Copy of DE 4 THI HSG t9 r

Vẽ đường tròn tâm O, bán kính bằng a.. Tìm điểm M thuộc đường tròn O sao cho MA + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất... Vẽ đường tròn tâm O, bán kính bằng a.. Tìm điểm M thuộc đường tròn O sao c

§Ò 4 PHÒNG GD – ĐT

THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Năm học : 2011 – 2012

Môn thi: TOÁN – Lớp 9 Ngày thi: 29/10/2011 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ THI:

Bài 1: (3 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n,

Ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19

Bài 2: (4 điểm)

Rút gọn biểu thức sau:

B = (4 15)( 10 6)( 4 15 )

Bài 3: (4 điểm)

Cho a, b > 0 thỏa: 2 1

Chứng minh: 2 1

8

ab 

Bài 4: (4 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M = 2x27x31 2 x24x21 x23x10

Với  2  x 5

Bài 5: (5 điểm) Cho tam giác OAB vuông cân tại O, với OA = OB = 2a Vẽ đường tròn

tâm O, bán kính bằng a Tìm điểm M thuộc đường tròn (O) sao cho MA + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất

Hết

đề 4 PHềNG GD – ĐT

THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Năm học : 2011 – 2012 Mụn thi: TOÁN Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)

ĐÁP ÁN THAM KHẢO:

Bài 1: (3 điểm)

Ta cú: A = 7.52n + 12.6n = 7.25n – 7.6n + 19.12n

= 7.( 25n – 6n ) + 19.12n

= 7.( 25 – 6 )f(n) + 19.12n

= 7.19f(n) + 19.12n

= 19.[7.f(n) + 12n]  19 , với mọi số tự nhiờn n

Vậy: với mọi số tự nhiờn n, ta cú: A = 7.5 2n + 12.6 n chia hết cho 19 Bài 2: (4 điểm)

Rỳt gọn biểu thức sau:

B = (4 15)( 10 6)( 4 15 )

= (4 15) ( 42  15 )( 10 6)

= ( 4 15 ).( 4 15 4 15 ) 2.( 5 3)

= ( 4 15 ) 42 ( 15) 2.( 52  3)

= 8 2 15.( 5  3)

= ( 5 3) ( 52  3)

= ( 5)2 ( 3)2  5 3 2

Bài 3: (4 điểm)

Ta cú:

ab b

       

Vỡ: a, b > 0 nờn: 2ab và b là cỏc số dương

Áp dụng bất đẳng thức cụ si cho hai số dương 2ab và b ta cú:

2ab b 2 2 ab b

 (2ab b )2 4.2ab2

 1 8ab 2

8

ab 

Bài 4: (4 điểm) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:

M = 2x27x31 2  x24x21 x23x10

= 2x27x31 2 7   x x( 3)x2 5   x

= 2x27x31 2 [ 7   x x  2 ].[ 5   x x( 3)]

= 2x27x31 2  x25x14  x22x15

=x25x14 2 x25x14 x22x15   x22x152

Vậy: Min A = 2, Với  2  x 5

3

Bài 5: (5 điểm) Cho tam giác OAB vuông cân tại O, với OA = OB = 2a Vẽ đường tròn

tâm O, bán kính bằng a Tìm điểm M thuộc đường tròn (O) sao cho MA + 2MB đạt giá trị

nhỏ nhất

K E O

B

A M

Gọi E là giao điểm của OA với (O), K là trung điểm của OE và M là điểm bất kì thuộc đường tròn (O)

Xét OKM và OMA có: Góc MOK chung và 1

2

Nên: OKM  OMA  1

2 2

KM

Vậy: MA + 2MB = 2KM + 2MB = 2(KM + MB)  2KB

Vì: KB không đổi , nên: MA + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2KB

Hay: KM + MB = KB  Ba điểm K, M, B thẳng hàng

Vậy: MA + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của BK với (O)