BD HSG: Bất đẳng thức

- Học sinh đ−ợc củng cố định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức - Nắm đ−ợc định nghĩa và một số tính chất bất đẳng thức.. Biết vận dụng định nghĩa bất đẳng thức để chứng minh một s

- Học sinh đ−ợc củng cố định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức

- Nắm đ−ợc định nghĩa và một số tính chất bất đẳng thức Biết vận dụng định nghĩa bất đẳng thức để chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản

B/Chuẩn bị của thầy và trò

- GV: Nghiên cứu kĩ giáo án

- HS: Ôn tập lại định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức

C/Tiến trình bài dạy

I Tổ chức Tổ chức – sĩ số sĩ số sĩ số

II Kiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũ (15 phút)

- HS1: Thế nào là một bất đẳng thức ? Cho ví dụ ?

- HS2: Nêu các tính chất của bất đẳng thức ? Cho các ví dụ minh họa ?

III Bài mới (160 phút)

A – Lí thuyết (30 phút)

1) Định nghĩa bất đẳng thức

a nhỏ hơn b, kí hiệu là a < b, nếu a – b < 0

a lớn hơn b, kí hiệu là a > b, nếu a – b > 0

a nhỏ hơn hoặc bằng b, kí hiệu là a ≤ b, nếu a - b ≤ 0

a lớn hơn hoặc bằng b, kí hiệu là a ≥ b, nếu a - b ≥ 0

+ TÝnh chÊt 7: a > b > 0 ⇒ an > bn víi mäi n ∈N*;

y

b x

≥ 0 víi mäi A ; dÊu '' = '' x¶y ra khi A = 0

- A2 ≤ 0 víi mäi A ; dÊu '' = '' x¶y ra khi A = 0

  dấu “=” xảy ra khi a = b

Chú ý: Để chứng minh BĐT: Với hai số không âm a , b ta có : a+b ≥ ab

2

ta xuất phát từ BĐT ( a − b )2 ≥0, luôn đúng với mọi a, b ≥ 0

*) Bài tập 2: Chứng minh rằng với mọi số a, b, x, y ta có

(a2 +b )(x2 2 +y ) (ax by)2 ≥ + 2 (Bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki)

dấu “=” xảy ra khi ay = bx hay a b

Hay x2 + y2 + z2 +3 ≥ 2(x + y + z) với mọi x, y, z

Dấu bằng xảy ra <=> x = y = z = 1

*) Bài tập 5: Chứng minh rằng với mọi x, y ta đều có : x4 + y4

≥ xy3 + x3y Bài làm :

Xét hiệu : x4 + y4 – ( xy3 + x3y ) = ( x4 – xy3 ) + ( y4 – x3y )

= x( x3 – y3 ) + y( y3 – x3 ) = ( x – y )( x3 – y3 ) = ( x – y )2( x2 + xy + y2 ) = ( x – y )2

Vậy bất đẳng thức đã cho là đúng Dấu “ = “ xảy ra khi x = y

*) Bài tập 6: Cho a > 0, b > 0 Chứng minh rằng : a + b > a b+

Cách 2 : Bài toán phụ

Cho x, y, z, t không âm Chứng minh rằng x y z t 4 xyzt

4

+ + +

≥(BĐT Cô-si cho bốn số không âm) Thật vậy:

2 Phương pháp 2 : Dùng tính chất của bất đẳng thức

*) Bài tập 1 : Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện

x + y = 2 Chứng minh x4 + y4

≥2 Bài làm :

- Ta có: (x2 – y2)2

≥ 0 (với mọi x, y) ⇔x4 + y4

≥ 2xy ⇔2(x2 + y2) ≥(x + y)2

⇔x2 + y2

≥2 (2) (vì x + y = 2) dấu “=” xảy ra khi x = y

- Từ (1) và (2) x4+y4≥2 dấu“=” xảy ra khi x = y = 1

*) Bài tập 2 : Chứng minh rằng a2 b2 c2 3 a b c

4+ + + ≥ ư ư ư Bài làm :

1 1

1

≥ +

=> 16 ≥ 4(a + b)c => 16(a + b) ≥ 4(a + b)2c ≥ 16 abc

Dùng phép biến đổi tương đương : Với a > 0 ; b > 0 => a + b > 0

3 3

2

2

b ab a b

 4a2 - 4ab + 4b2 ≥ a2 + 2ab + b2

 3a2 - 6ab + 3b2 = 3(a2 - 2ab + b2) ≥ 0  3 a b( − )2 ≥0

Bất đẳng thức cuối cùng đúng ; suy ra :

3 3

2

1

≥ 0 <=> a2 + b2 -

2

1

≥ 0 Vì a + b = 1 <=> 2a2 + 2b2 - 1 ≥ 0

<=> 2a2 + 2(1-a)2 - 1 ≥ 0 ( vì b = a -1 )

<=> 4a2 - 4a + 1 ≥ 0

<=> ( 2a - 1 )2

≥ 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng Vậy a3 + b3 + ab ≥

2 1

Dấu '' = '' xảy ra khi a = b =

2 1

2011 - 2012

Chứng minh rằng : ( 1 + 1

a )( 1 + 1

b ) ≥ 9 (1) Giải:

Ta có ( a + 1

a )( b + 1

b ) ≥ 9  ab + a + b + 1 ≥ 9 ab ( vì a,b > 0 )  a + b + 1 ≥ 8 ab  2 ≥ 8 ab ( vì a + b = 1 )

 ( a + b )2

≥ 4 ab  ( a – b )2

≥ 0 (2) Bất đẳng thức (2) đúng các phép biến đổi là tương đương vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh Xảy ra dấu đẳng thức  a = b

( ) (

2 a2 +b2 ư a2 + ab+b2

4

1 ) 2 2

2 ( 4

Dấu '' = '' xảy ra khi a = b

*) Bài tập 2 : Chứng minh các bất đẳng thức sau:

*) Bµi tËp 6 : Cho hai sè x, y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x + y = 1 Chøng minh:

- Học sinh biết cách chứng minh một số bất đẳng thức bằng phương pháp sử dụng các bất đẳng thức về ba cạnh của tam giác

- Chứng minh đẳng thức từ một điều kiện cho trước

- HS1: Giải bài tập 1 đã cho ở buổi học trước

- HS2: Giải bài tập 3 đã cho ở buổi học trước

III Bài mới Bài mới (115 phút)

4 Phương pháp 4 : Dùng các bất đẳng thức quan trọng và quen thuộc

- Kiến thức : Dùng các bất đẳng thức quen thuộc như : Cô-si , Bu-nhi-a-côp-xki , bất

đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh ,

- Một số hệ quả từ các bất đẳng thức trên : x2 + y2 ≥ 2xy

Với a, b > 0 , + ≥ 2

a

b b a

*) Bài tập 1:

Cho x , y > 0 Chứng minh rằng :

y x y

4 1

Giải

áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : x+ y≥ 2 xy , chia cả hai vế cho xy > 0

1 1 + ) ≥

1 1

y x

b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có :

2011 - 2012

2 1

1 1 1

) 1 1 1 (

c b

a+ + 1 = (1 1 1)

c b

a + + (a + b + c) =1 + + + + 1 + + + + 1

b

c a

c c

b a

b c

a b a

= 3 + ( + ) + ( + ) + ( + ) ≥

c

a a

c b

c c

b a

b b

=> 1+1+1 ≥ 9

c b a

Dấu ''='' xảy ra khi : a = b = c =

3 1

5 Phương pháp 5: Dùng bất đẳng thức về ba cạnh của tam giác

a , b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ⇔a < b + c (1)

Hướng dẫn: Chứng minh BĐT phụ: Với x, y > 0 ta luôn có: 1 1 4

x + y ≥ x y+Dấu "=" xảy ra  x = y

p aư + p bư ≥ p a p bư + ư = c

p aư + p cư ≥ b p cư + p bư ≥ aCộng từng vế => đpcm

Dấu "=" xảy ra  p a p b p cư = ư = ư <=>a b c= = <=>Tam giác ABC đều

Xét tam giác AMB; tam giác AMC; tam giác BMC

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

A

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho

MD = MA Dễ dàng chứng minh đ−ợc

Kéo dài BI cắt AC tại K

Xét ∆ AKB có BK < AB + AK (Bất đẳng thức tam

Giải:

Gọi A là giao điểm của MK với Oz

Vẽ AB⊥ Ox ( B thuộc Ox ) Nối B với

M Xét ∆KOA vuông tại K và

∆BOA vuông tại B có:

*) Bài tập 7: Cho tam giác ABC có AB > AC, AD là tia phân giác của BAC (D ∈BC)

M là điểm nằm trên đoạn thẳng AD Chứng minh: MB – MC < AB – AC

Do đó ∆AEM = ∆ACM (c.g.c) Suy ra ME = MC (hai cạnh tương ứng)

Xét ∆MEB có MB – ME < EB (Bất đẳng thức tam giác)

Vì MC = ME, EB = AB - AC

Do đó MB – MC < AB – AC (điều phải chứng minh)

*) Bài tập 8: Cho tam giác ABC, gọi a, b, c lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)

; y =

2

b c

a + ư

; z = 2

c b

> 0 ;

2

b c

a+ ư

> 0 ; 2

c b

> 0 => a, b, c thoả mãn là độ dài 3 cạnh của một tam giác

=> abc + 1 < ab + ac + bc (điều phải chứng minh)

*) Bài tập 11: Đề thi Đề thi chọn HSG huyện Gia Lộc chọn HSG huyện Gia Lộc chọn HSG huyện Gia Lộc Hải DươngHải DươngHải Dương

Cho tam giác ABC, D là điểm trên cạnh BC (D không trùng với B, C)

Chứng minh : AD.BC BD.CA CD.AB< +

= BC.DE BC.DF BC(DE AE) BC.AD+ = + >

6 Chứng minh đẳng thức từ một điều kiện cho trước:

*) Bài tập 1: Đề thi chọn HSG huyện Gia Lộc Đề thi chọn HSG huyện Gia Lộc chọn HSG huyện Gia Lộc Hải Dương năm học 2007 Hải Dương năm học 2007 Hải Dương năm học 2007 20082008

Cho a, b, c vµ x, y, z lµ c¸c sè tháa m·n ®iÒu kiÖn :

*) Bµi tËp 3: §Ò thi chän HSG huyÖn Gia ViÔn§Ò thi chän HSG huyÖn Gia ViÔn

1/ Cho ba số x, y, z tuỳ ý Chứng minh rằng

⇒ 2( x2 + y2 + z2 ) + ( x2 + y2 + z2 ) ≥ ( x2 + y2 + z2 ) + 2( xy + yz + zx )

⇒ 3( x2 + y2 + z2 ) ≥ ( x + y + z )2

IV Luyện tập Luyện tập Giải đề thi Giải đề thi Giải đề thi (45 phút)

*) Bài tập 1: Đề thi vào THPT tỉnh Hải Dương năm học 2010 Đề thi vào THPT tỉnh Hải Dương năm học 2010 2011, ngày thứ nhất2011, ngày thứ nhất2011, ngày thứ nhất

Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn a2 b2 1 và a4 b4 1

+Chứng minh rằng: 2

2

c + b ≥Hướng dẫn:

*) Bài tập 2: Đề thi vào THPT tỉnh Hải Dương năm học 2010 Đề thi vào THPT tỉnh Hải Dương năm học 2010 2011, ngày thứ hai2011, ngày thứ hai

Chứng minh a3 + b3 ≥ ab a b , với mọi a, b 0( + ) ≥ áp dụng kết quả trên, chứng

a b 1 ab(a b) 1 ab(a b) abc ab(a b c)

*) Bµi tËp 3: §Ò thi vµo THPT tØnh H¶I D−¬ng n¨m häc 2011 §Ò thi vµo THPT tØnh H¶I D−¬ng n¨m häc 2011 2012, ngµy thø nhÊt2012, ngµy thø nhÊt

Cho x, y, z lµ ba sè d−¬ng tho¶ m·n x + y + z = 3 Chøng minh r»ng:

x

z+ 3z xy+ ≤ 1 H−íng dÉn:

Dấu “=” xảy ra xảy ra khi x = y = z = 1

*) Bµi tËp 4: §Ò thi vµo THPT tØnh §Ò thi vµo THPT tØnh Ninh B×nh Ninh B×nh Ninh B×nh n¨m häc 2009n¨m häc 2009n¨m häc 2009 2010 2010

1 Cho 3 số a, b, c >0 Chứng minh rằng: 3 13 3 31 3 31 1

a +b +abc+b +c +abc+c +a +abc≤ abc

2 Tìm x, y nguyên sao cho x + y + xy + 2 = x2 + y2

H−íng dÉn:

1 Với a > 0; b > 0; c > 0

Chứng minh rằng:

abc abc a c abc c b abc b a

1 1

1 1

3 3 3

3 3

+ +

+ + +

+ + +

HD: ta có a3 + b3 + abc = (a+b)(a2 + b2 - ab) + abc ≥ (a+b)(2ab - ab)+ abc

1 1

3

Tương tự ta có:

bc c b a abc c

1 1

3 3

+ +

≤ +

ca c b a abc a

1 1

3 3

+ +

≤ +

Từ (1) ; (2); (3)

2011 - 2012

=>

abc c

b a abc

c b a abc a c abc c b abc b a

1 ) (

1 1

1

3 3 3

3 3

+ +

+ +

≤ + +

+ + +

+ +

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

2 Tỡm x, y nguyờn thoả món: x + y + xy + 2 = x2 + y2 (*)

<=> x2 - x(y + 1) + y2 - y - 2 = 0 (**)

Vỡ x, y là nghiệm của phương trỡnh (*)

=> Phương trỡnh (**) luụn cú nghiệm theo x

=> ∆ = (y+1)2 - 4 (y2 - y - 2) ≥ 0

=> -3y2 + 6y + 9 ≥ 0 <=> - y2 + 2y + 3 ≥ 0 <=> (- y2 - y) + 3(y + 1) ≥ 0

<=> (y + 1)(3 - y) ≥ 0 Giải được -1 ≤ y ≤ 3 vỡ y nguyờn => y ∈ {-1; 0; 1; 2; 3}

+ Với y = -1 => (*) <=> x2 = 0 => x = 0 + với y = 0 => (*) <=> x2 - x - 2 = 0

cú nghiệm x1 = -1; x2 = 2 thoả món x ∈Z

+ với y = 1 => (*) <=> x2 - 2x - 2 = 0 cú ∆ ' = 3 khụng chớnh phương

+ với y = 2 => x2 - 3x = 0 => x = 0 hoặc x = 3 thoả món x ∈Z

+ với y = 3 => (x-2)2 = 0 => x = 2 thoả món x ∈Z

Vậy nghiệm nguyờn của phương trỡnh là: (x,y) ∈ {( ư 1 ; 0 ); ( 0 ; ư 1 ); ( 2 ; 0 ); ( 0 ; 2 ); ( 3 ; 2 ); ( 2 ; 3 )}

*) Bài tập 5: Đề thi vào THPT tỉnh Đề thi vào THPT tỉnh Thanh HóaThanh HóaThanh Hóa năm học 20năm học 20năm học 2011 11 11 20122012

Cho các số dương x, y , z Chứng minh bất đẳng thức > 2

+

+ +

+

z z

x

y z

y x

Hướng dẫn:

áp dụng BĐT Cosi ta có :

z y x

x z

y

x x

z y x x

z y x

z

y

+ +

≥ +

=>

+ +

= + +

≤

2 2

1 1

z y x

y z

x

y y

z y x y

z x y

z

x

+ +

≥ +

=>

+ +

= + +

≤

2 2

1 1

z y x

z x

y

z z

z y x z

x y z

x

y

+ +

≥ +

=>

+ +

= + +

≤

2 2

1 1

+ +

+ +

≥ +

+ +

+

z y x x y

z z

x

y z

y

x

dấu bằng xảy ra y+ z = x

x+ z = y  x + y + z = 0 y+ x = z

Vì x, y ,z > 0 nên x + y + z > 0 vậy dấu bằng không thể xảy ra

+

+ +

+

z z

x

y z

Cho các số a, b, c thỏa mãn các điều kiện 0 < a < b và phương trình ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm Chứng minh rằng:

a b

c b a

−

+ + > 3 H−íng dÉn:

c b a

−

+ +

> 3 (Đpcm)

*) Bµi tËp 7: §Ò thi vµo THPT tØnh §Ò thi vµo THPT tØnh Qu¶ng TrÞ Qu¶ng TrÞ Qu¶ng TrÞ n¨m häc n¨m häc n¨m häc 2010 2010 2010 20112011

Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng:

Vậy BĐT được chứng minh

Dấu đẳng thức xảy ra khi

30,

Nếu ac + bd < 0 thì (2) được chứng minh

Nếu ac + bd ≥ 0 thì (2) tương đương với

Hướng dẫn: Khi a, b, c khụng õm ta cú ( aư b)2 ≥ 0 ⇒ + ≥a b 2 ab (1)

Ta chỉ có cách phân tích - 16 ra tích của 2 số chẵn sau đây

- 16 = 8 (- 2) = 4 (- 4) = 2 (- 8) trong đó thừa số đầu bằng giá trị (y+3+x)

Khi y+3+x= 8 , y+3-x = -2 ta có x= 5 , y= 0

Khi y+3+x= 4 , y+3-x = -4 ta có x= 4 , y= -3

Khi y+3+x= 2 , y+3-x = -8 ta có x= 5 , y= -6

Vì thế phương trình đã cho có các nghiệm ( x,y) = (± 5, 0 ; 5, 6 ; 4, 3 ) (± ư ) (± ư )

*) Bài tập 7: Chứng minh rằng nếu các số x, y, z có tổng là một số không âm thì

Suy ra P x= 3+y3+z3−3xyz≥0 và do đó x3+y3+z3≥3xyz

− +

⇒

=

− +

⇒

≤

− +

⇔

≤ + +

−

+

*) Bài tập 12: Cho a; b; c là độ dài ba cạnh của một tam giác

Chứng minh rằng : (a + b - c)(a + c- b)(b + c - a) ≤ abc

≤ = a2 (1) (a + b - c) (b + c - a) ≤( + − + + − )2 =

2

a c b c b

a b2 (2) (a + c - b)(b + c - a) ( )2

2

a c b b c

≤ = c2 (3) Nhân vế với vế (1),(2),(3) ta có

a c b b c a

c

b

a+ − + − + − ≤ a2b2c2 => (a + b - c) (a + c - b)(b + c - a) ≤ abc Dấu = xảy ra ⇔ a = b = c

*) Bài tập 13: Cho x + y + z + xy + yz + zx = 6 CMR: x2 + y2 + z2 ≥ 3

Hướng dẫn: Ta có : x2 + 1 ≥ 2x ; y2 + 1 ≥ 2y ; z2 + 1 ≥ 27

⇒ (x2 + y2 + z2) + 3 ≥ 2(x + y + z)

2011 - 2012

Mặt khác ta có : 2 (x2 + y2 + z2) ≥ 2 (xy + yz + zx)

Do đó : 3 (x2 + y2 + z2) + 3 ≥ 2 (x + y + z + xy + yz + zx) ⇒ x2 + y2 + z2 ≥3 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : x = y = z = 1

Bất đẳng thức đúng với mọi x≥ 1;y≥ 1 Suy ra đpcm

*) Bài tập 15: Đề thi chính thức chọn HSG huyện Hương Thủy năm học 2011 Đề thi chính thức chọn HSG huyện Hương Thủy năm học 2011 Đề thi chính thức chọn HSG huyện Hương Thủy năm học 2011 201220122012 a) Chứng minh a3 +b3 ≥ab a( +b) với mọi a b ≥, 0 Từ đú chứng minh

Suy ra : x+y+ y+z+ z+x≤ 6

Dấu "=" xảy ra khi x+y=y+z=z+x=2/3  x= y=z=1/3

*) Bài tập 16: Đề thi khảo sát đợt I chọn HSG huyện Gia Lộc năm học 2011 Đề thi khảo sát đợt I chọn HSG huyện Gia Lộc năm học 2011 Đề thi khảo sát đợt I chọn HSG huyện Gia Lộc năm học 2011 201220122012 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a b c 1+ + =

2011 - 2012

Ngày soạn : 04/10/09 Ngày dạy : 08/10/09

- HS1: Cho tam giác ABC Hãy viết các bất đẳng thức về ba cạnh của

tam giác trong tam giác ABC

- HS2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, thoả mãn:

- Điều vô lý có thể là trái với giả thiết, hoặc là những điều trái ng−ợc nhau, từ đó suy ra

+ Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng

+ Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngược nhau

+ Phủ định rồi suy ra kết luận

1 )

1

( ưa ≤ a+ ưa =

a => a(1 - a) ≤

4 1

Cộng theo từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được : +1+ +1+ + 1 < 6

a

c c

b b a

 ( +1) + ( +1) + ( +1) < 6

c

c b

b a

+ + + + + ≥ Điều này mâu thuẫn với (1)

Vậy không tồn tại 3 số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức nói trên => đpcm

*) Bài tập 3: Cho a3 + b3 = 2 Chứng minh rằng : a + b ≤ 2

+ +

+

c a c

b c

x+ +

=> a =

2

x z

y+ − , b =

2

y x

z+ − , c =

2

z y

x+ −

Khi đó :

VT =

a b

c a c

b c

b

a

+

+ +

+

z

z y x y

y x z x

x z y

2 2

2

− + +

− + +

− +

=

2

3 2

3 1 1 1 2

3 ) ( 2

1 ) ( 2

1 ) (

2

1

=

− + +

≥

− + + + + +

z

y y

z z

x x

z y

x x

1 2

1

2 2

+

+ +

Ta chứng minh đ−ợc : (x + y + z)( 1+ 1 +1) ≥ 9

z y

x (Theo bất đẳng thức Côsi )

x + y + z ≥ x y z+ + Mà : 0 < x + y + z ≤ 1 nên suy ra 1+ 1 +1 ≥ 9

z y

− +

Giải :

Để chứng minh bất đẳng thức trên , ta chứng minh bất đẳng thức trung gian sau:

Nếu a > b > 0 và m,n là hai số tự nhiên mà m>n thì a m m b m m a n n b n n

ư +

9 Phương pháp 9: Dùng phép quy nạp toán học

- Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n ≥ n0 bằng phương pháp quy nạp toán học, ta tiến hành :

+ Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = n0

+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (k ≥ n0)

+ Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1

+ Kết luận bất đẳng thức đúng với n ≥ n0

*) Bài tập 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 3 thì: 2n > 2n + 1 (*) Giải :

+ Với n = 3 , ta có : 2n = 23 = 8 ; 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7 ; 8 > 7 Vậy đẳng thức (*) đúng với n = 3

Vậy (**) đúng với mọi k ≥ 3

+ Kết luận : 2n > 2n + 1 với mọi số nguyên dương n ≥ 3

1

+

n (*) (n là số nguyên dương ) Giải :

+ Với n = 1 , ta có : VT = VP =

2

1 Vậy (*) đúng với n = 1 + Giả sử (*) đúng với n = k ≥ 1 (k N∈ )ta có :

1 +

1 2

k

k

1 ) 1 ( 3

1 + +

1 2

k

k

1 3

1 +

) 1 ( 2

1 2

+

+

k k

Do đó chỉ cần chứng minh :

1 3

1 +

1 2

1 + +

k (**) (t/c bắc cầu) Dùng phép biến đổi tương đương , ta có :