Một chuyên đề hay và thú vị bàn về một số phương pháp tiếp cận, hướng giải quyết của các bài toán về bất đẳng thức, tìm GTNN, GTLN thường gặp trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, thi THPT Quốc gia hàng năm nhằm giúp các em học sinh ôn thi vào lớp 10, thi THPT Quốc gia, đặc biệt là ôn thi vào các trường chuyên, lớp chọn đạt điểm cao về môn Toán. Ngoài ra, để biết thêm nhiều thông tin về tác giả cũng như tải xuống nhiều tài liệu hay hơn nữa về môn Toán từ cấp Tiểu học cho đến bậc Đại học, Sau Đại học bạn đọc vui lòng truy cập vào trang Web cá nhân của tác giả theo liên kết sau: https:toithichtoan.wordpress.com
Trang 1điểm trong đề thi vào 10
Trần Văn Cương
♣ ♣ ♣ ♣ ♣
Trang 2Các em học sinh thân mến!
Thể theo nguyện vọng của một số đồng nghiệp cũng như các em học sinh trên khắp mọimiền tổ quốc qua tin nhắn facebook, fanpage và trao đổi thư từ điện tử thì hôm nay thầy
sẽ viết một chuyên đề ngắn (chỉ dừng ở mức độ của kiến thức THCS và rất cơ bản) để chia
sẻ một vài kỹ thuật nho nhỏ giúp các em có định hướng tốt và rõ ràng hơn trong việc tiếpcận câu 0.5 điểm (câu gần như khó nhất của đề cùng với ý cuối của bài hình) trong đề thituyển sinh vào lớp 10
Các em ạ!
Qua việc phân tích và tổng hợp các đề thi vào 10 (của hầu hết các tỉnh thành trên cảnước trong rất nhiều năm) thì thầy nhận thấy câu 0.5 điểm này thường chủ yếu rơi vàomột trong hai dạng bài toán sau:
Bởi có "muôn hình vạn trạng" kiểu bài toán xoay quanh hai dạng toán này, nên cách thứctiếp cận, "đường đi nước bước" để tìm lời giải cho chúng cũng vô cùng phong phú và "muônmàu muôn vẻ" không kém Tuy nhiên, với chỉ gói gọn trong một bài viết ngắn thế này thầykhông thể nào phác thảo đầy đủ tất cả các đặc trưng, tinh túy về hai dạng toán này màchỉ đề cập đến một số kỹ thuật tiêu biểu, thường gặp và có tính phổ quát sâu rộng sau đây:GTLN, chứng minh BĐT
1 Kỹ thuật sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai vào việc tìm GTNN, GTLN
Ý tưởng chính của kỹ thuật này chính là coi biểu thức cần tìm GTNN, GTLN như mộttham số đối với một phương trình bậc hai của biến x nào đó Từ đó dựa vào điều kiện cónghiệm của phương trình bậc hai biến x này, để đánh giá miền giá trị của biểu thức cầntìm GTNN, GTLN Các biểu thức thường được áp dụng đối với kỹ thuật này có dạng như:
Bài toán 1 Cho 0 x 1 Tìm GTNN của biểu thức
A x
1 x
4x
Trang 3Lời giải Ta biến đổi biểu thức đã cho (bằng cách quy đồng mẫu số) thành:
Để pq có nghiệm 0 x 1, thì trước hết nó phải có nghiệm, tức là ∆ ¥ 0 ô ApA 8q ¥
0ô A ¥ 8 (vì A ¡ 0)
Ta thấy khi A 8, thì phương trình pq là 9x2 12x 4 0, luôn có nghiệm x 2
3(TMĐK 0 x 1)
Vậy, GTNN của A là 8 khi x 2
3.Tản mạn một chút: Qua thực tiễn dạy học, thầy nhận thấy các em học sinh (kể cả các
em học khá giỏi) thường trình bày lan man và thừa thải không cần thiết khi cố gắng tìmthêm cả điều kiện để nghiệm của pq thỏa mãn 0 x 1 Điều này là không thực sự cầnthiết (không muốn nói là quá thừa thải), bởi vì như các em đã biết để tìm GTNN của biểuthức A, chúng ta trải qua hai bước:
Bước 1: Đi chứng minh A ¥ hằng số c nào đó
Bước 2: Đi chỉ ra A c xảy ra tại một giá trị nào đó của biến (thỏa mãn yêu cầu bàitoán)
Chỉ trong trường hợp nào mà khi xét A c, không tồn tại giá trị của biến (thỏa mãn yêucầu bài toán), thì lúc đó chúng ta mới tiếp tục đi xét ý thứ hai của lập luận trên, tức làtìm thêm điều kiện để nghiệm thỏa mãn 0 x 1 (và lẽ dĩ nhiên lúc này A c khôngcòn là GTNN của A nữa)
Để các em khỏi phân vân với điều vừa nhận định trên, chúng ta sẽ đi nghiên cứu mộtbài toán như sau:
Bài toán 2 Cho x, y là hai số thực thỏa mãn 0 x ¤ 2; 4 ¤ y 5 và x y 6 TìmGTNN của biểu thức
P 1x
1yLời giải Từ x y 6 ñ y 6 x, thế vào biểu thức đã cho và biến đổi ta được:
P 1x
1
6 x
66x x2
Trước hết, ta có nhận xét với điều kiện 0 x ¤ 2; 4 ¤ y 5, dễ dàng thấy ngay rằng
P ¡ 0 Coi P (P ¡ 0) như một tham số, khi đó tồn tại P nếu và chỉ nếu phương trình
P 66x x2
Trang 43 không phải làGTNN của biểu thức P Bởi vậy chỗ này thầy trình bày ở trong dấu ngoặc đơn để ngụ ýcác em phải làm bước này bên ngoài giấy nháp trước Nếu nó thỏa mãn thì tiếp tục trìnhbày như bài toán 1, còn nếu không thỏa mãn như ở bài toán này, thì chúng ta bỏ quakhông trình bày bước này vào trong bài làm, mà sẽ đi xét tiếp ý thứ hai của lập luận, đó
là nghiệm của pq thỏa mãn điều kiện 0 x ¤ 2 khi nào?)
P ¥ 23
P ¥ 23
x1x2 2px1 x2q 4 ¤ 0 ô
$''
P ¥ 236
P 8 ¤ 0 ô
$''
P ¥ 23
P ¥ 34
Vậy, GTNN của biểu thức P là 3
4, khi x 2 và y 4
Chú ý Vì chương trình lớp 9 hiện hành các em học sinh chỉ được học về phần so sánhnghiệm của một phương trình bậc hai so với số 0, nên ở bài toán trên chúng ta phải chuyểnviệc so sánh nghiệm của pq so với hai số 0 và 2 về thành đơn lẻ của việc so sánh nghiệmcủa pq đối với từng số 0 và 2
Bài toán 3 Cho a, b¡ 0, a b 1 Tìm GTNN của biểu thức:
S 1 1
a
1 1b
Lời giải Từ a, b¡ 0, a b 1 ñ 0 a, b 1 và b 1 a, thế vào biểu thức đã cho vàbiến đổi ta được:
Trang 5Trước hết, với điều kiện a, b ¡ 0, a b 1, chúng ta dễ dàng suy ra được S ¡ 1 Coi S(S ¡ 1) như là một tham số, khi đó tồn tại S khi và chỉ khi:
S a a2 2
a a2
có nghiệm 0 a 1 Nghĩa là:
Spa a2q a a2 2ôpS 1qa2 p1 Sqa 2 0 có nghiệm 0 a 1 pq
Để pq có nghiệm 0 a 1, thì trước hết nó phải có nghiệm, tức là
Lời giải Coi y (y ¥ x) như là một tham số Khi đó tồn tại y khi và chỉ khi:
y x a2p1 xq
có nghiệm 0¤ x ¤ 1 Suy ra:
y x a2p1 xqñpy xq2 2p1 xq
P px 1q1 2 p2 xq1 2 px 1qp2 xq1 Lời giải Ta biến đổi biểu thức đã cho dưới dạng:
px 1qp2 xq, t¥ 4 (vì theo BĐT Cauchy có 0 px1qp2xq ¤
px1q p2xq 2
2
1
4), khi đó P trở thành:
P t2 t
Trang 6Chúng ta sẽ chuyển bài toán tìm GTNN của biểu thức P về bài toán tìm điều kiện củatham số P để phương trình t2 t P 0 pq, có nghiệm thỏa mãn t ¥ 4.
Với điều kiện 1 x 2 và từ biểu thức xác định của P , chúng ta suy ra được P ¡ 0 Lúc
đó ac P 0, nên phương trình pq luôn có hai nghiệm trái dấu t1 0 t2, và thỏamãn hệ thức Viète: "
Tìm GTNN của biểu thức P px 1q4 px 3q4 6px 1q2px 3q2
Bài 2 (Câu V đề thi vào 10 năm 2015-2016 của TP Hà Nội)
Với hai số thực không âm a, b thỏa mãn a2 b2 4, tìm GTLN của biểu thức M ab
a b 2.Bài 3 (Câu V đề thi vào 10 năm 2016-2017 của TP Hà Nội)
Với các số thực x, y thỏa mãn x?x 6 ?y 6 y, tìm GTLN và GTNN của biểuthức P x y
Bài 4 Cho x, y là hai số thực thỏa mãn: px yq2 7px yq y2 10 0 Tìm GTLN,GTNN của biểu thức A x y 1
Bài 5 Tìm GTNN của biểu thức: P x4 2x2 2
x2 1 .Bài 6 Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x y 1 Hãy tìm GTNN của biểu thức
A 1
x2 y2
1
xy.Bài 7 Tìm GTNN của biểu thức y x2 x 1
x2 2x 2Bài 8 Tìm GTNN, GTLN của biểu thức P 2x2 xy y2, với x, y thỏa mãn điều kiện
x2 2xy 3y2 4
Bài 9 (Đề thi vào 10 năm 2013-2014 của tỉnh Đăk Lăk)
Cho các số thực x, y thỏa mãn x 3y 5 Tìm GTNN của biểu thức A x2 y2 16y 2x.Bài 10 (Đề thi vào 10 năm 2016-2017 của tỉnh Đăk Lăk)
Tìm GTNN của biểu thức A 4x2 9x 18
?
x 94x?
x 4x
4x?
x 4x4x2 9x 18?
x 9, với x¡ 0
2 Kỹ thuật chọn hệ số giải sau trong chứng minh BĐT, tìm GTNN, GTLN
Trang 7Vì mức độ của đề thi vào 10 ở dạng bài toán này chủ yếu xoay quanh việc sử dụng cácBĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân (thường quen được gọi là BĐT Cauchy hayBĐT AM-GM) cho 2 hay 3 số và BĐT Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky (thường quen đượcgọi là BĐT Bunyakovsky) cho 2 bộ gồm 2 số hay 3 số Nên ở trong bài viết ngắn này thầy
sẽ chỉ vận dụng kỹ thuật nói trên để đi giải quyết các bài toán được chọn lọc từ các đề thivào 10 tiêu biểu (chủ yếu được lấy từ đề thi vào 10 của TP Hà Nội)
Trước khi đi vào tìm hiểu mục này thì thầy sẽ nhắc qua một số thuật ngữ, khái niệm
cơ bản cũng như các BĐT Cauchy, BĐT Bunyakovsky để các em có thể hiểu và nắm bắtvấn đề được nhanh hơn
và nếu ta hoán đổi vị trí giữa các biến với nhau thì điều kiện đó vẫn không thay đổi
Ví dụ: Điều kiện x ¡ 0, y ¡ 0, hay điều kiện x ¡ 1, y ¡ 1, x2 y2 ¤ 4, hay điều kiện
x2 y2 xy 1, đều là các điều kiện đối xứng
biểu thức) có vai trò bình đẳng giữa các biến và nếu ta hoán đổi vị trí giữa các biến vớinhau thì hàm số (phương trình, biểu thức) đó vẫn không thay đổi Một cách cụ thể:
fpx, yq đối xứng đối với x, y nếu các biến x, y có vai trò bình đẳng trong fpx, yq và
Ví dụ: Phương trình đối xứng x2 y2 1, hàm số đối xứng fpx, yq x3 x2y xy2 y3,biểu thức đối xứng x4 y4 ¤ 1,
a ¥ 3
Trang 8Chú ý Trong một bài toán có xuất hiện các yếu tố có tổng (hoặc tích) không đổi thì chúng
ta thường nghĩ ngay đến việc áp dụng BĐT Cauchy
@a, b, x, y P R ñ pa2 b2qpx2 y2q ¥ pax byq2 Dấu "=" xảy ra ô a : b x : y
bậc của các biến đơn lẻ ở phần kết luận và ở phần giả thiết hơn kém nhau hai lần, hoặc
là xuất hiện các tổng bình phương không đổi thì chúng ta thường nghĩ đến việc áp dụngBĐT Bunyakovsky
tìm GTNN, GTLN thì chúng ta thường dự đoán trước xem dấu "=" xảy ra khi nào, để từ
đó có hướng giải phù hợp cho bài toán Với chú ý rằng, nếu các biểu thức ở trong phần giảthiết và kết luận đều có tính đối xứng đối với các biến, thì thông thường dấu đẳng thứcxảy ra khi tất cả các biến bằng nhau
dự đoán dấu "=" xảy ra là vô cùng khó khăn, khi đó chúng ta sẽ nghĩ ngay đến việc vậndụng "KỸ THUẬT CHỌN HỆ SỐ GIẢI SAU" để cân bằng đẳng thức
Trước khi đi vào các ví dụ minh họa cụ thể, chúng ta cần chú ý rằng BĐT Bunyakovsky
có thể được dẫn xuất từ BĐT Cauchy Bởi lẽ vậy, đối với bất kỳ bài toán nào giải đượcbằng cách vận dụng BĐT Bunyakovsky thì nó cũng có thể giải được bằng cách vận dụngBĐT Cauchy (chỉ có điều là có thể cách giải sẽ dài và phức tạp hơn chút ít mà thôi) Do
đó, trong hầu hết các bài toán về BĐT, tìm GTNN, GTLN của đề thi vào 10 đều có thểchỉ cần vận dụng BĐT Cauchy là sẽ giải được chúng Để minh chứng cho nhận định nàychúng ta sẽ lần lượt đi vào nghiên cứu một số bài toán tiêu biểu sau đây:
Bài toán 1 (Câu V đề thi vào 10 năm 2005-2006 của TP Hà Nội)
Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x y 2 Chứng minh: x2y2px2 y2q ¤ 2Phân tích Trước hết ta nhận dạng vế trái của biểu thức cần chứng minh và có nhận xét:
Biểu thức ở điều kiện và ở kết luận của bài toán là có tính đối xứng nên dấu bằngxảy ra tại x y 1
Nếu giữ nguyên các biểu thức của vế trái là pxyq2, x2 y2 và đi đánh giá chúng thôngqua giả thiết x y 2, thì chúng ta chỉ thu được các BĐT trái chiều và không thể đi đếnkết quả cuối cùng như mong đợi Bởi vậy, khi gặp một bài toán có tình huống kiểu này thìđiều đầu tiên là chúng ta sẽ đi biến đổi biểu thức cho đánh giá trái chiều (đối với giả thiết),
mà cụ thể ở đây là biểu thức x2 y2 Thật vậy, ta có:
Trang 9Ta nhận thấy 3 đại lượng (xy)+(xy)+(4-2xy)=4 (không đổi) nên nghĩ ngay đến việc ápdụng BĐT Cauchy Tuy nhiên, nếu chúng ta áp dụng trực tiếp BĐT Cauchy cho 3 số là(xy), (xy) và (4-2xy) thì lúc đó dấu "=" xảy ra tại xy 4 2xy ô xy 4
3, không trùngkhớp với dự đoán dấu "=" xảy ra lúc ban đầu của ta là x y 1 Những lúc như thế nàychúng ta cần đến "ngọn đuốc soi đường" của "KỸ THUẬT CHỌN HỆ SỐ GIẢI SAU" đểcân bằng đẳng thức xảy ra Ta sẽ đưa vào hệ số giải sau k sao cho:
Để tìm k, ta thường đi xét điều kiện của dấu "=" xảy ra:
chúng ta dự đoán được trước dấu "=" xảy ra tại x y 1, nên dễ dàng tính được ngay
k 2 (TMĐK k ¡ 1) Từ đó, ta có lời giải cho bài toán như sau:
Lời giải Ta có:
A x2y2px2 y2q pxyq2
px yq2 2xy pxyq2p4 2xyq 1
4p2xyqp2xyqp4 2xyq p1q
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương p2xyq, p2xyq và p4 2xyq ta được
p2xyqp2xyqp4 2xyq ¤p2xyq p2xyq p4 2xyq
3
2 Đó là đpcm
Chúng ta sẽ quay trở lại với bài toán 1 ở trong mục 1, nhưng lần này hãy thử vận dụngBĐT Cauchy qua lăng kính của "KỸ THUẬT CHỌN HỆ SỐ GIẢI SAU" để xem điều kỳdiệu gì sẽ đến nhé!
Bài toán 2 Cho 0 x 1 Tìm GTNN của biểu thức
A x
1 x
4xPhân tích Thông thường khi gặp các biểu thức chứa phân thức mà trong đầu vẫn mônglung và không biết đi đâu về đâu trong việc định hình hướng giải thì chúng ta cứ mạnhdạn biến đổi biểu thức ấy theo một trong hai hướng chủ đạo sau:
Trang 10bé hơn bậc của mẫu).
Hướng quy đồng mẫu số và đơn giản biểu thức đã "chỉ đường dẫn lối" cho chúng ta đếnvới "kỹ thuật sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai" Vậy liệu hướng táchcác phân thức và đưa chúng về dạng chính quy sẽ giúp ích chúng ta được gì?
để việc vận dụng BĐT Cauchy được "xuôi chèo mát mái" Cụ thể, trong bài toán này nếuchúng ta giữ nguyên các đại lượng 1
1 x,
4
x thì không nhìn thấy mối liên hệ nào về tổng(tích) không đổi giữa chúng Bởi lẽ vậy, chúng ta sẽ cố gắng tạo ra các đại lượng mới (cótổng không đổi) để chúng cùng với các đại lượng đã cho xuất hiện các cặp có tổng (tích)không đổi Từ lối tư duy đó, ta có thể tạo ra được các cặpp 1
1 x; 1 xq và p
4
x; xq có tíchkhông đổi, mà hơn nữa tổng của cặp mới tạo ra làp1xq x 1 (không đổi) thỏa mãn với
ý đồ và mong muốn của chúng ta Như vậy là đến đây chúng ta đã hoàn thành được mộtcông việc tưởng chừng rất đơn giản nhưng không hề đơn giản chút nào Bởi một khi chúng
ta đã đi được một nửa chặng đường gian truân nhất, khó khăn nhất rồi, được nếm trải đủmọi "hương hoa mật đắng" rồi (vạn sự luôn khởi đầu nan) đó là định hình nên hướng giảiđúng thì không có lý do gì có thể cản bước chúng ta hoàn thành nửa chặng đường còn lại
để giải quyết trọn vẹn bài toán Và như một lẽ tự nhiên, công việc bây giờ của chúng ta
là đi áp dụng BĐT Cauchy Tuy nhiên, nếu chúng ta cứ thế mà trực tiếp vận dụng BĐTCauchy cho các cặp có tích (không đổi) làp 1
1 x; 1 xq và p
4
x; xq luôn thì điều gì sẽ xảy
ra tiếp theo nhé! Lúc đó, dấu bằng xảy ra khi 1
HỆ SỐ GIẢI SAU" lại trở thành cứu cánh của chúng ta Nào! Bây giờ, chúng ta thử đưavào hệ số giải sau k¡ 0 sao cho:
1 x kp1 xq 2
?k
Trang 11Chúng ta đi đến lời giải cho bài toán:
Lời giải Ta biến đổi biểu thức A thành:
1 x 9p1 xq 69x 4
x ¥ 2
c9x 4
x 12
Từ đó suy ra A¥ 6 12 10 8
Dấu "=" xảy ra ô
$''
1
1 x 9p1 xq9x 4
SỐ GIẢI SAU" như thế này sớm hơn thì có phải là kỳ diệu không??? ) Nhưng các em ạ!
Cả một cánh đồng màu mỡ và tươi đẹp hơn của "KỸ THUẬT CHỌN HỆ SỐ GIẢI SAU"vẫn còn mênh mông và bao la ở phía trước Bởi lẽ, cả hai bài toán trên đều được vận dụngBĐT Cauchy qua lăng kính của "KỸ THUẬT CHỌN HỆ SỐ GIẢI SAU" Vậy, liệu có baogiờ các em sẽ tự thắc mắc là đối với các bài toán không vận dụng được BĐT Cauchy thì
"KỸ THUẬT CHỌN HỆ SỐ GIẢI SAU" có còn thực sự "linh nghiệm" nữa hay không???
Đó cũng là thông điệp mà thầy muốn truyền tải đến với các em và mong muốn các em sẽluôn tự đặt ra những thắc mắc, nghi ngờ của mình khi đọc một cuốn sách toán, một chuyên
đề về toán (chẳng hạn ngay với chuyên đề này của thầy) hay một bài toán nào đó Và các
em cũng nên nhớ là đừng có bao giờ thỏa mãn và dừng "suy nghĩ" lại ở việc chỉ giải xongmột bài toán Nếu các em cứ mang trong mình "tâm tưởng" của lối tư duy học toán theophương châm "luôn luôn thắc mắc, luôn luôn nghi ngờ" thì các em sẽ cùng thầy đến với
"khu vườn mộng mơ" của "KỸ THUẬT CHỌN HỆ SỐ GIẢI SAU" qua bài toán dưới đây:Bài toán 3 (Câu V đề thi vào 10 năm 2015-2016 của tỉnh Hà Tĩnh)
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x2 y2 z2 1
Tìm GTNN của P xy 2yz zx
Phân tích Đây là một trong những ngoại lệ hiếm hoi thuộc dạng toán "Tìm GTNN,GTLN, chứng minh BĐT" của đề thi vào 10 mà việc vận dụng BĐT Cauchy không cònhiệu quả Bởi lẽ bậc của các đơn thức riêng lẽ biến a, b, c ở trong biểu thức P của phầnkết luận nhỏ hơn bậc của các đơn thức riêng lẽ biến a, b, c ở trong biểu thức của phần giảthiết Nên nếu áp dụng BĐT Cauchy thì chúng ta luôn thu được một BĐT có chiều "¤"(đối với giả thiết) Mà với yêu cầu của bài toán đặt ra chúng ta cần phải có đánh giá BĐTtheo chiều "¥" (đối với giả thiết) Đấy! Các em thấy không, mặc dù BĐT Cauchy có thểnói là rất mạnh và có ứng dụng rộng rãi trong hầu hết các bài toán thuộc dạng toán "TìmGTNN, GTLN, chứng minh BĐT" của đề thi vào 10 (hàng năm) Nhưng thỉnh thoảng vẫn
có những ngoại lệ về cách ra đề của từng năm, từng tỉnh thành trên cả nước mà việc vận