BÀI TOÁN CHIA TAM GIÁC VUÔNG CÂN

Lời giải tuyệt hay cho một bài toán khó về tam giác vuông cân dành tặng các bạn trẻ yêu thích Toán học, đặc biệt là các bạn học sinh khá và giỏi về Toán. Để biết thêm chi tiết về tác giả cũng như có thể tải thêm nhiều tài liệu hay hơn nữa về môn Toán từ cấp Tiểu học cho đến bậc Đại học, Sau Đại học bạn đọc vui lòng truy cập vào trang Web cá nhân của tác giả theo liên kết sau: https:toithichtoan.wordpress.com

CHIA TAM GIÁC VUÔNG CÂN

Trần Văn Cương

Toán học thật kỳ lạ! Có những bài toán thoạt nghe qua trông có vẻ thật đơn giản và đến một cậu bé học cấp hai, thậm chí là học tiểu học cũng có thể hiểu, nắm bắt và thuộc lòng ngay những gì bài toán yêu cầu nhưng để đi tìm một lời giải sơ cấp cho nó không phải là một chuyện dễ dàng chút nào

Có khi một bài toán được phát biểu hoàn toàn sơ cấp nhưng để giải được nó thì cần đến cả một hệ thống kiến thức rộng lớn của toán học cao cấp Điển hình nhất trong số đó có lẽ phải kể đến bài toán mà được giới toán học gọi là: "Định lý lớn Fermat" Và tất nhiên còn có rất nhiều bài toán được phát biểu một cách sơ cấp tương tự nhưng cho đến nay vẫn còn đang được bỏ ngõ và được giới các nhà Toán học xem như là những giả thuyết chờ được chứng minh Bài toán sau đây mà tôi tạm gọi là bài toán: "CHIA TAM GIÁC VUÔNG CÂN" được tác giả TRẦN QUỐC LUẬT đăng tải trên trang web: http://toantieuhoclh.violet.vn/entry/show/entry_id/10780156/cat_ id/7883531

của thầy LÊ TRỌNG CHÂU cũng là một bài toán được phát biểu hết sức

dễ hiểu nhưng đã làm đau đầu tôi trong việc đi tìm một lời giải hoàn toàn

sơ cấp cho nó

Bài toán: Ta chia một tam giác vuông cân thành các tam giác nhọn nhỏ, hỏi số lượng tam giác nhọn nhỏ tối thiểu là bao nhiêu?

Phân tích & lời giải Thực ra lúc ban đầu khi đọc xong cái đề bài và đi phân tích bằng hình vẽ tôi đã cho rằng bài toán không thể chia được qua

đó có lẽ sẽ đơn giản hơn bằng cách sử dụng các phương pháp NGUYÊN LÝ CỰC HẠN và NGUYÊN LÝ DIRICHLET Thế rồi theo dòng xô đẩy của cuộc sống và vì chuyện "cơm áo, gạo tiền" mà đã làm cho tôi lãng quên đi niềm đam mê, sáng tạo và sự tìm tòi về bài toán như cái thuở thời xưa ấy Cho đến hôm nay tôi mới có thời gian để nghiền ngẫm và xem lại bài toán một lần nữa để rồi tìm ra hướng giải cho bài toán

Hướng thứ nhất Cần tìm một TAM GIÁC NHỌN ĐẶC BIỆT sao cho có thể lấp đầy vừa vặn tam giác vuông cân đã cho bằng một số hữu hạn các tam giác nhọn đặc biệt hoặc các tam giác nhọn đồng dạng với tam giác giác nhọn đặc biệt này Hướng đi này sẽ hoàn toàn sơ cấp và có lẽ sẽ phù hợp hơn với học sinh tiểu học hay THCS vì chỉ cần sử dụng phương pháp diện tích tam giác Chỉ tiếc rằng để tìm ra được TAM GIÁC NHỌN ĐẶC BIỆT này không phải là chuyện đơn giản và hướng giải thứ nhất mà tôi nghĩ đến đã

bị đóng băng Tôi quyết định kiên trì mò mẫm theo hướng giải thứ hai dưới đây:

Hướng thứ hai Tôi sẽ chỉ ra một cách chia có quy luật và đi chứng minh

nó sẽ dừng lại sau một số lần chia đủ lớn

Cách chia có quy luật mà tôi muốn đề cập đến sẽ được mô tả như hình vẽ sau:

Lời giải

Giả sử tam giác vuông cân đã cho có cạnh bằng a (có thể coi a = 1cm) Với cách chia như mô tả trong hình, chúng ta có:

• Ở lần chia thứ nhất:Tam giác vuông cân đã cho được chia thành gồm:

3 tam giác nhọn đồng dạng (có số đo các góc lần lượt là 45◦; 67, 5◦; 67, 5◦) và

1 tam giác vuông cân có cạnh bằng 2 −

√ 2

√

2 − 1

√

2 .

• Ở lần chia thứ hai:Tam giác vuông cân đã cho được chia thành gồm: 6 tam giác nhọn đồng dạng (có số đo các góc lần lượt là 45◦; 67, 5◦; 67, 5◦) và

1 tam giác vuông cân có cạnh bằng 3 − 2

√ 2



√

2 − 1

√ 2

2

• Ở lần chia thứ ba:Tam giác vuông cân đã cho được chia thành gồm: 9 tam giác nhọn đồng dạng (có số đo các góc lần lượt là 45◦; 67, 5◦; 67, 5◦) và

1 tam giác vuông cân có cạnh bằng 10 − 7

√ 2



√

2 − 1

√ 2

3

• Ở lần chia thứ tư: Tam giác vuông cân đã cho được chia thành gồm:

12 tam giác nhọn đồng dạng (có số đo các góc lần lượt là 45◦; 67, 5◦; 67, 5◦)

và 1 tam giác vuông cân có cạnh bằng 17 − 12

√ 2



√

2 − 1

√ 2

4

Cứ tiếp tục như thế cho đến lần chia thứ n thì bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chỉ ra được:

• Ở lần chia thứ n:Tam giác vuông cân đã cho được chia thành gồm: 3n tam giác nhọn đồng dạng (có số đo các góc lần lượt là 45◦; 67, 5◦; 67, 5◦) và

1 tam giác vuông cân có cạnh bằng 

√

2 − 1

√ 2

n

Rõ ràng ta thấy: 0 < q =

√

2 − 1

√

1

√

2 < 1 nên limn→∞qn = 0, nghĩa là với n = N0 đủ lớn thì lúc đó chúng ta có thể coi tam giác vuông cân cạnh bằng 

√

2 − 1

√

2

n

quy về một điểm Lúc đó số cách chia tổi thiếu sẽ là 3N0