Bộ công thức giải nhanh toán

Điểm uốn + Hàm bậc ba: điểm đối xứng của đồ thị hàm số chính là điểm uốn Ví dụ... https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/ta

Trang 1

https://www.facebook.com/tailieupro/

https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/

Bài 6 Các công thức đặc biệt

1 Các công thức phần Hàm số và các dạng toán liên quan

Đơn vị

kiến

thức

Công thức và bài tập tự luyện

Đạo hàm

Đạo hàm cấp n của một số hàm số hay gặp

(n)

n

2 (sin x) sin x n ,n N

2



(n) n n

n 1

1 ( 1) a n!

ax b (a x b)

Ví dụ 1 Cho hàm số y acos x bsin x  Mệnh đề đúng l{:

A  (3)  y' y 0 B  (3)  

y' y

C y' y  (3)   A B D y' y (3) A.B

Hướng dẫn giải

' sin cos

y  a x b x

'' cosx sinx

(3)

sin cos

Đ|p |n: A

Ví dụ 2 Cho y  xe x Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai:

A   x

y' y e B   x

y'' y 2e

C y'''   y 3e x D y'' y'   y'''

' x ; ''x x x . x

y  e x e y   e e x e '' 2 x

y  y e  B sai

Đ|p |n: B

Trang 2

Cực trị

Đường thẳng đi qua 2 điểm cưc trị : Cho hàm số y=f(x) bậc 3 khi

đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị được x|c định :

y = Ax + B với: f(x) f'(x).G(x) (Ax B)    Cho hàm số

2

ax bx c y

ex d



 khi đó đường thẳng đi qua hai điểm

cực trị của hàm số có phương trình ' 2

'

y



Ví dụ 1 Cho hàm số y  x 3  mx 2    1; m 0 luôn tồn tại đường thẳng (d) đi qua hai điểm cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số và (d) có phương trình là:

A y 2mx 1

3 B y  2m2x 1 

9

C y 2mx 1

3 D y 2m2x 1 

9

2

' 3 2

y  x  mx

2 2

9



d y m x Đ|p |n: B

Ví dụ 2 Cho hàm số 3 2

7 3

y x mx  x Tìm m để đường thẳng đi qua cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng 3 2012

10

A m  6 B m 2 C m  3 D m 4

2

y  x  mx Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là :

  2

3

Vì  d vuông góc với đường thẳng : 6 2012

10

Trang 3

2

Đ|p |n: A

Điểm uốn + Hàm bậc ba: điểm đối xứng của đồ thị hàm số chính là điểm

uốn

Ví dụ Cho hàm số  3  4 2  2

m 2

x

m =  1 thì t}m đối xứng của (C m ) lần lượt là:

A (1; 0) và (1; 0) B (1; 0) và ( 1; 2)

C (1; 2) và (0;1) D ( 1; 2) và (1; 0)

2

3

m



6 2

6

m



 Với m     1 x 1 y 0

 Với m     1 1 y 0

Đ|p |n: A

Đồ thị hàm

phân thức + Hàm phân thức có dạng   

2

ax b ax bx c

cx d px q điểm đối xứng của

đồ thị hàm số chính là giao điểm hai đường tiệm cận

Ví dụ 1 Cho hàm số   



2

x 2 T}m đối xứng của (H) là

A (2; 1) B (0; 3) C (1; -2) D (2; 5)

Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận là : x 2;y 2x 3 Khi đó t}m đx của ( )H là :   2;1

Đ|p |n: A

Ví dụ 2 Cho hàm số   C m :      



2

x m trong

đó  m   1  Với giá trị nào của m thì t}m đối xứng của   C m nằm trên đường thẳng y  2x 1 

A m 2 B m 1 C m   3 D m 1

Trang 4

Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là :

xm và y m 1 xm

 T}m đối xứng : 2

I( ;m m  2 )m

Mà I đường thẳng y 2x 1 nên 2

m  m m 1

m

  

* Cho đồ thị hàm phân thức (bậc nhất trên bậc nhất và bậc hai trên bậc nhất)

- Bài toán 1: Tìm 2 điểm A, B trên 2 nhánh của đồ thị sao cho AB

ngắn nhất?

- Bài toán 2: Tìm trên đồ thị điểm M sao cho tổng khoảng cách

từ M đến 2 tiệm cận là ngắn nhất?

- Cách làm: A, B, M chính l{ giao điểm của đồ thị hàm số với

phân giác của góc tạo bởi 2 đường tiệm cận

- Với hàm     



ax b

cx d ta có công thức đặc biệt sau:

1 Phương trình đường thẳng là phân giác cặp góc tạo bởi 2 tiệm cận là: y    x a d

c

2 Độ dài AB là 2 2 ad bc

3 Điểm M sẽ có ho{nh độ thỏa mãn

y'(x ) 1 (c.x d) ad bc Sau khi x|c định được tọa

độ M(x ; y )M M thì:

+ Tổng khoảng cách từ M đến hai trục là : xM  yM + Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là:







M

2

Từ đó ta cũng thấy rằng tại điểm M thỏa mãn tổng khoảng cách

từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất thì nó cũng thỏa mãn

Trang 5

tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất v{ ngược lại Hơn nữa M nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận

Ví dụ 1 Cho hàm số  



2x 2 y

x 1 (C) Tìm trên 2 nhánh của (C) hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất

A (1;0),( 3;4)  B (1;0),(3; 2)

C ( 5;3),( 3;4)   D ( 5;3),(3;2) 

 AB l{ giao điểm của ph}n gi|c 2 đường tiệm cận với ( )C

 C có 2 đường tiệm cận  d1 :y 2,  d2 :x  1

 là phân giác của d d1; 2

3 0

1 0

x y

  



    

1 :y x 3

   không cắt ( )C

2 :y x 1

    cắt  C tại    1, 0 ,  3, 4 

Ví dụ 2 Cho hàm số  



2x 2

x 1 M thuộc nhánh phải của (H) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ nhất Tọa

độ của điểm M là:

A M(3; 4) B M(3; 4)  C M( 3; 4)  D M( 3; 4)  

Áp dụng công thức

 

  2

4

1 1

M

x



4

1 1

M

x



3 (3; 4)

1 ( 1;0)

M M

 



Ví dụ 3 Cho hàm số 



x

x 1 Điểm M trên (H) sao cho khoảng c|ch đến hai tiệm cận nhỏ nhất, khoảng c|ch đó l{:

A 2 B 1 C 3 D 4

Áp dụng công thức ở phần trên ta được khoảng cách từ M tới hai tiệm cận nhỏ nhất bằng 2

Trang 6

+ Một số kết quả quan trọng khác về đồ thị của hàm nhất biến, ta

quy ước chung là (C):

o (C ) nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

o (C) nhận hai đường phân giác của các cặp góc tạo bởi hai đường tiệm cận làm trục đối xứng

o Tiếp tuyến của (C) tại một điểm M bất kì cắt hai tiệm cận lần lượt là A và B tạo thành một tam giác có diện tích không phụ thuộc vào vị trí của M, ngoài ra M là trung điểm đoạn AB

o Nếu đường thẳng y = kx + m (k  0) cắt đồ thị (C) tại hai điểm

A, B và cắt hai đường tiệm cận tại M và N thì hai đoạn AB, MN

có cùng trung điểm

Ví dụ 4 Đồ thị n{o sau đ}y không có t}m đối xứng

y ln( x 1 x) B y tan 5x 

C 16x 2  9y 2  144 D  



2 2

y

Đ|p |n: D

Ví dụ 5 Đường thẳng y  x m luôn cắt đồ thị  



2x 1 y

x 1 tại hai điểm P v{ Q Để độ d{i đoạn PQ ngắn nhất, giá trị thích hợp cho m là:

A m = 1 B m = 1 C m = 2 D m = 2

Ta có d cắt  C tại 2 điểm P, Q thuộc 2 nh|nh đồ thị

 PQ min  d qua t}m đối xứng I  1; 2  của  C

1

m

 

Ví dụ 6 Cho hàm số  



2x 1

x 1 Tìm trên đồ thị hàm số điểm

M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất

A (1  3; 2  3) B (1  3;  3)

C ( 3 1; 3)  D (1  3; 3)

( )C có 2 đường tiệm cận d :1 x 1, d :2 y 2

Trang 7

Gọi ,2 1

1

o o o

x

M x

x

 , 1  o 1 ;

o

x

d M d



 1   2 

3

1

o

x

  2

"   " x o 1  3 x o   3 1  Đến đ}y ta thay x o v{o phương trình ban đầu để tìm ra y o thấy chỉ có đ|p |n A thỏa mãn

Ví dụ 7 Cho hàm số y   x 1.

x

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề sai là:

A Hàm số có hai tiệm cận: một tiệm cận xiên, một tiệm cận đứng

B Hàm số có t}m đối xứng I 1;1  

C Hàm số có hai cực trị

D      

x 0 lim f x

Ta cóy x 1

x

  Xét lần lượt c|c đ|p |n:

A Đồ thị hàm số có TCX: yx, TCĐ : x 0

B Đồ thị có t}m đối xứng O  0; 0  B sai

C ' 0y     x 1 đồ thị hàm số có 2 cực trị

D

0

lim ( )

x

f x



  

2sin cos 1

sin 2 cos 3

Phương trình có nghiệm 2 2 2

(y 2)  (2y 1)  (3y 1)  4y  6y  4 0

1

2.

   

Đ|p |n: D

Trang 8

2 Các công thức phần hình không gian Oxyz

Đơn vị

kiến thức

Công thức và bài tập

Diện tích đa gi|c  Tam giác: ABC   

1

2

 Hình bình hành: S ABCD  AB,AD

Dữ kiện sau dùng cho ví dụ 1, 2: Trong không gian Oxyz cho

A(4;2;6),B(10; 2;4),C(4; 4;0),D( 2;0;2)

Ví dụ 1 Khẳng định n{o sau đ}y l{ đúng :

A ABCD là hình thoi

B A, B, C, D không đồng phẳng

C A, B, C, D là hình thang

D ABCD là hình bình hành

Ta có AB  6; 4; 2 ,    DC  6; 4; 2   

   loại B , C

 6; 2; 4 

AD    AB AD

 ABCD là hình thoi

Ví dụ 2 Diện tích của tứ giác ABCD là:

A SABCD  12 19 (đvdt) C SABCD  24 19 (đvdt)

B SABCD6 38 (đvdt) D SABCD 12 38 (đvdt)

, 12 36 ( 36) 12 19

ABCD

S  AB AD     

*Dữ kiện sau dùng cho ví dụ 3, 4: Trong không gian Oxyz

cho bốn điểm đồng phẳng A, B, C, D lần lượt có tọa độ

2; ;1 , ; ;0 , 5; ; 3 , ; ; 4

Ví dụ 3 Dạng của tứ giác ABCD là:

A Hình thang B Hình bình hành

C Hình vuông D Hình chữ nhật

Ta có 1; 1; 1 ,

2

1

; 1; 1 , 2

5

;0;3 2

  

  ABCD là hình bình hành

Trang 9

https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/

Ví dụ 4 Diện tích của tứ giác ABCD là:

A S 5 5

4 (đvdt) B S 25 5

2 (đvdt)

C S  5

4 (đvdt) D S  5 5

2 (đvdt)

2

ABCD

Thể tích khối

đa diện  Tứ diện: ABCD   

1

6

 Hình lăng trụ tam giác ' ' '

'

1

2

ABC A B C

 Hình hộp: V ABCD.A ' B' C ' D'  AB,AD AA'

Ví dụ 1 Cho tứ diện ABCD có

A(2;3;1), B(4;1; 2), C(6;3;7), D(1; 2;2) Độ d{i đường cao

AH của tứ diện là:

A 2 2 (đvđd) B 2 (đvđd)

C 4 (đvđd) D 4 2 (đvđd)

 2; 2;9 ; 

BC BD    3; 3; 4 ;  BA   2; 2;3 

1

1 2

BC BD BA AH

BC BD

Đ|p |n: A

Ví dụ 2 Tính thể tích hình lập phương biết hai mặt nằm

trên là hai mặt phẳng

   :x 2y 2z 4     0;    :x 2y 2z 5     0

A V 27  (đvtt) B V 8  (đvtt)

C V 125  (đvtt) D V 64  (đvtt)

Đ|p |n: A

Khoảng cách

+ AB và CD (chéo nhau): d( AB,CD ) AB,CD BD

AB,CD



Trang 10

+ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

SABC ABC

AB, AC AS 3V

d(S; (ABC))

Ví dụ Cho 4 điểm A(1;2;3), B( 1;0;2), C(0;1;7), D(2;0;5).

Khoảng cách giữa AB và CD là:

A 4 B 5 C 6 D 3

.

AB CD BD

d AB CD

AB CD

Các công thức

khác

+ Góc giữa hai đường thẳng :

cos(a; b) cos( ; )

.

a b

u u

+ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :

sin(a; (P)) cos( ; )

.

P P

P

u n

+ Góc giữa hai mặt phẳng:

cos((P); (Q)) cos( ; )

.

P Q

n n

Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với

 A(0;0;0), D(0;a;0), A'(0;0;a), a 0 Góc giữa hai đường thẳng AD’ v{ DC’ l{:

A  30 B 0  60 C 0  90 D 0   45 0

 1; 2; 2 

AD  , DC   2;1; 2 

.

AD DC

3 Công thức phần số phức

3.1 Công thức De-moivre dạng 1

(cos isin ).( cos isin ) cos( ) isin( )

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	1,32 MB