Quy tắc cộng: Nếu có m cách chọn đối tượng x, n cách chọn đối tượng y, và nếu cách chọn đối tượng x không trùng với bất kỳ cách chọn đối tượng y nào, thì có m + n cách chọn một trong cá
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 6: Đại số tổ hợp.
1 Quy tắc cộng:
Nếu có m cách chọn đối tượng x, n cách chọn đối tượng y, và nếu cách chọn đối tượng x không trùng với bất kỳ cách chọn đối tượng y nào, thì có (m + n) cách chọn một trong các đối tượng đã cho
2 Quy tắc nhân:
Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1, sau đó với mỗi cách chọn x1 có m2 cách chọn đối tượng x2, sau đó với mỗi cách chọn x1, x2 như thế có m3 cách chọn đối tượng x3,…, cuối cùng với mỗi cách chọn x1, x2, x3,…, xn-1 như thế có mn cách chọn đối tượng xn, thì có tất cả m1.m2…mn cách chọn dãy x1, x2,…, xn
* Cách phát biểu ngắn gọn quy tắc nhân:
Nếu một phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp, bước 1 có m1 cách, bước 2 có m2 cách,…, bước n có mn cách, thì phép chọn đó được thực hiện theo m1.m2…
mn cách khác nhau
3 Hoán vị:
3.1 Định nghĩa:
Cho tập hợp A, gồm n phần tử (n 1) Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó
3.2 Số hoán vị của n phần tử:
Số hoán vị của n phần tử được cho bởi công thức:
P n = n = n.(n - 1)…3.2.1.
4 Chỉnh hợp:
4.1 Định nghĩa:
Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi bộ gồm k (1 k n) phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A
4.2 Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được cho bởi công thức:
) ) (
(n 1 n k 1 n
A n k
hay A n k (n n!k)!
5 Tổ hợp:
5.1 Định nghĩa:
Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi tập con gồm k (0 k n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A
5.2 Số các tổ hợp chập k của n phần tử:
Số các tổ hợp chập k của n phần tử được cho bởi công thức:
)!
(
!
k n k
n
C n k
5.3 Các hệ thức giữa các số k
n
C :
5.3.1 n k
n
k
n C
Trang 25.3.2 k
n k
1 n 1 k 1
C
6 Nhị thức Newton:
6.1 Nhị thức Newton:
(a + b)n = 0
n
C an + C n 1an - 1b +…+ C n kan - kbk +…+C n n bn
6.2 Các tính chất:
6.2.1 Số các số hạng của công thức bằng n +1.
6.2.2 Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhj thức
((n - k) + k = n)
6.2.3 Số hạng tổng quát có dạng:
Tk + 1 = k
n
C an - kbk (k = 0, 1, 2,…, n) 6.2.4 Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu và cuối bằng nhau vì
k
n
n
k
n C