Bo cong thuc giai nhanh toan

Điểm uốn + Hàm bậc ba: điểm đối xứng của đồ thị hàm số chính là điểm uốn Ví dụ... Hơn nữa M nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận.. 4 Hướng dẫn giải Áp dụng côn

Trang 1

Bài 6 Các công thức đặc biệt

1 Các công thức phần Hàm số và các dạng toán liên quan

Đơn vị

kiến

thức

Công thức và bài tập tự luyện

Đạo hàm

Đạo hàm cấp n của một số hàm số hay gặp

  

(n)

n (cos x) cos x ,n N

2 (sin x) sin x n ,n N

2



n 1

1 ( 1) a n!

ax b (a x b)

Ví dụ 1 Cho hàm số y acos x bsin x  Mệnh đề đúng l{:

A  (3) 

y' y 0 B  (3)  

y' y

C y' y (3)  A B D y' y (3) A.B

Hướng dẫn giải

y  a x b x '' cosx sinx

(3)

y a x b x   3

Đ|p |n: A

Ví dụ 2 Cho yxe x Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai:

A   x y' y e B   x

y'' y 2e

C y''' y 3ex D y'' y' y'''

' x ; ''x x x x

y  e x e y   e e x e '' 2 x

y  y e  B sai

Đ|p |n: B

Trang 2

Cực trị

Đường thẳng đi qua 2 điểm cưc trị : Cho hàm số y=f(x) bậc 3 khi

đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị được x|c định :

y = Ax + B với: f(x) f'(x).G(x) (Ax B)   Cho hàm số

2

ax bx c y

ex d



 khi đó đường thẳng đi qua hai điểm

cực trị của hàm số có phương trình ' 2

'

y



Ví dụ 1 Cho hàm số yx3mx2  1; m 0 luôn tồn tại đường thẳng (d) đi qua hai điểm cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số và (d) có phương trình là:

A y 2mx 1

3 B y  2m2x 1 

9

C y 2mx 1

3 D y 2m2x 1 

9

2

y  x  mx

2 2

9



d y m x Đ|p |n: B

Ví dụ 2 Cho hàm số 3 2

y x mx  x Tìm m để đường thẳng đi qua cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng 3 2012

10

A m 6 B m 2 C m 3 D m 4

2

y  x  mx Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là :

 

2

3

Vì  d vuông góc với đường thẳng : 6 2012

10

Trang 3

14 2 3

3 9 10

Đ|p |n: A

Điểm uốn + Hàm bậc ba: điểm đối xứng của đồ thị hàm số chính là điểm

uốn

Ví dụ Cho hàm số  3  4 2 2

m 2

x

y 3m x 2m , (C )

m =1 thì t}m đối xứng của (Cm) lần lượt là:

A (1; 0) và (1; 0) B (1; 0) và (1; 2)

C (1; 2) và (0;1) D (1; 2) và (1; 0)

2

3

m



6 2

6

m



 Với m    1 x 1 y 0

 Với m    1 1 y 0

Đ|p |n: A

Đồ thị hàm

phân thức + Hàm phân thức có dạng   

2

ax b ax bx c

cx d px q điểm đối xứng của

đồ thị hàm số chính là giao điểm hai đường tiệm cận

Ví dụ 1 Cho hàm số   



2 2x 7x 7

x 2 T}m đối xứng của (H) là

A (2; 1) B (0; 3) C (1; -2) D (2; 5)

Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận là : x2;y2x3 Khi đó t}m đx của ( )H là :  2;1

Đ|p |n: A

Ví dụ 2 Cho hàm số  C m :      



2

y (m 1)x m

x m trong

đó m   1.Với giá trị nào của m thì t}m đối xứng của  C m nằm trên đường thẳng y2x 1

A m 2 B m 1 C m 3 D m 1

Trang 4

Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là :

xm và ym1xm

 T}m đối xứng : 2

I( ;m m 2 )m

Mà I đường thẳng y2x1 nên 2

m  m m

1

m

  

* Cho đồ thị hàm phân thức (bậc nhất trên bậc nhất và bậc hai trên bậc nhất)

- Bài toán 1: Tìm 2 điểm A, B trên 2 nhánh của đồ thị sao cho AB

ngắn nhất?

- Bài toán 2: Tìm trên đồ thị điểm M sao cho tổng khoảng cách

từ M đến 2 tiệm cận là ngắn nhất?

- Cách làm: A, B, M chính l{ giao điểm của đồ thị hàm số với

phân giác của góc tạo bởi 2 đường tiệm cận

- Với hàm     



ax b

cx d ta có công thức đặc biệt sau:

1 Phương trình đường thẳng là phân giác cặp góc tạo bởi 2 tiệm cận là: y  x a d

c

2 Độ dài AB là 2 2 ad bc

c

3 Điểm M sẽ có ho{nh độ thỏa mãn

    2  

y'(x ) 1 (c.x d) ad bc Sau khi x|c định được tọa

độ M(x ; y )M M thì:

+ Tổng khoảng cách từ M đến hai trục là : xM  yM + Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là:







M

cx d

ad bc ad bc ad bc

2

Từ đó ta cũng thấy rằng tại điểm M thỏa mãn tổng khoảng cách

từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất thì nó cũng thỏa mãn

Trang 5

tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất v{ ngược lại Hơn nữa M nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận

Ví dụ 1 Cho hàm số  



2x 2 y

x 1 (C) Tìm trên 2 nhánh của (C) hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất

A (1;0),( 3;4) B (1;0),(3; 2)

C ( 5;3),( 3;4)  D ( 5;3),(3;2)

 AB l{ giao điểm của ph}n gi|c 2 đường tiệm cận với ( )C

 C có 2 đường tiệm cận  d1 :y2, d2 :x 1

 là phân giác của d d1; 2

   

3 0

1 0

x y

  



1:y x 3

   không cắt ( )C

2:y x 1

    cắt  C tại   1, 0 , 3, 4

Ví dụ 2 Cho hàm số  



2x 2

x 1 M thuộc nhánh phải của (H) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ nhất Tọa

độ của điểm M là:

A M(3; 4) B M(3; 4) C M( 3; 4) D M( 3; 4) 

Áp dụng công thức

  ' M 1

 2

4

1 1

M

x



4

1 1

M

x



3 (3; 4)

1 ( 1;0)

M M

 



Ví dụ 3 Cho hàm số 



x

y (H)

x 1 Điểm M trên (H) sao cho khoảng c|ch đến hai tiệm cận nhỏ nhất, khoảng c|ch đó l{:

A 2 B 1 C 3 D 4

Áp dụng công thức ở phần trên ta được khoảng cách từ M tới hai tiệm cận nhỏ nhất bằng 2

Trang 6

+ Một số kết quả quan trọng khác về đồ thị của hàm nhất biến, ta quy ước chung là (C):

o (C ) nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

o (C) nhận hai đường phân giác của các cặp góc tạo bởi hai

đường tiệm cận làm trục đối xứng

o Tiếp tuyến của (C) tại một điểm M bất kì cắt hai tiệm cận lần

lượt là A và B tạo thành một tam giác có diện tích không phụ thuộc vào vị trí của M, ngoài ra M là trung điểm đoạn AB

o Nếu đường thẳng y = kx + m (k  0) cắt đồ thị (C) tại hai điểm

A, B và cắt hai đường tiệm cận tại M và N thì hai đoạn AB, MN

có cùng trung điểm

Ví dụ 4 Đồ thị n{o sau đ}y không có t}m đối xứng

A  2 

y ln( x 1 x) B y tan 5x

C 16x29y2 144 D  



2

x 1 y

x 1

Đ|p |n: D

Ví dụ 5 Đường thẳng y  x m luôn cắt đồ thị  



2x 1 y

x 1 tại hai điểm P v{ Q Để độ d{i đoạn PQ ngắn nhất, giá trị thích hợp cho m là:

A m =1 B m = 1 C m =2 D m = 2

Ta có d cắt  C tại 2 điểm P, Q thuộc 2 nh|nh đồ thị

 PQ min  d qua t}m đối xứng I1; 2 của  C

1

m

 

Ví dụ 6 Cho hàm số  



2x 1

y (C)

x 1 Tìm trên đồ thị hàm số điểm

M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất

A (1  3; 2  3) B (1  3;  3)

C ( 3 1; 3)  D (1  3; 3)

( )C có 2 đường tiệm cận d :1 x1, d :2 y2

Trang 7

Gọi ,2 1

1

o o o

x

M x

x

 , 1 o 1 ;

o

x

d M d



 1  2

3

1

o

x

" " x o1 3 x o   3 1 Đến đ}y ta thay x o v{o phương trình ban đầu để tìm ra y o thấy chỉ có đ|p |n A thỏa mãn

Ví dụ 7 Cho hàm số y x 1

x

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề sai là:

A Hàm số có hai tiệm cận: một tiệm cận xiên, một tiệm cận đứng

B Hàm số có t}m đối xứng I 1;1 

C Hàm số có hai cực trị

D     

x 0 lim f x

Ta cóy x 1

x

  . Xét lần lượt c|c đ|p |n:

A Đồ thị hàm số có TCX: yx, TCĐ : x0

B Đồ thị có t}m đối xứng O 0; 0  B sai

C ' 0y     x 1 đồ thị hàm số có 2 cực trị

D

0

lim ( )

x

f x



2sin cos 1

2 sin 2 1 cos 3 1 0 sin 2 cos 3

Phương trình có nghiệm 2 2 2

(y2) (2y1) (3y1) 4y 6y 4 0 1

2

2 y

   

Đ|p |n: D

Trang 8

2 Các công thức phần hình không gian Oxyz

Đơn vị

kiến thức

Công thức và bài tập

Diện tích đa gi|c  Tam giác: ABC   

1

2

 Hình bình hành: SABCD  AB,AD

Dữ kiện sau dùng cho ví dụ 1, 2: Trong không gian Oxyz cho

A(4;2;6),B(10; 2;4),C(4; 4;0),D( 2;0;2)

Ví dụ 1 Khẳng định n{o sau đ}y l{ đúng :

A ABCD là hình thoi

B A, B, C, D không đồng phẳng

C A, B, C, D là hình thang

D ABCD là hình bình hành

Ta có AB6; 4; 2 ,   DC6; 4; 2  

   loại B , C

 6; 2; 4

 ABCD là hình thoi

Ví dụ 2 Diện tích của tứ giác ABCD là:

A SABCD 12 19 (đvdt) C SABCD 24 19 (đvdt)

B SABCD6 38 (đvdt) D SABCD 12 38 (đvdt)

ABCD

S  AB AD     

*Dữ kiện sau dùng cho ví dụ 3, 4: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm đồng phẳng A, B, C, D lần lượt có tọa độ

2; ;1 , ; ;0 , 5; ; 3 , ; ; 4

Ví dụ 3 Dạng của tứ giác ABCD là:

A Hình thang B Hình bình hành

C Hình vuông D Hình chữ nhật

Ta có 1; 1; 1 ,

2

1

; 1; 1 , 2

5

;0;3 2

  

AB AD

  ABCD là hình bình hành

Trang 9

Ví dụ 4 Diện tích của tứ giác ABCD là:

A S 5 5

4 (đvdt) B S 25 5

2 (đvdt)

C S  5

4 (đvdt) D S  5 5

2 (đvdt)

2

ABCD

S  AB AD  Đ|p |n: D

Thể tích khối

đa diện  Tứ diện: ABCD  

1

6

 Hình lăng trụ tam giác ' ' '

'

1

; 2

ABC A B C

 Hình hộp: VABCD.A ' B' C ' D'  AB,AD AA'

Ví dụ 1 Cho tứ diện ABCD có

A(2;3;1), B(4;1; 2), C(6;3;7), D(1; 2;2) Độ d{i đường cao

AH của tứ diện là:

A 2 2 (đvđd) B 2 (đvđd)

C 4 (đvđd) D 4 2(đvđd)

2; 2;9 ;

BC BD   3; 3; 4 ; BA  2; 2;3

1

1 2

BC BD BA AH

BC BD

Đ|p |n: A

Ví dụ 2 Tính thể tích hình lập phương biết hai mặt nằm

trên là hai mặt phẳng

  :x 2y 2z 4     0;  :x 2y 2z 5     0

A V 27 (đvtt) B V 8 (đvtt)

C V 125 (đvtt) D V 64 (đvtt)

Đ|p |n: A

Khoảng cách

+ AB và CD (chéo nhau): d( AB,CD ) AB,CD BD

AB,CD



Trang 10

+ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

SABC

ABC

AB, AC AS 3V

d(S; (ABC))

Ví dụ Cho 4 điểm A(1;2;3), B( 1;0;2), C(0;1;7), D(2;0;5).

Khoảng cách giữa AB và CD là:

A 4 B 5 C 6 D 3

 ,  . . 3

AB CD BD

d AB CD

AB CD

Các công thức

khác

+ Góc giữa hai đường thẳng :

cos(a; b) cos( ; )

a b

u u

+ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :

sin(a; (P)) cos( ; )

P P

P

u n

+ Góc giữa hai mặt phẳng:

cos((P); (Q)) cos( ; )

P Q

n n

Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với



A(0;0;0), D(0;a;0), A'(0;0;a), a 0 Góc giữa hai đường thẳng AD’ v{ DC’ l{:

A  30 B 0  60 C 0  90 D 0  45 0

1; 2; 2

AD  , DC  2;1; 2

AD DC

3 Công thức phần số phức

3.1 Công thức De-moivre dạng 1

(cos isin ).( cos isin ) cos( ) isin( )

Trang 11

Ví dụ 1 Cho hai số phức z1 (cosisin ); z 2 (sin icos )

Lựa chọn phương |n đúng:

A z1, z2  B (z1+ z2 )2 l{ số thực

C z12 - z22 l{ số thuần ảo D z12 + z22 l{ số thuần ảo

Hướng dẫn giải Cách 1 :

z   i  

    Xét từng đ|p |n:

A Sai

1 2 cos sin sin cos 2 cos sin

2 cos sin i

  là số thuần ảo  sai

1 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2

2cos 2

 là số thực  sai

D 2 2

1 2 2 sin 2

z z  i  là số thuần ảo (đúng)

Đ|p |n: D

Cách 2 : Cho  một giá trị cụ thể ta sẽ làm việc với số phức cụ thể và có thể sử dụng máy tính Casio để giải

Ví dụ 2 Cho c|c số phức

z  cos  i sin  ; z  cos i sin 

z  cosi sin; z   sin  i cos 

n

k

Kết luận sai là:

A 1 4 4

12

1 2 3

z z z C z1 z2 0 D z2 z4

Xét c|c đ|p |n:

A 1 4 6 2 4 cos

12

z z     ( đúng )

B.z z1 2  2 3  2i z3 ( sai )

C z1 z2 0 ( đúng )

Trang 12

D 4

2

z      iz (đúng)

Đ|p |n: B

3.2 Tìm căn bậc n của số phức

 Ghi nhớ : Cho số phức z r(cos  isin ). Với n là số nguyên dương, có đúng k căn bậc n của số phức z với k0; n 1 

Ví dụ Tìm căn bậc 2 của số phức z= 15-8i

A 4 – i B 4+i C 2+3i D 2-3i

Hướng dẫn :

Đưa về chế độ mặc định ( MODE 1)

Bước 1: Dùng Pol ( SHIFT+ “ +”) (15,-8)

Bước 2: Dùng REC ( SHIFT+“ -”) (( X Y, : 2)

Vậy z= 4 i Đ|p |n : A

Chú ý : Nếu tìm căn bậc n thì đến bước 2 nhập (n , : )

3.3Phương pháp giải đặc biệt tìm số phức có dạng bậc nhất đối với z

Ví dụ Cho so phư c z tho a ma n he thư c  2 i  

i Mo đun cu a so phư c w z i  là:

5 D 26

4

(i 3)z (2 i)z (i 3)(x yi) (2 i)(x yi) 1 2i

Khi đó x, y là nghiệm của hệ 1 1 1

a x b y c



Cách tìm các hệ số a , a , b , b , c , c1 2 1 2 1 2 như sau:

Trang 13

+) c1 1, c2 2 (Từ  1 + 2i )

+) Gán x = 1, y = 0 vào vế trái của (*) được kết quả 1 + 2i = a1a i2

a 1, a 2

+) Gán x = 0, y = 1 vào vế trái của (*) được kết quả 0+5i = b1b i2

b 0, b 5

Sau khi tìm được các hệ số trên, ta tiến hành giải hệ (**) được nghiệm

x 1, y z 1 i w z i 1 i w

                Đ|p |n C

4 Công thức phần tích phân

4.1 Dạng 1: Dùng bất đẳng thức để ước lượng

*Phương pháp chung:

m f(x) M m dx f(x)dx M dx m(a b) f(x)dx M(a b)

Ví dụ 1 Tích phân 1 2

x

0

e xdx là:

A 1(e 1)

2 B 1(e 1)

3 C 1(e 1)

4 D 1(e 1)

5

Áp dụng bất đẳng thức: x    3

e x 1 I

4 Đ|p |n: A

Ví dụ 2 Gọi  



1 46 0

x 1

x 1 thì khẳng định đúng l{:

A I = 0 B I = 1 C I = 

4 D I = 

3 Nhận xét: I 1 Đ|p |n: D 

4.2 Dạng 2: Lớp các tích phân đặc biệt

Tính chất 1: Nếu f (x) liên tục và là hàm lẻ trên [ -a ; a ] thì





a

a f(x)dx 0

Ví dụ 1 Tích phân



  





1 2

1 x

I cos x.ln dx

1 x là:

A 0 B 

2 C  D 3 

Trang 14

Nhận xét: Hàm số     



1 x f(x) cos x.ln

1 x

 Liên tục trên   

1 1

;

2 2

 f(x) + f( x) = 0

Đ|p |n: A

Ví dụ 2 Cho tích phân



  





a

1 x

I cos x.ln dx

1 x Số giá trị của a thỏa mãn I = 0 là :

A 1 B 2 C 0 D Vô số





I (tan x cot 2x)dx là

Ví dụ 4 Cho tích phân a 

b

I (tan x cot 2x)dx Cặp giá trị của a, b thỏa mãn đẳng thức I = 0 là:

A a   ,b B a   2 , b

C a3, b 

2 2 D a, b



 1 2 4 2 1

x x 1 x x 1

Ví dụ 6 Tích phân 







 2

sin 2x

x 1 là

Ví dụ 7 Nếu gọi











1 2

x 1

I ln dx

x 1 thì khẳng định đúng l{:

A I = 0 B I = 1 C I = 2 D I = 3

Ví dụ 8 Cho  





1 2

a

x 1

I ln dx

x 1 Giá trị của a để I = 0 là:

A a 0 B a = 1  C a = 2 D a 1

2

Áp dụng tính chất 1 ta có c|c đ|p |n như sau

VD1 A VD2 D VD3 A VD4 A VD5 A VD6 A VD7 A VD8 D

Trang 15

Tính chất 2: Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên thì





a x a

f(x)

m 1 với m  0, a 











1

4 2 2

x 1 2

x x

e 1 là:

A 23

480 B 5

16







1 2x 1

1 x

1 2

A 2

3

Đ|p |n ví dụ 1,2: A

Tính chất 3: Cho f(x) liên tục và f(a + b x) = f(x) thì:

b a 

b a

I f(x)dx f(x)dx 0 (mở rộng tính chất 1)

Ví dụ Tích phân





2

0

1 sin x

1 cos x là:

3 D 1 Đ|p |n: A

5 Công thức phần cấp số

5.1 Cấp số cộng

(Un) là cấp số cộng U n1 U n  d, n

 Số hạng tổng quát: Nếu cấp số cộng (Un) có số hạng đầu U1 và cộng sai

d thì số hạng tổng quát Un được x|c định bởi công thức:

 1 ( 1) ,  

n

 Tính chất các số hạng của cấp số cộng: Trong một cặp số cộng, mỗi số hàng ( trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình công của hai số hạng đứng kế với nó, nghĩa l{:

  

2

n

Trang 16

 Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng: Cho cấp số cộng (Un) đặt

 1 2  3  ,

 ( 1 ) 2

n n

 2 1 (n 1)d

2

n

S

Ví dụ 1 Nếu  2  2

7 a ,(3 a) và  2

(5 a) lập thành một cấp số cộng thì công sai của cấp số cộng này là:

A 56 B 54 C 44 D 7

2

7a , 3a , 5a lập thành 1 cấp số cộng 2   2

2(3 a) 7 a 5 a

7

a

 

44

d

 

Đ|p |n: C

Ví dụ 2 Số hạng đầu của một cấp số cộng là u ,1 công sai d2u1 Tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này bằng:

A 200u 1 B 300u 1 C 350u 1 D Đ|p |n kh|c

20 2 19

10.40 400 2

Đ|p |n: D

Ví dụ 3 Một cấp số cộng có u13 8 và d 3, số hạng thứ ba của cập số cộng này là:

A 19 B 35 C 22 D 38

Có U13U310d U3U1310.d 38

Đ|p |n: D

5.2 Cấp số nhân

a Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân

*

n n

u 1u q ( n  )

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	1,32 MB