ý nghĩa của công thức 1 ở chỗ trong khi tính tích phân ∫b a udv khó ta áp dụng 1 thì chỉ cần tính ∫b a vdu dễ hơn.. Chú ý: Một só dạng tích phân sử dụng phơng pháp tích phân từng phần: •
Trang 1Tích phân xác định
A – Một số phơng pháp tính tích phân
I – Tính tích phân bằng phơng pháp phân tích:
0
2
) 2
(x
xdx
∫2 + 0 2 3
2
x
dx x
∫6 0
3
sin
π
0sin cos sin π
x x
0
3
sin xdx x
dx
e x x
∫1 +
0 ∫21 x2(x+2)
dx
∫1 + 0
5
) 1
0
3
1
1
dx x
x x
0
sin 1 cos
π
dx x x
dx
x
x
x
∫2
0
5
3
4
1
2
31 )
x
x
x
1
5
ln
∫2 0
3 cos 2 sin cos
π
xdx x
0
2 2
cos
π
x xdx
∫2
0
5
π
xdx
1
3 x x
dx
∫3 + 6
sin 2 1 cos
π
π
dx x
x
∫4 + −
0 1 2cos5
7 cos 8
cos
π
dx x
x x
II – Tính tích phân bằng phơng pháp đổi biến:
a
dx x
f( )
+) Đặt x = ϕ(t), t ∈ [α;β]
+) Tính dx = ϕ(t)dt'
+) Đổi cận với ϕ(α) =a;ϕ(β) =b
+) Biểu diễn : ∫b
a
dx x
α
β α
ϕ
ϕt t dt g t dt
f( ( )) ' ( ) ( ) =G (t) α β = G(α ) - G(β)
+) Chú ý: Nếu biểu thức dới dấu tích phân có dạng:
2
; 2 [−π π
∈ hoặc x = acost, t ∈ [ 0 ; π ]
2
; 2 (−π π
∈
• a a+−x x Đặt x = acos2t, t ∈ [ 0 ;π)
t
cos
1
2 {
\]
;0 [ π π
∈
2
,
x a x a
+
2
; 2 (−π π
∈ Các ví dụ áp dụng:
∫1 −
0
2
0
2
0 2
1
0
x
0
x x
∫2 −
0
2
2 4 x dx
x a
x
a
∫0 2 + 2 2
3
)
0
1dx
e x
∫2 −
0 2 2
1
a
dx x a
a
dx x
f( )
+) Đặt t = U(x), U(x) có đạo hàm liên tục trên [a; b]
Trang 2quach tuan - THPT hong thai - 0914342498
+) Tính dt = U’(x)dx, biểu thị f(x)dx = g(t)dt
Đổi cận: x a b
t = U(x) U(a) U(b) +) Xác định nguyên hàm G(t) của g(t)
+) I = ∫b
a
dx x
f( ) = ∫(( )) ( )
b U
a U
dt t
g = G(U(b))- G(U(a))
Các ví dụ áp dụng:
∫3 ++
0
2
1
1dx
x
x
∫3 ++
03 3 1
1
dx x
0
2 3
5 ( 1 x ) dx x
∫
+
+
−
+
2 1 5
1
2 4
2
1
1
dx x
x
1 4
2
1
dx x
x
∫3 + +
0
1 1 t dt
0 3cos 1
sin 2 sin
π
dx x
x x
∫e + dx
x x
x
1 1 ln
ln
∫15 +
0 3 2
3
1 x dx x
III – Tính tích phân bằng phơng pháp tích phân từng phần:
+) Có d(uv) = (uv)’dx = vdu + udv, từ đó ∫ =∫ +∫b
a
b
a
b
a
udv vdu
uv
b a
b a
vdu a
b uv udv
(1)
Nhận xét: Để tính tích phân ∫b
a
dx x
f( ) cần phân tích f(x) = udv, cần chọn u(x), v(x) hợp lí ý nghĩa của
công thức (1) ở chỗ trong khi tính tích phân ∫b
a
udv khó ta áp dụng (1) thì chỉ cần tính ∫b
a vdu dễ hơn
Chú ý: Một só dạng tích phân sử dụng phơng pháp tích phân từng phần:
• P(x)lnx, P(x)eax, P(x)sinax, P(x)cosax, eaxcosax, eaxsinax
Các ví dụ áp dụng:
∫2
0
cos
π
dx
xe x ∫1 +
0
2 ) 1
0
2 cos x e x dx
∫
π
e
dx x
1
) cos(ln
∫1
0
2
x
∫3 −+
1
ln dx
x
x
0
2 ) 1
01 cos sin
π
dx x
x
2
0
sin
π
dx
0
3 sin
B - Một số dạng tích phân
I – Tích phân hàm số hữu tỉ:
Chú ý:+) ( 1)( ( 2))( 3) 1 2+ −3
−
+
−
=
−
−
C x
B x
A x
x x
x P
+) ( −1)2(() −2) = −1+( −1)2 +x−2
C x
B x
A x
x
x P
∫−
a buv b
Trang 3+) x x P ax x bx c x A x B ax C ax bx b c+ax +D bx+c
+ +
+ +
−
+
−
= + +
−
) 2 ( 2 1
) )(
2 )(
1 (
) (
(ax2 +bx+c= 0vô nghiệm)
Để tìm A, B, C, D có thể sử dụng hai phơng pháp: Đồng nhát thức và hằng số biến thiên
∫5 − −+
3
1
x x
x
∫b + +
a
dx b x a
(
1
∫1 ++ + 0
3
1
1dx
x
x
x
x x
∫1 +++ 0
2 3
1 1
∫1 +
0
3
2
)
1
3
x
0
2
2 ( 3 ) )
2 (
x
1
2008 2008
) 1
(
1
dx x
x
x
∫
+ +
−
0
1 2
2 3
2 3
9 9 6 2
dx x
x
x x x
∫3 − 2
2 2 4
) 1 (x dx x
∫1 + −
0
2
3
2
)
1
x
n
n
∫2 + − +
1
2 4
2
) 2 3 (
3
dx x
x
x
x
∫2 + 1
4) 1 (
1
dx x
0 2
4
0
4
2 ( 1 x) dx x
∫1 +
0
4
x
dx x x
∫2 − +
0
1
∫1 + 0
3
2 ) 1
x
∫4 − + 2
2
3 2
1
dx x x
1
3
) 1 2 ln(
dx x
x
∫32 3 −+ ++
2
2
3
3
3
3
dx x
x
x
x
∫21 +− 4
2
1
1
dx x
x
∫1 + 0 3
1
1
dx
0
6
4 5 6
1
2
dx x
x x x
∫1 +− 0 2
4
1
2
dx x
x
∫1 ++ 0 6
4
1
1
dx x x
=1
0
3
2 ( 1 x ) dx x
, (n ≥1), Tìm n n I
nlim→ +∞2
II – Tích phân hàm số lợng giác:
Chú ý: Dạng 1: ∫b
a
m
n x cos. xdx
sin
+) Nếu m và n cùng chẵn dơng dùng công thức hạ bậc +) Nếu m và n cùng chẵn âm đặt t = tgx hay t = cotgx +) Nếu m lẻ và dơng đặt t = sinx
+) Nếu n lẻ và dơng đặt t = cosx
Dạng 2: ∫b
a
dx x x
R(sin , cos ) ( R là hàm hữu tỉ) +) Nếu R(sinx, cosx)Bậc lẻ đối với sinx, chẵn đối với cosx đặt t = cosx +) Nếu R(sinx, cosx)Bậc lẻ đối với cosx, chẵn đối với sinx đặt t = sinx +) Nếu R(sinx, cosx)Có bậc sinx, cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ đặt t = tgx
Dạng 3: ∫β + +
α
dx c x b x
1
, ∫β ++ α
dx x b x a
x b x a
cos ' sin '
cos sin
,
β
α
dx c x b
x
a
c x b
x
a
' cos
'
sin
'
cos
sin
,
+) Nếu biểu thức dới dấu tích phân có dạng:
' cos ' sin '
1
c x b x
Đặt t = tg
2
x
, lúc đó sinx = 2
1
2
t
t
− , cosx = 2
2
1
1
t
t
+
−
+) Phân tích :
x b x a
x b x a
cos ' sin '
cos sin
+
+
=
x b x a
x b x a B A
cos ' sin '
) sin ' cos ' (
+
− +
Trang 4quach tuan - THPT hong thai - 0914342498
+)
' cos ' sin '
cos sin
c x b x a
c x b x a
+ +
+ +
=
' cos ' sin ' ' cos ' sin '
) sin ' cos ' (
c x b x a
C c
x b x a
x b x a B A
+ +
+ + +
− +
+)
x c x x b x
asin2 sin cos cos2
1 +
+ Chia c¶ tö vµ mÉu cho cos2x, §Æt t = tgx.
C¸c bµi tËp ¸p dông:
xdx
x 4 2
0
2 cos
sin
∫
π
∫2 0
3
2 cos sin
π
xdx
0
5
4 cos sin
π
0
3
3 cos ) (sin
π
dx x
0
4
4 cos )
(sin
2
cos
π
dx x x
0
2
2 sin cos cos ) sin
2 (
π
dx x x
x
0
4 4 10
10 cos cos sin ) (sin
π
dx x x x
x
∫2
3
sin
1
π
π
dx
0 2 sin 1
π
dx
0 2 cos
π
x
dx
∫2 + 0
2
3
cos 1 sin
π
dx x
6
4 cos sin
π
dx
0
2
2 2sin cos cos
sin
π
x x
x x
dx
∫2 +
01 cos cos
π
dx x
x
∫2 −
0 2 cos cos
π
dx x
x
∫2 +
0 2 sin sin
π
dx x x
∫2 +
0
3
cos
1
cos
π
dx
x
x
0 sin cos 1
1
π
dx x
3
2
) cos 1 ( cos
π
xdx
∫
+
−
2
2
3 cos 2 sin
1 cos sin
π
π
dx x x
x x
∫40 3
π
xdx
6
3
cot
π
4 4
π
π
xdx
01 1
π
dx
+
4
4 cos(
cos
π
π
x x dx
∫2 ++ ++
0 4sin 5cos 5
6 cos
7
sin
π
dx x x
x x
∫π +
2
0
sin
0 2sin 3cos 13
π
x x
dx
∫4 + 0
4
3
cos 1
sin 4
π
dx x x
∫2 + ++
0 sin cos
2 sin 2
cos
1
π
dx x x
x x
∫2 +
01 cos
3 sin
π
dx x
4
sin 2
sin
π
dx
∫4 0 2 3
cos sin
π
dx x
x
0
3
2 ) sin 1 ( 2 sin
π
dx x
0
sin
4
3
3 3
sin
sin sin
π
π
dx xtgx
x x
∫2 + +
01 sin cos
π
x x
dx
0 2sin2 2cos
2 sin π
x b x a
xdx
0 2sin 1
π
x
dx
∫2 +
0 1 cos2 cos π
x xdx
Trang 5∫4 ++
0 3 sin2
cos sin
π
dx x
x
4
5
3 sin cos π
π
xdx
x ∫4 +
0
2
cos 1
4 sin π
x
xdx ∫2 +
05sin 3
π
x
6
4 cos sin
π
dx
∫
+
3
6 sin(
sin
π
π x dx x π ∫
+
3
4 cos(
sin
π
x x
dx
∫3 4 6
2
cos sin
π
xdx
dx x
6 (
3
6
π
π
π
0
3
) cos (sin
sin 4 π
x x
xdx
∫
− +
0
2
2
) sin 2
(
2 sin
x
∫2 0
3
sin
π
dx
x ∫2
0
2cos
π
xdx
0
1 2
2 sin
π
dx e
x
x x
∫2 ++
01 cos
sin 1 π
∫4 +
6
2
cot
4
sin
3
sin
π
π
dx x g
tgx
x
x
0
2 5sin 6 sin
2 sin π
x x
xdx ∫12cos(lnx)dx ∫3
6
2
cos
) ln(sin
π
π
dx x x
dx x x
∫2 −
0
2
cos
)
1
2
(
π
∫
π
0
2
cos
0 2
π
xdx
0
2
e x
∫2 0
3 sin2 sin cos
π
xdx x
∫4 +
0
)
1
ln(
π
dx
tgx
∫4 +
0
2
) cos 2 (sin
π
x x
dx
∫2 + − − 0
2 ) cos 2 )(
sin 1 (
cos ) sin 1 (
π
dx x x
x x
III – Tích phân hàm số chứa căn thức:
∫b
a
dx x f x
Trong đó R(x, f(x)) có các dạng:
+) R(x,
x a
x a
+
− ) Đặt x = a cos2t, t ]
2
; 0
∈ +) R(x, a2 −x2 ) Đặt x = a sin t hoặc x = a cos t
+) R(x, n
d cx
b ax
+
+ ) Đặt t = n
d cx
b ax
+ +
+) R(x, f(x)) = (ax+b) αx2 + βx+ γ
1
Với (αx2 + βx+ γ)’ = k(ax+b) Khi đó đặt t = αx2 + βx+ γ, hoặc đặt t =
b
ax+
1
+) R(x, a2 +x2 ) Đặt x = a tgt , t ]
2
; 2
∈
+) R(x, x2 −a2 ) Đặt x =
x
a
2 {
\]
;0 [ π π
∈
Các bài tập áp dụng:
Trang 6quach tuan - THPT hong thai - 0914342498
2
5 x x2 4
3
2 x x2 1
dx
∫
2 1
2
1(2x 3) 4x2 12x 5
dx
1 x x3 1
dx
∫2 +
1
2 2008dx
1 x2 2008
dx
∫1 + 0
2
2 1 x dx
0
3
2 ) 1
∫3 ++
2
1
1
dx
x
x
x
∫2 +−
2
0 1
1
dx x
0 ( 1 x2)3
dx
∫2 −
2
0 (1 x2)3
0
2
∫2 −
2
2
1 x
dx x
∫2 +
0 7 cos2 cos π
x xdx
0
2
cos cos
sin
π
dx x x
0 2 cos2 cos π
x
xdx
∫2 + +
0 1 3cos
sin 2 sin
π
dx x
x
0 3 2
3
1 x
dx x
0
2
3 10 x dx
x
∫1 +
xdx
∫1 + +
3
1
x x
dx x
∫7 + +
2 2x 1 1
0
8
15 1 3
∫2 −
0
5
6 1 cos3 sin cos
π
xdx x
x
∫3 +
ln
0 e x 1
dx
∫
1
1 1 x x2 1
dx
∫2 +
ln
0
2
1
x
x e
dx
4 5
2 8 4
12x x dx
x
x x
1
ln ln 3 1
∫3 ++
3 5
x
4
0
2
−
+ +
0
1
3
2 1) (e x dx
x x
ln
2 ln
2
1 ln
ln
dx x x x
0
2
2
cos
3 2
cos
2
cos
π
dx x
tgx x
x
ln
0 ( x 1 )3
x e
dx e
∫3 +
0 2 cos2 cos π
x
xdx
∫2 +
0 1 cos2 cos π
x
x
x
∫7 ++
2
∫a x +a dx
2
0
2 2
IV – Tích phân hàm số chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:
∫b
a
dx x
f( )
Chú ý: +) Xét dấu hàm số f(x) trên [a, b], dụa vào bảng xét dấu ⇒ dấu của f(x)
+) Nếu f(x) = 0 vô nghiệm trên [a, b] thì ∫b
a
dx x
f ( ) = ∫b
a
dx x
f ( )
+) Nếu f(x) = 0 c0s các nghiệm x1, x2 trên [a, b] (x1, x2) thì:
∫b
a
dx x
f( ) = ∫1 ( )
x
a
dx x
f + ∫2
1
) (
x
x
dx x
f + x∫b f x dx
2
) ( = ∫1 ( )
x
a
dx x
f + ∫2
1
) (
x
x
dx x
∫b
x
dx
x
f
2
)
(
Trang 7Các bài tập áp dụng:
∫
−
− 3
3
0
2 4x 3dx
0
2 x dx
0
dx m x
−
2
2
sin
π
π
dx
x −∫π −
π
dx x
sin 1
6
2
2 cot 2
π
π
dx x g x
3
4
2 sin
π
π
dx
2
0
cos
−
−
− +
5
2
) 2 2
∫3 −
0
4
∫
−
−
3
2
3
cos cos
cos
π
π
dx x x
x
V - Một số tích phân đặc biệt - Đẳng thức tích phân:
−
a a
a
dx x f x f dx x f
0
)]
( ) ( [ )
(
Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên
[-2
3
; 2
3π π ] thỏa mãn f(x) + f(-x) =
x
2 cos 2
∫
−
2
3
2
3
)
(
π
π
dx
x
f
+) Tính ∫
− +
+
1
1
2
4
1
sin
dx x
x x
−
a
a dx x
f( ) = 0
Ví dụ: Tính: −∫1 + +
1
2) 1 ln(x x dx ∫
−
+ +
2
2
2) 1 ln(
cos π
π
dx x x
x
−
a
a dx x
f( ) = 2∫a f x dx
0
) (
Ví dụ: Tính −∫1 − +
1
2
4 x 1
x
dx x
+
−
a a
a
b
x f
0
) ( 1
) (
(1≠ b>0, ∀ a)
Ví dụ: Tính: ∫
− +
+ 3
3
2
2 1
1
dx
x
2
2
1
5 cos 3 sin sin π
π
dx e
x x x
x
Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0;
2
π ], thì ∫ =∫2
0
2
0
) (cos )
(sin
π π
dx x f x f
Trang 8quach tuan - THPT hong thai - 0914342498
Ví dụ: Tính ∫2 +
0
2009 2009
2009
cos sin
sin
π
dx x x
x
∫2 +
0 sin cos
sin
π
dx x x
x
0 0
) (sin 2
)
xf
Ví dụ: Tính ∫π +
0 1 sinx dx
x
∫ +
π
0 2 cos
x
x x
a
b
a
dx x f dx x b a
0 0
) ( )
(
Ví dụ: Tính ∫π +
0
2
cos 1
sin
dx x
x x
0
) 1 ln(
4 sin
π
dx tgx x
Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì:
a∫+T =∫T
a
dx x f dx x f
0
) ( )
0 0
) ( )
(
Ví dụ: Tính 2008∫π −
0
2 cos
Các bài tập áp dụng:
∫
− +
−
1
1
2
2 1
−
+
− +
−
4
4
4
3 5 7
cos
1 π
π
dx x
x x x x
∫
1
1
2) 1 )(
1
dx
− −
+
2
2
2
sin 4 cos π
π
dx x
x x
∫
−
2
1
2
1
) 1
1 ln(
2
x
x
2
0
2
2
5
cos 1 sin
π
π
dx x
x 1
) 1 ( 1
cot
1
2 1
+
+
e
tga
e
x x
dx x
xdx
(tga>0)
Vi – Bất đẳng thức tích phân:
a
b
a
dx x g dx x
b
a b
+) Nếu m f(x) ≤ ≤M thì m(b a) f(x)dx M(b a)
b
a
−
≤
≤
+) Để tìm miền giá trị của f(x) có thể sử dụng các BĐT hay phơng pháp hàm số
Các bài tập áp dụng:
8 2
1
0
2
π
<
+ +
−
−
< 2
1
2 4
6
π π
x x
−
<
< 2 1
4 2
−
< 2
1
0
2 ( 1, ) 6
1 2
1
N n n x
dx
n
π
∫ <
< 3
6
2
1 sin
4
3
π
π
dx x
x
4
4
1
0 1
1
2 ≥ +π
∫e +x dx
27
4 )
1 ( 0
1
0
−
4
3
1 cot
12 3 π
π
dx x gx
Trang 9−
≤
−
− +
≤11 7
108 )
11 7 ( 2
0
4
9
4 sin
53
62
xdx
+
≤ 2
0
2 10 cos
3 5 6
π
π π
x dx
−
≤ 2
1
0 1 2008 6
2
x
2
1
2
1
+ +
π
3 2 1 cos cos 3
3
x dx
200
1 cos
dx
x
x
Mét øng dông nhá cña tÝch ph©n:
![Chú ý:+) Xét dấu hàm số f(x) trên [a, b], dụa vào bảng xét dấu ⇒ dấu của f(x) +) Nếu f(x) = 0 vô nghiệm trên [a, b] thì ∫b - Tich Phan](https://123doc.top/img.php?url=https%3A%2F%2F123docz.net%2Fimage%2Fdoc_normal.png)