Trường THPT U Minh-Tổ ToánCác bạn thân mến trong chương trình Toán Phổ thông Phần Giải Tích Tổ Hợp được trình bày ở chương trình lớp 11 với thời lượng lý thuyết+bài tập Ban cơ bản: 8 ti
Trang 1Trường THPT U Minh-Tổ Toán
Các bạn thân mến trong chương trình Toán Phổ thông Phần Giải Tích Tổ Hợp được trình bày ở chương trình lớp 11 với thời lượng lý
thuyết+bài tập Ban cơ bản: 8 tiết, Ban KHTN: 9 tiết; kiến thức được trình bày hết sức cơ bản, bài tập rất đơn giản Với những kiến thức trình bày trong sách giáo khoa chưa đủ để các em học sinh tham gia các kỳ thi Quốc gia Để giúp các em có thêm tư liệu ôn thi tốt, bằng kinh nghiệm của mình, tham khảo các đề thi Đại học, đề thi Olimpic Toán 30-4, tạp chí Toán học tuổi trẻ, và một số sách tham khảo khác, tôi đã biên tập và đưa ra tài liệu này
Mong rằng tài liệu hỗ trợ tốt cho các em học sinh trong các kỳ thi Quốc gia.
Do kiến thức có hạn không tránh khỏi sai sót, xin các bạn đồng
nghiệp và các em học sinh bỏ qua hoặc góp ý theo địa chỉ Email:
thaydinhum@yahoo.com Xin cám ơn.
n
A k n
n
C k n
n
b a C b
k
k k n
x x
0 2
n
x x
0 2 2
Trang 2Trường THPT U Minh-Tổ Toán
2
k
k k n
x x
2
k
k k k
n
x x
n x C x
g x f x
h
0
2 2 2 1
1 1
2
) ( ) ( )
C x
g x f x
h
0
2 2 1 2 2
2 2
2
) ( ) ( )
C x
g x f x
p
0
1 2 1 2 2 1
1 1
2
) ( ) ( )
(
5 Các công thức thường dùng:
k n n
k n
n n n n
n
0 )
1 (
2 1
0 − + − + − n =
n
n n
n
2 2 2
k n
k
3 3 3
2
1 3
n
k n
k n
k n
k
1 1
n
C
S = 1 2 2 + 2 3 3 + 3 4 4 + + ( − 1 ) với n∈N và n>2 (THTT-12-2008-Tr 14)
1
) 1 (
1 ( − = − k−−
n
k
kC k
2
2 1
1 1
0 1
4 3
2
2 ) 1 (
) 1 (
) 1 (
4 3
3 2
2 1
+
=
n n
n n
n n
n n n
n n
n n C
C C
C n
n
C n n C
C C
S
n n
n n
n n
n
x C x
C x C x C x C C
n n
C x
g x f
x
p
0
1 2 1 2 1 2 2
2
2
2
) ( ) (
)
(
Trang 3Trường THPT U Minh-Tổ Toán
)1(
4.33
.22
.11
)
1
n n
n n
n
x C n
n x
C x
C C
x n
n
Thay x= 1 ta có kết quả.
n n
n
C
S = 1 2 3 3 + 2 3 4 4 + 3 4 5 5 + ( − 2 )( − 1 ) Tr14)
k
3 3
2 2
2 2
1
) 1 )(
k n
k
C k
1 3
0
) 2 )(
1
n n
n
C n
n n S
* Ngoài ra ta có thể sử dụng đạo hàm để tính
Nhân xét Qua hai bài toán trên, nếu các hạng tử trong tổng có dạng : 1.2.3…k k
n
C thì hoặc sử dụng đạo hàm, hoặc sử dụng công thức (7).
n n
n
n C
C C
S
1
1
3
1 2
1 1
+ + + + +
k n
k
k
C n C
n C
k
1
1 1
1 )
1 ( )
1
1
1 1
+
= +
⇔ +
=
+
+ +
1
1 1
1
1
1 1
1 1
1
3
1 2
1 1
1
2 1
1 1 2
1
+
= +
+ + +
+ +
= + + + + +
+ +
n
n n n
n n
n
C n
C n
C n
C n C
C C
S
• Sử dụng tích phân:
n n
n n
n n
n n
n n
x
4 4 3 3 2 2 1
( 1
(
n n n n
n n
n
t n
x C n x
C x
C x
C x C x
4 3 3
2 2
1 0
0
1
1
1
4
1 3
1 2
1 1
+ +
= +
+
+
n n
n n
n n
t C n t
C t
C t
C t C t
1
4
1 3
1 2
1 1
.
1
1 1 0 1 2 2 3 3 4
+ + + +
+ +
= +
C C
C
) 2 )(
1 (
1
4 3
1
3 2
1
2 1
+ +
+ + +
1
) 1 (
+
+
= +
k n
k
n C
k
Trang 4Trường THPT U Minh-Tổ Toán
1 1
1
) 2 (
1 ) 1 (
1
) 1 (
1 ) 2 (
1
) 1 )(
2 (
1
) 2 )(
= +
+
= +
+
k n
k n
k n
k
k n
C n
k
C k
k
C k
k
2 2 ) 2 (
1
n
C n
n
2
4 2
3 2
2
) 2 )(
1 (
+ +
+
+ +
n n
n
C n
n S
=
) 2 )(
1 (
1 2
) 2 )(
+ +
==
−
− +
+
+ +
n n
C C
n n
n n
n
* Ngoài ra có thể sử dụng tích phân để tính
n n
n C
C C
) 3 )(
2 )(
1 (
1
5 4 3
1
4 3 2
1
3 2 1
+ +
+ + + +
3 )(
2 (
1 1
1 ) 3 )(
2 (
1 )
3 )(
2 )(
1 (
+
+ + +
+
= +
+ +
k n
k n
k
n k k
C k k
k
C k k k
3 3
2 2
1
) 3 )(
2 )(
1 (
1
2
1 ) 3 )(
1 (
1
2
1 ) 3
+ + = + + + = + + +
+ +
+
n
k n
k
n n n
C n k
n
C k k
n
3
4 3
3
) 3 )(
2 )(
1 (
+ +
+ +
+
n n
C n
n n
S
( ) 22( 1)( 27)( 143)
2 ) 3 )(
1 3
0 3
3
+ + +
+
+
n n n
n n C
C C n
n
n
n n
n n n
• Ngoài ra có thể sử dụng tích phân để tính
l k k
k
k( 1 )( 2 ) ( ).
1
+ +
đến việc sử dụng tích phân để tính, hoặc sử dụng công thức (7)
Bài 6 Cho n là số nguyên dương Tính tổng
n n
n n
n n
n C
C C
C
1
1 2
4
1 2 3
1 2 2
1
3
4 2
3 1
2
0
+
− +
+ +
− + +
− +
n n
n
x C x
C x C C
0 2
1
)
(
n n
n n n
+
1
2 3
1
1 2
4
1 2 3
1 2 2
1
3
4 2
3 1
− +
+
− + +
− +
−
n
C n
C C
C C
n n
n n
n n
n n
n
Trang 4 HOANG KIM DINH
Trang 5Trường THPT U Minh-Tổ Toán
n
n n n
n
n
a b C
a b C a b C a b S
1
3 2
1 1 2
3 3 1 2 2 0
+
− + +
− +
− +
−
Hãy tính =∫b
a dx x p
S ( ) với p(x)=(1+x) n , sau đó chọn a, b thích hợp với đề bài, trong bài toán trên ta chọn b=2, a=1 Thường lấy cận a=0, b=1;
Trong một số trường hợp xét p(x)=k(1+x) n , với k=1,2,
n n
n
k n
k n
k n
0 1
2 2
1 2
0
)[
1 ( − − + − + + −− + − + − + + −−
n n
n
n n n
C n
n
=n(n-1)2n-2+n2n-1
Bài 8 Tính tổng S =C n0 − 2 C n1 + 3 C n2 − + ( − 1 )n(n+ 1 )C n n
Hướng dẫn Xét đa thức : P(x)=x.(1+x) n , ta có :
1 3
2 2 1
)
n n
n n
n n
2 4 2
2 2 0
2
2 = + 3 + 5 + + ( 2 + 1 )
1 2 2 1 2 5
2 5 3
2 3 1
2
3 = 2 + 4 + 6 + + 2 − n−
n
n n
6 2012
4 2012
2 2012
0 2012
5 2012
3 2012
1 2012
2012 2012
2010 2012
2008 2012
6 2012
4 2012
2 ( ] 1 [
Trang 6Trường THPT U Minh-Tổ Toán
Từ (1) và (2) ta có S7=0
Nhận xét
Từ bài toán trên ta suy ra
2006 2011
2012
2009 2012
7 2012
5 2012
3 2012
1
2012
8 =C −C +C −C − +C −C = − 2
S
2 Bài toán chứng minh hệ thức:
Bài 1 Chứng minh rằng với mọi số nguyên k và n thỏa mãn điều kiện n≥k≥2 ta luôn
3 2
1 2
2 2
2 2
0
2 + + + = + + + n−
n n
n
n n n
C
b) Với n, k là số nguyên sao cho 4≤k≤n, chứng minh rằng :
k n
k n
k n
k n
k n
n
n n
n n
Hệ số của x2n trong khai triển (1+x)2n là 2
2n C
Bài 4 Chứng minh rằng
1 2
1 2 2
1
6
1 4
1 2
1 2 2
5 2
3 2
1
−
= +
+ +
n
C n C
C C
n n
n n
n n n
n n
n
x C x
C x
C x C C
2 2
2 2 2
2 2
1 2
0 2 2
n n
n n n
n n n
x C x
C x
C x C C
2 1 2 1 2 2 2
2 2
1 2
0 2 2
Suy ra : (1+x) 2n -(1-x) 2n = 2 ( 2 1 2 1 )
2 5
5 2 3 3 2
1
n n
5 2 3 3 2
1 2
2 2
n n
n n
x C x
C x C x C x
5 2 3 3 2
1 2 1
0
2 2
)
( 2
1
1
dx x C x
C x C x C dx x
n n
n n
n n
) 1 2 (
1 2
2 ) 1 2 ( 2 1 1
2 1
2
2 1
2 1
0
1
0 2(2 1)
1)
=
− +
=
+ +
+
+
+
−+
n n
n n
n
x n
x
và tính tích phân vế phải ta được điều phải chứng minh.
Trang 6 HOANG KIM DINH
Trang 7Trường THPT U Minh-Tổ Toán
Lưu ý Có thể giải bằng áp dụng công thức k
n
k n
k n
k
k
C n C n C
k
1
1 1
1 )
1 ( )
với k=1,2, ,n ta được:
1 2
1 1
1 2
1
6
1 3
1
2
1
2 2
1 2
4 1 2
2 1 2
0
1
2
2 1 2
4 1 2
2 1 2 1
2 2
5 2
=
− +
+ +
+ +
=
+ + +
+
= +
+ +
+
+ +
+ +
+ +
+
−
n n
n n
n n
n n n
n
n n n
n
n
n C
C C
C
n
C C
C n
C n C
k
C n
2
1
1 1 1
+
+ + +
(n, k là số nguyên dương, k≤n)
(ĐH-B-2008).
Hướng dẫn Biến đổi vế trái
k n
k n
k
n
C n
k n k k
k n
n
k n
k
n
n
k n k
k n
k n
n C
1 ( ) 1 [(
)!
( )!
1 ( )!
1 ( 2
1 1
1
2
1
1 1 1
=
−
= + +
− +
− +
+
−
+ +
+
+ + +
Bài 6 Chứng minh rằng 2! ( 11)!+( −12)!
−
=
n n
n
n
(PPGT-GTTH-Tr30)Hướng dẫn
Cách 1 : Sử dụng các phép biến đổi giai thừa
n n n
n
n n
−
−
− +
n n
n n
1000 2001
1 )!
2000 ( )!
1 (
! 2001 )!
2001 (
! 2001
1
2001
− +
k k
1
2001 C
C k+ ≤ Với mọi k=0,1,2,…,999 ; dấu bằng xảy ra khi k=999 hoặc k=1000.
Trang 8Trường THPT U Minh-Tổ Toán
Mà :
1001 2001
1000
2001
1998 2001
3 2001
1999 2001
2 2001
2000 2001
1 2001
C C
C C
! 4
1
! 3
1
! 2
1
! 1
1
<
+ + + + +
Hướng dẫn
!1
1
=
2
11
!2
1
!3
14.3
1
!4
n n
n
11
1)
1(
Suy ra điều phải chứng minh
Bài 9 Chứng minh rằng n!> 2n-1 với n∈N, n≥3
Hướng dẫn
2< 32< 4
2< nSuy ra 2n-1 <2.3.4 n=n!
Cách 2: Phương pháp quy nạp toán học
Trang 9Trường THPT U Minh-Tổ Toán
+ Đánh giá thông qua giá trị cận trên hoặc cận dưới
Bài 1 Giải phương trình sau : n!(−n(n+−1)!1)!= 61 với n nguyên dương
(ĐS : n=2, n=3)
)!
1 (
)!
1 (
4 )(
3 ( 12
)!
1 (
! 4 )!
1 (
)!
1 ( 1
5 1
n n n
n n
14k +C k+ = 2 C k+
Hướng dẫn+ Điều kiện k≤12
+ Biến đổi phương trình về dạng k2-12k+32=0 ⇔k=4, k=8
Bài 5 Tìm các số x nguyên dương thỏa mãn phương trình :
x x
C C
C1x +6 x2 +6 x3 = 9 2 −14 (ĐHNN HN-99)
Hướng dẫn+ Điều kiện : 3≤x∈N
+ Phương trình biến đổi thành x3=9x2-14x ⇔x=7
Bài 6 Giải bất phương trình
3
4 1
3 1
14
1
P A
+ Bất phương trình biến đổi thành n2+n-42>0 ⇔ n≥6
2
2x − x ≤ C x +
x A
Hướng dẫn+ Điều kiện 3≤x∈N
Trang 10Trường THPT U Minh-Tổ Toán
+ Bất phương trình viết lại ( )
!
6
! 2
!
! 1 2
! 2 2
x x
x
! 3
) 2 )(
1 (
6 ).
1 ( 2 ).
1 2 (
2
1 − − − < x x− x− +
x x x x x
+ ĐS : x=3, x=4
Bài 8 Tìm x,y ∈Z+ để :
25
6
1 1
+ = = x y
y x
y
C
Hướng dẫn+ Điều kiện :
0
1 0
1 0
y x
y x y
x y
x y
56
1 1
+
=+
x y x C
y x
y x
402
803
y x
y
x
y x
y
x
C A
C A
k g
kx
a
0
) (
; số hạng chứa x α tương ứng với g(k)= α ; Giải phương trình ta
tìm được k Nếu k ∈ N và k≤n, hệ số cần tìm là a k ; nếu k>n hoặc k ∉ N, thì trong khai triển không có số hạng chứa x α , hệ số phải tìm bằng 0.
Bài 1 Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển nhị thức Niuton của
n x
n (x>0, n nguyên dương) (ĐH-A-2003).
Trang 10 HOANG KIM DINH
Trang 11Trường THPT U Minh-Tổ Toán Hướng dẫ
n
11 60 12
12 2
5 3 12
k k
k k
8 2
11 60
! 12
8 16
8 8 7 14
7 8 6 12
6 8 5 10
5 8 4 8
4
8
3 6
3 8 2 4
2 8 2
1 8
0 8
8 2
)1()
1()
1()
1()
1
(
)1()
1()
1(1
1
x x
C x
x C x
x C x
x C x
x
C
x x
C x
x C x x
C C
x x
−+
−+
−+
−+
−
+
−+
−+
−+
7 3 7
7 4
k
k k
k
k k
x x
C x
x
Số hạng không chứa x là số hạng tương ứng với k thỏa mãn =0 ⇔ k=4.
Vậy số hạng không chứa x cần tìm là : C 74=35
Bài 4 Tìm hệ số của số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức Niu tơn của
2 1 2
1 1
n n
2 1 2
1 1 2
0 1 2 1 2
n n
n n
n
x C x
C x C C
1 2
2 1 2
1 1 2
0 1 2 1
2
n n
n n
n
C C
C
C , mà C k n+ =C2n n++1−k
1 2 1
1 2 1 2
0 1
+ + = n
n
C
n n
1 2
1 1
Trang 12Trường THPT U Minh-Tổ Toán
1 2 1 2
2 1
+ + = n
+ + = n
1 1 2
0 1 2 1
2
2 1 2
1 1 2
n n
n
n n n
0
7 10 4 10
7 4
11
k
k k k
k
k k
n
x C x
x C x
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n=11 Hệ số của số hạng chứa x 10 trong khai triển nhị thức Niuton của (2+x) n là :
22 2
10 3 4
5
4
= +
3 17 3 2 17
Trang 13Trường THPT U Minh-Tổ Toán
k k k
k
k
x C x
4 4 0 4
4 0
1 .Từ giả thiết k+2i=7
suy ra (k;i)={(1;3), (3;2)}Vậy a 7 = 2 40
4
3 4
3 4
14 2
Do đó an-1≤ an ⇔ n={0,1,2,3,4},và dấu đẵng thức không xảy ra Ta được:
a0<a1<a2<a3<a4 , a4>a5> >a13
Vậy: max(an)=a4= 4 2 13 4 366080
Bài 10 Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ 4 ) Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của
A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A Tìm k ∈{ 1, 2, , n } sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất (ĐH-B-2006).
Hướng dẫn +Số tập hợp con k phần tử của A là C n k theo bài ra ta có C n4=20C n2 ⇔ n=18;
k C
C
k
k
, nên C181 < C182 <C183 < C< 189 ⇒ 9
18
15 18
Trang 14Trường THPT U Minh-Tổ Toán Vậy số tập con của A là lớn nhất khi và chỉ khi k = 9.
Lưu ý Qua ba bài giải trên ta rút ra kinh nghiệm muốn tìm hệ số có giá trị lớn nhất khi khai triển (ax+b) n thành đa thức, ta làm như sau:
Tính hệ số của số hạng tổng quát a n ; giải bất phương trình a n-1 ≤a n với n là ẩn số,hệ số lớn nhất phải tìm tương ứng với số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên.
n n
n n
n
C x
C x
C x
C
x2 + 1 = 0 2 + 1 2 − 2 + 2 2 − 4 + +
n n n
n
n n
n n
n n
0 3 3
5 26
3
) 4 3 2 (
n n
Bài 2: Cho khai triển nhị thức:
n x n n
n x x
n n
x n x n
n x n
n
x
x
C C
1 1 3
1 2
1 1 2
1 0 3
2
1
2 2
2
2 2
2 2
4 2
1 3
n
x C x
0 1
C
0 2
Trang 15Trường THPT U Minh-Tổ Toán Hướng dẫn
n
n n n
n n
n
2 1 2 2
3 2
2 2
1 2
0 2
n n
n n
n
C C
C C
C
2 1 2 2
3 2
2 2
1 2
0 2 2
2
2 1
2
5 2
3 2
1
n n
n n
Bài 5 Tìm số nguyên dương n biết rằng:
32
1 2
) 1 (
2
4 2
3
4 3
3 2
2
1
=
− + +
− +
n n n n
n n
C
(THTT-6-2010-Tr8)Hướng dẫn
Tương tự bài 5
Bài 6 Tìm số nguyên dương n sao cho :
2011
2)
12(
.2.4
2.3
2
1 2 2 4
1 2 3 3
1 2 2 2
1 2
1
1
+ +
+ +
n n
n n
2 1 2
1 1 2
0 1 2 1
2
n n
n n
n
x C x
C x C C
hai vế sau đó thay x=-2 Ta có 2n+1=2011 suy ra n=1005
Bài 7 Tìm số nguyên dương n sao cho:
2005 2
) 1 2 (
2 4 2
3 2
.
1 2 2 4
1 2 3 3
1 2 2 2
1 2
1
1
+ +
+ +
+
n n
n n
n n
2 1 2
1 1 2
0 1 2 1
2
n n
n n
n
x C x
C x C C
x
Đạo hàm hai vế:
n n
n
n
x C n
x C C
x
1 2
2 1 2
1 1 2
2
) 1 2 (
2 1
2 2
) 1 2 (
2 4 2
3 2
.
1 2 2 4
1 2 3 3
1 2 2 2
1 2
1
1
+ +
+ +
n
n n
n n
+
= +
n
A A
, biết rằng 149
2
4
2 3
Trang 16Trường THPT U Minh-Tổ Toỏn
4
2 3
2 2
Hướng dẫn + Số tam giỏc cú cỏc đỉnh là 3 trong 2n điểm A 1 , A 2 , A 2n là C 2n3
+ Hỡnh chữ nhật nội tiếp đường trũn (O) cú hai đường chộo qua O và ngược lại cứ hai đường chộo qua tõm cú một hỡnh chữ nhật, mà đa giỏc đều cú n đường chộo qua tõm nờn số hỡnh chữ nhật là C n2.
+ Theo bài ra ta cú C 2n3 =20C n2 ⇔ n=8
6 Một số bài toỏn khỏc:
Bài 1 Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập đ ợc bao nhiêu đề kiểm − tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2 ? (ĐH-B-2004)
Hướng dẫn Mỗi đề kiểm tra phải cú số cõu dễ là 2 hoặc 3.
+ Đề cú 2 cõu dễ, 02 cõu trung bỡnh, 01 cõu khú, thỡ cú số cỏch chọn là:
23625
5
2 10
5
1 10
5
1 10
3
C
Vậy : Số đề kiểm tra cú thể lập được là: 23625+10500+22750=56875
Bài 2 Một đội thanh niờn tỡnh nguyện cú 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi cú bao nhiờu cỏch phõn cụng đội thanh niờn tỡnh nguyện đú về giỳp đỡ 3 tỉnh miền nỳi, sao cho mỗi tỉnh cú 4 nam 1 nữ (ĐH-B-2005)
Hướng dẫn
Cú C13C124 cỏch phõn cụng cỏc thanh niờn tỡnh nguyện về tỉnh thứ nhất Với mỗi cỏch
phõn cụng cỏc thanh niờn tỡnh nguyện về tỉnh thứ nhất cú C21C84
Cỏch phõn cụng cỏc thanh niờn tỡnh nguyện về tỉnh thứ hai Với mỗi cỏch phõn cụng cỏc thanh niờn tỡnh nguyện về tỉnh thứ nhất và thứ hai cú 4
4
1
1C
C cỏch phõn cụng cỏc thanh niờn tỡnh nguyện về tỉnh thứ ba Vậy cú: C13C124 . 4
Bài 3 Đội thanh niờn xung kớch của một trường phổ thụng cú 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm
Trang 16 HOANG KIM DINH
Trang 17Trường THPT U Minh-Tổ Toán
vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? (ĐH-D-2006)
Trang 18Trường THPT U Minh-Tổ Toán
2) 840(104+103+102+10+100)=840.11111=9333240
Bài 8 Có 5 miếng bìa, trên mỗi miếng ghi một trong 5 chữ số 0,1,2,3,4 Lấy
3 miếng bìa từ 5 miếng này đăt lần lượt cạnh nhau từ trái sáng phải để được các số gồm 3 chữ số
Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có nghĩa gồm 3 chữ số và trong đó có baonhiêu số chẵn ? (CĐSP Hà Nội-A-1999)
Hướng dẫn+ Ký hiệu x=a1a2a3 là một số thỏa mãn điều kiện bài toán
Vì a1≠0 nên có 4 cách chọn miếng bìa cho a1 ;
Sau khi chọn một miếng bìa cho a1 thì còn 4 cách chọn miếng bìa a2 ;
Cuối cùng còn 3 cách chọn miếng bìa a3
Vậy theo quy tắc nhân, số các số lập được là : 4.4.3=48
+ Nếu số được lập là số lẻ thì có 2 cách chọn cho hàng đơn vị a3
Tiếp theo có 3 cách chọn cho hàng trăm a1 ;
Cuối cùng có 3 cách chọn cho hàng chục a2
Vậy số các số lẻ là : 3.3.2=18 số và số các số chẵn là : 48-18=30 số
BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1 Tính các tổng sau :
n
n n
n n
n n
n n
n C
C C
C
1
) 1 (
5
1
4
1
3
1
2
4 3
2 1
4
+
− + +
− +
−
Trang 18 HOANG KIM DINH
Trang 19Trường THPT U Minh-Tổ Toán
n C
C C
C
2
1
5
1
4
1
3
1
2
5
+ + + +
+ +
n
n n
n n
n C
C C
C
1
2
5
2
4
2
3
3
2
4
5 3
4 2
2 1 2
6
+ + + +
C C
2
4 2
2 2
0
2
1 2
1
5
1
3
1
+ + + +
+
=
1 2
2 2
1 2
1 1
k n
C C
2
4 2
2 2
0 2
) 2 2 (
1
6
1
4
1
2
1
+ +
+ +
+
=
(HD :
2 2 2 2 1
2 1 2
2 2 2 2 1
2 1 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
) 2 2 )(
1 2 (
1 1
2 1
) 2 2 )(
1 2 (
1 2
2
1 1 2
2 2
) 2 2 )(
1 2 (
1 )
2 2 )(
1 2 (
2 2 )
2 2 )(
1 2 (
) 1 2 (
) 2 2 )(
1 2 )(
1 2 (
) 2 2 )(
1 2 )(
1 2 ( 2 2
1 2
2 1
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
− +
=
+ +
− +
− + +
+
= +
+
+
=
+ +
+
+ +
+ +
= +
k n
k n
k n
k n
k n
k n
k n
k n
C n n
C n
C n n
C k n
k
C n
n n
n
k C
n n
k
C n n
k
n n
k k
C k
Suy ra :
) 2 2 )(
1 2 (
1 2 2 )
2 2 )(
1 2 (
1 2 1
2 2
) 2 2 )(
1 2 (
1 1
2 1
1 2 1
2 2
0
2 2 2 2 1
2 1 2
+ +
+
= + +
−
− +
− +
=
+ +
=
+ +
+ +
∑
n n
n n
n
C n n
C n S
n n
n
n k
k n
k n
)
2
5 2
6 3
2
4 1
6
2
4
2
2
+ + +
+
n n
n
n C
C C
S
n k
k n k
k n
k
C n
C k
2 2
1 2 2 2
1 2 2
2
1 2
1 2
2
1 2 2
1 2
1
2
0 1 2 2
1
2 2 1 2
−
=
− +
n
C n
S
n n
n
k k n
2012
2 2012
1 2012
4 2
k
1 2
5 1 2
3 1 2
1 1
n n
n
C n S
Trang 20Trường THPT U Minh-Tổ Toán
2 2 6
2 6 4
2 4 2
2 2
2 1
2 2
k n k
1 2 2
.
2 2
.
1 2 1
2 1
2 1 2 1 2 3
3 1 2
n n n n
n n
n n
Hướng dẫnKhai triển (1+x)n
Lấy đạo hàm hai vế
Thay x = 21 ta được điều phải chứng minh
4 1 + 2 2 + 3 3 + + n = 2n−1
n n
; Từ đó suy ra :
) 1 ( 2
1 )
1 ( 2
1 ) 1 (
8
1 6
1 4
− + +
− +
−
n
C n C
C C
n
n n
n n
Hướng dẫn+ I = 2(n1+1) (tính tích phân bằng phương pháp đổi biến t=1-x2)
n
n n
n n
n
n
x C x
C x C x C C x x
x1 − 2 = 0 − 1 2 + 2 4 − 3 6 + + ( − 1 ) 2
⇒
n n
n n
n n
n
n n n
n n
n n
n
C C
C C
C
n
x C
x C
x C
x C
8
1 6
1 4
1 2
1
2 2 ) 1 (
8 6
4 2
3 2
1 0
1
0
2 2 8
3
6 2
4 1
2 0
− + +
− +
− +
−
n n n k
n k
k n
n n
3
1 ) 1 (
3
1 ) 1 (
3
1 3
1
2 1
(ĐH Mở-1997)Hướng dẫn
Với mọi x∈R, với mọi n∈N*
n k
k n
k n
n n
C0 − 1 + 2 2 − 3 3 − +(−1) + +(−1)
n n
k n k
k n
n n
n
C C
C C
C f
3
1
3
1 ) 1 (
3
1 3
1 3
2 ) 2
1
2 1