2 c + c 2 a + ab 2 + bc 2 + ca 2 Theo BĐT AM-GM thì:a 3 + ab 2

 2a 2 b; b 3 + bc 2

 2b 2 c; c 3 + ca 2

 2c 2 a Suy ra a 2 + b 2 + c 2

P 14( a b c ) ab bc ca

 

  Đặt t = a2 + b2 + c2 Theo BĐT B.C S thì: 3(a 2 + b 2 + c 2 )  (a +b + c) 2 = 1 Do vậy: t  1

3

t



Vậy MinP = 23

3 khi a = b = c =

1 3