12 Bài toán chia đôi tam giac,tứ giác

I.- Chia đôi tam giác1/ Chia đôi tam giác qua 1 điểm tại đỉnh của tam giác Bài toán này quá đơn giản, chỉ việc chia đôi cạnh đối diện rồi nối trung điểm đó với đỉnh... 1/ Chia đôi tứ giá

I.- Chia đôi tam giác

1/ Chia đôi tam giác qua 1 điểm tại đỉnh của tam giác

Bài toán này quá đơn giản, chỉ việc chia đôi cạnh đối diện rồi nối trung điểm đó với đỉnh Vì 2 tam giác tạo ra có chung chiều cao mà 2 đáy bằng nhau

Đây lại là bước rất cơ bản để thực hiện các tình huống chia đôi các hình tam giác,

tứ giác phức tạp hơn

2/ Chia đôi tam giác qua 1 điểm trên cạnh của tam giac

Bài toán 1a

Cho hình tam giác ABC Trên cạnh AC lấy

điểm N sao cho NA<NC Tìm điểm M trên

BC để đoạn thẳng NM chia hình tam giác

ABC làm 2 phần có diện tích bằng nhau?

Giải

Cách 1: Lấy K là trung điểm của AC Nối BK.

Ta có SABK = SCBK và SABK = ½ SABC

Từ K kẻ KM// NB cắt BC tại M

Trong hình thang NBMK cặp tam giác NOK

và BOM có diện tích bằng nhau

(SNBK=SNBM ; SNOK=SNBK – SNBO ;

SBOM= SNBM – SNBO ==> SNOK=SBOM )

Tứ giác ABMN có:

SABMN = SABK + SBOM – SNOK

= SABK = S CBK = 1/2 SABC

 Vậy M chính là điểm cần tìm

Cách 2:

Lấy K là trung điểm cảu AB;

Kéo dài CA một đoạn A D cho CN =ND

Nối DB rồi kẻ AM//DB (M Є BC)

Nối NM  NM chia đôi ∆ABC

Chứng minh (tương tự cách 1)

∆1 bù ∆2 để S ∆NDM = Stứ gáic NMBA

Bài toán 1b

Cho hình tam giác ABC Trên cạnh AC lấy

điểm N sao cho NA> NC Tìm điểm M trên

BC để đoạn thẳng NM chia hình tam giác

ABC làm 2 phần có diện tích bằng nhau?

Giải:

Trường hợp này điểm M trên canh AB Cách

làm tương tự cách 1 Bài 1a ( có thể coi như

hình TG của bài này lật ngược TG bài 1a)

Bài toán 1c

Trường hợp tam giác cho là tam giác vuông

Điểm N nằm trên cạnh huyền hay cạnh góc vuông cũng làm tương

tự hai bài trên

II Chia đôi tứ gác

Định đề bổ sung:

1/ Hai đường chéo của hình thang cắt

nhau tạo ra các cặp tam giác có diện tích

bằng nhau

- Căp TG có đáy là 2 đáy của hình thang

và cùng chiều cao hình thang

S ∆ADC = S ∆BDC; [1]

S ∆DAB = S ∆CAB [2]

- Cặp TG có đáy là 2 cạnh bên hình thang

S ∆AID = S ∆BIC [3]

2/ Mọi tứ giác lồi đểu có thể chuyển thành 1 tam giác có cùng diện tích

Bài toán 2

Cho tứ giác lồi ABCD, Kẻ BC //AC (đường cheo tứ giác); Hãy chứng minh rằng

S ABCD = S∆AFD,

Vì Hình thang ABFC có BC và AF cắt nhau tạo ra 2 tam giác bằng nhau (theo [3] trên) đó là S∆ABE = S∆EFC

1/ Chia đôi tứ giác lồi qua 1 điểm trùng với 1 trong 4 đỉnh tứ giác

Bài toán 3

Từ đỉnh A của tứ giác lồi ABCD hãy vẽ một đoạn thẳng chia tứ giác đó thành 2 phần có diện tích bằng nhau

Giải

Bước 1: Nối AC

Có 3 trường hợp xảy ra:

-AC chia tứ giác làm 2 phần có

diện tích bằng nhau (AC là ĐA)

-SADC > SABC

-SADC < SABC (Xét trường hợp

này Trường hợp trên tương tự)

Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua D và song song với AC, cắt đường thẳng BC ở E

Bước 3: Lấy điểm M là trung điểm của BE.

Bước 4: Nối AM  AM là đoạn thẳng phải tìm

Chứng minh:

Đường chéo AE cắt DC tạo ra 2

tam giác có diện tích bằng nhau

SIAD = SIEC

SABE = S tứ giácABCD

AM chia đôi ∆ABE thì cũng chia

Bài toán 4 (Bài toán cổ)

Người cha để lại di chúc chia mảnh vườn hình tứ giác cho 2 người con: Mảnh vườn chia đôi thành 2 phần diện tích bằng nhau, mỗi người con nhận 1 phần còn

1 giếng nước ở góc vườn thì chung nhau Hỏi 2 người con phải chia như thế nào?

Giải : Cách chia ứng dụng như bài 3 trên

2/ Chia đôi tứ giác lồi qua 1 điểm nằm trên 1 trong 4 cạnh tứ giác Bài toán 5

Từ điểm M nằm trên cạnh AD (MA>MD) của tứ giác lồi ABCD hãy vẽ một đoạn thẳng chia tứ giác đó thành 2 phần có diện tích bằng nhau

Giải:

* Chuyển đổi tứ giác ABCD thành tam

giác ABE có cùng diện tich và cạnh

đáy AE ( tương tự bài 3 )

* Xác định MN chia đôi tam guác ABE

tượng tự như Bài 1(phần trên)

* Ta được MN là đoạn phải tìm

*Trường hợp M nằm trên AB (MB <MA)

Cũng làm tương tự trường hợp trên nhưng đổi tứ giác thành tam giác EAD

a/ Chia đôi hình chữ nhật, hình bình hành qua 1 trong 4 đỉnh của hình đó:

Điều này quá dễ, chỉ viếc nối với đinh đối diện

b/ Chia đôi hình chữ nhật qua 1 điểm tại 1 trong 4 cạnh:

Bài toán 6:

Cho hình chữ nhật ABCD, qua điểm M trên AB hãy xác định đường thảng qua

M chia đôi hình chữ nhật đó

Giải

Trên cạnh đối diiện và từ góc đối diện lấy

điểm N sao cho CN =AM

Nối MN ta có đường d thoả mãn

Chứng minh:

dễ dang thấy hai hình thang có diện tích

bằng nhau vì chung chiều cao, các cặp

đáy đã lây bằng nhau

Bài toán với hình bình hành cũng tương tự

c/ Chia đôi hình chữ nhật qua 1 điểm bên trong / bên ngoài hình chữ nhật

Bài toán 7:

Cho hình chữ nhật ABCD, qua điểm M nằm

trong hình chữ nhật, hãy xác định đường

thảng qua M chia đôi hình chữ nhật đó

Giải:

Từ M hạ ME AD và MF DC có hình chữ

nhật EMFD Tại góc đối diện B dựng hình

chữ nhật IBHN = EMFD

Nối M với N rồi kéo dài ta được đường

thẳng d phải tìm

* Chứng minh: Dễ dàng CM được 2 hình

thang tạo ra bởi đường thảng d có diện tiích

bằng nhau

* Trường hợp M bên ngoài hình chữ nhật

* Với hình bình hành,

Thực hiện tương tự trương hợp hình chữ nhật, nhưng tại 2 góc đối diện dựng 2 hình bình hành

3/ Chia đôi hình thang

a/ Chia đôi hình thang qua 1 điểm tại 1 trong 4 đỉnh:

Thực hiện như chia đôi tứ giác lồi

b/ Chia đôi hình thang qua 1 điểm trên1 trong 2 cạnh bên

Bài toán 8

Qua điểm M trên cạnh bên AD

của hình thang ABCD, hãy xác định

đểm N trên cạnh khác sao cho MN

chia hình thang thành 2 phần có diện

tích băng nhau

Giải:

phần trên

c/ Chia đôi hình thang qua 1 điểm trên1 trong 2 cạnh đáy

Bài toán 9

Qua điểm M trên cạnh đáy AB của hình thang ABCD, hãy xác định đểm N trên cạnh khác sao cho MN chia hình thang thành 2 phần có diện tích băng nhau

Giải:

Kéo dài DA và CB cho cắt nhau ở E;

Lấy điểm chính giữa DC là F ;

Nối EF, ta có SEDF = SEFC

Lấy O là điểm giữa của GF Nối và kéo dài

MO cho cắt DC ở N N là điểm phải tìm

Chứng minh:

Vì EF chia đôi tam giác EDC

SAGFD = SEDF – SEAG;

SGBCF = SEFC - SEGB

 SAGFC = SGBCF

2 tam giác giữa 2 đường song song OMG = ONF

 SAGFC - OMG = SGBCF - ONG

Vậy 2 hình thangAMND và MBCN có diên tích bằng nhau

* Trường hợp M nằm trên đáy lớn DC nếu MF<1/2AB thì cũng làm như trên

III.- Các Bài toán chia đôi tứ giác khó

( mời tham khảo và thử giải)

Bài toán 10

Cho hình thang ABCD (AB//CD); hãy chia đôi thành 2 hình thang có diện tích bằng nhau Áp dụng với trường hợp :

AB = 20 cm; DC = 50 cm; AH = 40 cm

G ợ i ý Giải:

Đặt AB = a; DC= b; AH = h

Giả sử có MN = m đã chia theo đầu bài,

ta có:

1/2 h1(a + m) = ½ h2(b + m)

h1/h2 = (b + m)/(a + m)

(h1 + h2)/h2 = (a + b + 2m)/(a + m)

Bài 11:

Cho hình thang ABCD hai đáy AB và CD

có độ dài lần lượt là a và b; đường cao

AH có độ dài là h Một đường thẳng d

song song với hai đáy và cắt các cạnh

bên tại M và N, chia hình thang thành hai

phần có diện tích bằng nhau Tính độ dài

MN theo a, b

Gợi ý:

Nối AC, xét tỉ lệ m/n

Áp dụng thêm định lí Tales

Bài 12

Ông bố có 1 mảnh vườn hình thang vuông

ABCD (kích thước như hình vẽ), trong vườn

tại 1/3 đường chéo AC có 1 giếng nước; Ông

dự dịnh chia đều cho 2 người con thành 2

phần bằng nhau cả về diện tich và chu vi, đồng thời 2 phần cùng dùng chung cái giếng đó

Bạn hãy giúp ông ta chỉ căng 1 đường thẳng mà chia đúng như ý định trên

Gợi ý Giải:

* Trước tiên, quy mảnh vườn về hình chữ nhật FBCE chia đôi hình chữ nhật Sau đó, lấy điểm G’ sao cho

G’H = GI  Lấy 1 đường thảng

qua G và G’ Đường thẳng này chia

đôi mảnh vườn thoả mãn yêu cầu

 Hãy chứng minh hai phần chia

trên đúng yêu cầu

 Sau khi chứng minh được 2 ý

trên, bạn có thể hướng dẫn ông

Bố đó cách chia thật đơn giản:

Lấy điểm N trên đáy dài cách C 2mét,

căng dây thẳng từ N qua G đến M

 MN là đường chia phải tìm

PHH chọn đề và biên soạn bài giải - 10/2015