Trờng thpt đề luyện thi đại học... Đáp án đề luyện thi số 3Môn: Toán... Nhận xét rằng C không thuộc 2 đờng thẳng đã cho.. Không mất tính tổng quát giả sử rằng d và ∆ lần lợt là phân giá
Trang 1Trờng thpt đề luyện thi đại học Số 3
bắc yên thành Môn Toán – Khối A, B Thời gian làm bài 180 phút
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số
2
2x mx 2 y
x 1
=
1) Khảo sát hàm số khi m =-3.
diện tích bằng 4.
Câu II (2 điểm)
2
2 2tg x 5tgx 5cot gx 4 0
Câu III (2 điểm)
1) Tính tích phân
2 0
(x 1)
+
=
+
∫
2) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 thiết lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số khác nhau mà chữ số 9 đứng chính giữa.
Câu IV (3 điểm)
C(4; 3), đờng phân giác trong và đờng trung tuyến kẻ từ một đỉnh tam giác có
ph-ơng trình lần lợt là: x + 2y – 5 =0 và 4x + 13y – 10 =0.
các điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0<t<2a) Tính độ dài
đoạn thẳng MN Tìm t theo a để MN ngắn nhất.
Câu V (1 điểm) Cho x, y, z là các số thực dơng Chứng minh rằng:
2 y
Biên soạn đề: Ths Nguyễn Bá Thủy
Trang 2Đáp án đề luyện thi số 3
Môn: Toán Khối A, B – Thời gian làm bài 180 phút.
I I.1) Với m = –3 ta có hàm số:
2 2x 3x 2 y
x 1
=
− (Hs tự khảo sát)
Đồ thị:
K/s: 0.75đ
Đồ thị: 0.25đ
I.2)
Ta có: y 2x2 mx 2 2x m 2 m
⇒ Đồ thị có tiệm cận xiên ⇔ m ≠0, và PT tiệm cận xiên là ∆: y = 2x +m + 2
Gọi A, B lần lợt là giao điểm của ∆ với Oy và Ox thì toạ độ của chúng tơng ứng là:
2
+
⇒
2 OAB
∆
OAB
m 2
∆
= −
Kết luận: Giá trị cần tìm của m là m =–6, m= 2
0.25
0.25 0.25
0.25
II II.1)
Giải phơng trình: 2
2
2 2tg x 5tgx 5cot gx 4 0 sin x+ + + + = (1)
Điều kiện: sinx≠0, cosx≠0 Khi đó:
(1)⇔2(1 cot g x) 2tg x 5tgx 5cot gx 4 0+ + + + + =
2(tg x cot g x) 5(tgx cot gx) 6 0
t tgx cot gx tg x cot g x t 2
sin 2x
t 2
t 2
= −
= −
Với t =–2, ta có: 2 2 sin 2x 1 x k ,k
π
Với t 1 2 1 sin 2x 4
2 sin 2x 2
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x k , k
4
π
0.25 0.25
0.25
0.25
log + (9 12x 4x ) log+ + + + (6x +23x 21) 4+ = (2)
Điều kiện: 2
2
0 3x 7 1
3
2 4x 12x 9 0
x 2 6x 23x 21 0
0.25
Trang 3Khi đó (2) ⇔ 2log3x 7+ (2x 3) log+ + 2x 3+ (3x 7)(2x 3) 4+ + =
⇔ 2log3x 7+ (2x 3) log+ + 2x 3+ (3x 7) 3+ =
Đặt t log= 2x 3+ (3x 7)+ , ta có phơng trình: 2 2 t 1
t 3 t 3t 2 0
t 2 t
=
Với t = 1, ta có: log2x 3+ (3x 7) 1+ = ⇔2x 3 3x 7+ = + ⇔ = −x 4 (loại)
2x 3 log + (3x 7) 2+ = ⇔2x 3 (3x 7)+ = +
= −
= −
Chỉ có
1 x 4
= − thoả mãn điều kiện
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x 1
4
0.25
0.25
0.25 III III.1)
Tính tích phân
1 2 x
2 0
(x 1)e
(x 1)
+
= +
∫
Ta có:
Có:
xe dx (x 1 1)e dx e dx e dx
+ −
Đặt
2
= −
thì
1
2
(x 1) (x 1) x 1
−
2
(x 1) (x 1) (x 1) (x 1) (x 1)
Do đó
1 x 1 0
0
2e
(x 1)
+
0.25 0.25 0.25
0.25
III.2) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 thiết lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số
khác nhau mà chữ số 9 đứng chính giữa
Do chữ số 9 cố định ở vị trí chính giữa ⇒ 8 vị trí còn lại là hoán vị của 8 chữ số còn lại Do đó có 8! =40320 số
0.5 0.5
IV IV.1) Viết phơng trình 3 cạnh của ∆ABC
Gọi d: x + 2y – 5 =0 và ∆: 4x + 13y – 10 =0 Nhận
xét rằng C không thuộc 2 đờng thẳng đã cho
Không mất tính tổng quát giả sử rằng d và ∆ lần lợt là
phân giác và trung tuyến xuất phát từ đỉnh A
⇒ A có toạ độ thoả mãn:
4x 13y 10 0 y 2
⇒Phơng trình cạnh AC:
x 9 y 2
x y 7 0
4 9 3 2
Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua d thì ta tìm đợc C’=(2; –1) và ta có AB ≡ AC’ nên phơng trình cạnh AB là: x 2 y 1 x 7y 5 0
9 2 2 1
Giả sử B(x0; y0) ∈AB ⇒ x0+7y0+ =5 0 (1) và trung điểm N của BC có tọa độ
x 4 y 3
Do N∈∆ nên ta có:
0 0
y 3
2
+
(2)
Từ (1) và (2) ⇒ x0 = –12; y0 = 1 ⇒ PT cạnh BC: x 12 y 1 x 8y 20 0
4 12 3 1
0.25
0.25 0.25
0.25
0.25
Trang 4IV.2) Chọn hệ tọa độ Oxyz có O ≡ A, (C∈Ox, B∈Oy)
Thì ta có:
S a 2;0;a 2 ,M ;0;
2a t t
−
⇒ MN= 3t2+2a 4at−
Có
MN 3 t
⇒ MinMN = a 6 t 2a
3 ⇔ = 3
(Hình: 0.25đ) 0.5 0.25
0.5
V
Cho x, y, z > Chứng minh rằng: 2 x3 2 2 y3 2 32 z2 12 12 12
x y +y z +z x ≤x +y +z
áp dụng BĐT Cauchy ta có:
x y 2xy x xy 2 x y
y z 2yz y yz 2 y z
z x 2zx z zx 2 z x
Cộng vế với vế 3 BĐT cùng chiều trên ta có đpcm
0.5
0.5