Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT
Tham gia Nhóm: Chuyên đ Toán THCS ề đ c p nh t nhi u h n ể ậ ậ ề ơ
T i: ạ https://www.facebook.com/groups/chuyen.de.toan.thcs/
D NG 1: TÍCH M T H NG T THÀNH NHI U H NG T : Ạ Ộ Ạ Ử Ề Ạ Ử
Đ nh lí b sung:ị ổ
+ Đa th c f(x) có nghi m h u t thì có d ng p/q trong đó p là c c a h s t do, q làứ ệ ữ ỉ ạ ướ ủ ệ ố ự
c d ng c a h s cao nh t
+ N u f(x) có t ng các h s b ng 0 thì f(x) có m t nhân t là x – 1ế ổ ệ ố ằ ộ ử
+ N u f(x) có t ng các h s c a các h ng t b c ch n b ng t ng các h s c a các h ng ế ổ ệ ố ủ ạ ử ậ ẵ ằ ổ ệ ố ủ ạ
t b c l thì f(x) có m t nhân t là x + 1ử ậ ẻ ộ ử
Đ nhanh chóng lo i tr nghi m là c c a h s t doể ạ ừ ệ ướ ủ ệ ố ự
1 Bài t p m u 1: ậ ẫ 3x2 – 8x + 4
Cách 1: Tách h ng t th 2ạ ử ứ
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)
Cách 2: Tách h ng t th nh t:ạ ử ứ ấ
3x2 – 8x + 4 = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x)
= (x – 2)(3x – 2)
Bài t p m u 2: ậ ẫ x3 – x2 - 4
c a f(x) nên f(x) có m t nhân t là x – 2 Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xu t hi nủ ộ ử ấ ệ
m t nhân t là x – 2ộ ử
Cách 2:
=
Bài t p m u 3: ậ ẫ f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5
f(x) n u có nghi m thì là nghi m h u tế ệ ệ ữ ỉ
Trang 2Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT
Ta nh n th y x = ậ ấ là nghi m c a f(x) do đó f(x) có m t nhân t là 3x – 1 Nênệ ủ ộ ử
f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 =
=
nhân t n aử ữ
Bài t p m u 4: ậ ẫ x3 + 5x2 + 8x + 4
Nh n xét: T ng các h s c a các h ng t b c ch n b ng t ng các h s c a các h ng t ậ ổ ệ ố ủ ạ ử ậ ẵ ằ ổ ệ ố ủ ạ ử
b c l nên đa th c có m t nhân t là x + 1ậ ẻ ứ ộ ử
x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1)
= (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2
Bài t p m u 5: ậ ẫ f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2
T ng các h s b ng 0 thì nên đa th c có m t nhân t là x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có:ổ ệ ố ằ ứ ộ ử
x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = (x – 1)(x4 - x3 + 2x2 - 2x - 2)
Vì x4 - x3 + 2x2 - 2x - 2 không có nghi m nguyên cũng không có nghi m h u t nên khôngệ ệ ữ ỉ phân tích đ c n a ượ ữ
Bài t p m u 6: ậ ẫ x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996)
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1 + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997)
Bài t p m u 7: ậ ẫ x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1)
= x2 - x – 20012 - 2001 = (x2 – 20012) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002)
II D NG THÊM , B T CÙNG M T H NG T : Ạ Ớ Ộ Ạ Ử
1 Thêm, b t cùng m t s h ng t đ xu t hi n hi u hai bình ph ớ ộ ố ạ ử ể ấ ệ ệ ươ ng:
Bài t p m u 1 ậ ẫ : 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2
= (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 – 6x)
= (2x2 + 6x + 9 )(2x2 – 6x + 9)
Bài t p m u 2: ậ ẫ x8 + 98x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1 ) + 96x4
= (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4
= (x4 + 1 + 8x2)2 – 16x2(x4 + 1 – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2
= (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2
= (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1)
2 Thêm, b t cùng m t s h ng t đ xu t hi n nhân t chung ớ ộ ố ạ ử ể ấ ệ ử
Bài t p m u 1: ậ ẫ x7 + x2 + 1 = (x7 – x) + (x2 + x + 1 ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 )
Trang 3Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT
= x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1 ) = x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1)
Bài t p m u 2: ậ ẫ x7 + x5 + 1 = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1)
= x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1)
Ghi nh : ớ Các đa th c có d ng xứ ạ 3m + 1 + x3n + 2 + 1 nh : xư 7 + x2 + 1 ; x7 + x5 + 1 ; x8 + x4 + 1 ;
x5 + x + 1 ; x8 + x + 1 ; … đ u có nhân t chung là xề ử 2 + x + 1
III D NG Đ T BI N PH : Ạ Ặ Ế Ụ
Bài t p m u 1: ậ ẫ x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128
= (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128
Đ t xặ 2 + 10x + 12 = y, đa th c có d ngứ ạ
(y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4)
= ( x2 + 10x + 8 )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8 )
Bài t p m u 2: ậ ẫ A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1
Gi s x ả ử 0 ta vi t ế
x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x2 ( x2 + 6x + 7 – ) = x2 [(x2 + ) + 6(x - ) + 7 ]
Đ t x - ặ = y thì x2 + = y2 + 2, do đó
A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x - )2 + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2
Chú ý: Bài t p m u trên có th gi i b ng cách áp d ng h ng đ ng th c nh sau:ậ ẫ ể ả ằ ụ ằ ẳ ứ ư
A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + 1 )
= x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2
Bài t p m u 3: ậ ẫ A =
=
A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( + xy + yz + zx)2
Bài t p m u 4: ậ ẫ B =
Đ t xặ 4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có:
B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2
Trang 4Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT
=
Bài t p m u 5: ậ ẫ
Đ t a + b = m, a – b = n thì 4ab = mặ 2 – n2
a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + ) Ta có:
= 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)
IV PH ƯƠ NG PHÁP H S B T Đ NH: Ệ Ố Ấ Ị
Bài t p m u 1: xậ ẫ 4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
Nh n xét: các s ậ ố 1, 3 không là nghi m c a đa th c, đa th c không có nghi m nguyên ệ ủ ứ ứ ệ
c ng không có nghi m h u tủ ệ ữ ỉ
Nh v y n u đa th c phân tích đ c thành nhân t thì ph i có d ng ư ậ ế ứ ượ ử ả ạ
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
đ ng nh t đa th c này v i đa th c đã cho ta có: ồ ấ ứ ớ ứ
Xét bd = 3 v i b, d ớ Z, b v i b = 3 thì d = 1 h đi u ki n trên tr thànhớ ệ ề ệ ở
V y: xậ 4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)
Bài t p m u 2: ậ ẫ 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8
Nh n xét: đa th c có 1 nghi m là x = 2 nên có th a s là x - 2 do đó ta có:ậ ứ ệ ừ ố
2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c)
= 2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c
Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4)
Trang 5Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT
Ta l i có 2xạ 3 + x2 - 5x - 4 là đa th c có t ng h s c a các h ng t b c l và b c ch n b ng ứ ổ ệ ố ủ ạ ử ậ ẻ ậ ẵ ằ nahu nên có 1 nhân t là x + 1 nên 2xử 3 + x2 - 5x - 4 = (x + 1)(2x2 - x - 4)
V y: 2xậ 4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4)
Bài t p m u 3: ậ ẫ 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (a x + by + 3)(cx + dy - 1)
= acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3
12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1)
BÀI T P: Ậ
15) x8 + 3x4 + 4 16) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 +10
17) x4 - 8x + 63
ĐẶT BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 8-NH-2020-2021
Trang 6Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT
B ph n bán hàng: ộ ậ 0918.972.605(Zalo)
Đ t mua t i: ặ ạ https://xuctu.com/
Email: sach.toan.online@gmail.com
Đ t online t i bi u m u: ặ ạ ể ẫ https://forms.gle/ypBi385DGRFhgvF89