Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 9 vận dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc 2 vào giải các dạng bài tập

Chuyên đề phương trình bậc hai đã có nhiều tác giả viết và xuất bản nhiềutài liệu, nhưng các tài liệu hoặc là quá dài và nhiều bài khó đối với học sinh lớp 9,hoặc là chưa làm nổi bật đượ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

PHÒNG GD & ĐT THỌ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 9 VẬN DỤNG CÔNG THỨC NGHIỆM VÀ CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀO GIẢI CÁC

DẠNG BÀI TẬP

Người thực hiện: Vũ Thị Tuyên

MỤC LỤC

Trang

1.PHẦN MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3.Đối tượng nghiên cứu 2

1.4.Phương pháp nghiên cứu 2

2.NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm Giải phương trình bậc hai 4

Chứng minh về số nghiệm của phương trình bậc hai 5

Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm, vô nghiệm 9

Áp dụng vào giải các bài toán khác 13

Bài tập tương tự 19

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 19

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 20

3.2 Kiến nghị 21

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết, môn toán học là môn khoa học tự nhiên đóng vai tròquan trọng Để học sinh có kiến thức môn toán được vững vàng thì các em phảichăm chỉ học tập, có phương pháp học tập đúng đắn và phải nắm kiến thức mộtcách có hệ thống Trong khi đó nhiều học sinh hiện nay chưa có phương pháp họchiệu quả, chưa biết cách hệ thống các kiến thức mà mình đã được học trong sáchgiáo khoa Các em chỉ trông chờ vào các thầy cô giáo, thầy cô dạy bài nào thì biếtbài đó, dạy dạng nào thì biết dạng đó

Chuyên đề phương trình bậc hai đã có nhiều tác giả viết và xuất bản nhiềutài liệu, nhưng các tài liệu hoặc là quá dài và nhiều bài khó đối với học sinh lớp 9,hoặc là chưa làm nổi bật được các ứng dụng của công thức nghiệm và công thứcnghiệm thu gọn của phương trình bậc hai Vì vậy học sinh lớp 9 khó tìm được tàiliệu phù hợp để hỗ trợ cho các em khi các em ôn thi vào lớp 10 trung học phổthông, ôn thi vào các trường chuyên và thi học sinh giỏi

Khi ôn thi vào lớp 10 trung học phổ thông, ôn thi học sinh giỏi hay ôn thivào các trường chuyên thì đi sâu tìm hiểu các đề thi mới thấy được hầu như đề nàocũng có những bài toán áp dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn củaphương trình bậc hai hoặc hệ thức Vi-ét Trong khi đó nhiều học sinh nắm vữngcác kiến thức trong sách giáo khoa, nhưng khi áp dụng vào bài tập thì còn lúngtúng, nhất là các bài toán nâng cao thì tiếp cận chưa tốt

Bản thân tôi từ khi bắt đầu đi dạy, tôi tình cờ đọc được một đề thi vào trườngchuyên Lam Sơn, Thanh Hoá cách đây nhiều năm, tôi rất tâm đắc với một bài thi

có cách giải độc đáo bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậchai Và trong quá trình giảng dạy, tôi đã thấy nhiều bài tập khi áp dụng công thứcnghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai thì cho lời giảihay, ngắn gọn Vì thế, sau mỗi năm học, tôi lại tích luỹ thêm được nhiều bài tậphay về phần này, và mỗi khi dạy đến phần này tôi đưa ra các bài tập đó thì nhiều

em học sinh đã vô cùng ngạc nhiên vì lại có những cách giải hay, lý thú như vậy

Vì những lý do trên, năm học này tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm

để cùng trao đổi với các bạn đồng nghiệp về đề tài: " Kinh nghiệm hướng dẫn học

sinh lớp 9 vận dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai vào giải các dạng bài tập" Tôi cũng hy vọng đây là một tàiliệu giúp ích cho các em học sinh lớp 9 trong khi các em ôn thi vào lớp 10 trunghọc phổ thông, thi vào các trường chuyên và thi học sinh giỏi cấp tỉnh

1.2 Mục đích nghiên cứu

Với sáng kiến kinh nghiệm "Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 9 vận dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai vào giải các dạng bài tập " tôi mong muốn giúp các em học sinh lớp 9 nắm vữngcông thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai Các embiết vận dụng kiến thức vào giải bài tập, nắm được hệ thống các dạng bài tập Từ

đó giúp học sinh lớp 9 giải quyết được các bài thi trong các đề thi vào lớp 10THPT, thi vào lớp 10 chuyên và thi học sinh giỏi Cũng qua phần này, tôi muốncác em thấy được đằng sau những công thức trong sách giáo khoa tưởng chừng

như đơn giản và khô khan ấy là những điều mới mẻ, bổ ích và lý thú Từ đó khơidậy niềm say mê học tập, khơi dậy óc sáng tạo của mỗi học sinh.

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Trong chương trình toán phổ thông, phần phương trình bậc hai, hệ thức

Vi-ét là một phần kiến thức rất rộng lớn, nó xuyên suốt từ lớp 9 đến lớp 12 Trong các

đề thi vào lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên trong toànquốc và cả đề thi đại học ta thường xuyên bắt gặp các bài thi áp dụng kiến thức vềphương trình bậc hai và hệ thức Vi-ét từ dạng đơn giản đến các bài khó Tuy nhiên,trong khuôn khổ của sáng kiến kinh nghiệm này, tôi chỉ tập trung nghiên cứu việc

áp dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc haivào giải bài tập, hệ thống các dạng bài tập cũng như phương pháp giải cho mỗidạng bài Với mỗi dạng bài tập tôi trình bầy theo mức độ từ dễ đến khó, đặc biệttôi hệ thống các ứng dụng của công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn vàogiải các dạng bài tập nâng cao Từ đó giúp học sinh mọi trình độ đều có thể sửdụng tài liệu này một cách hiệu quả

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Để nghiên cứu đề tài này, tôi tiến hành nghiên cứu sách giáo khoa toán 9,sách bài tập toán 9, sách giáo viên, tạp chí toán học và tuổi trẻ, toán tuổi thơ, cácsách tham khảo Trong quá trình giảng dạy, tôi luôn tìm hiểu các đề thi vào lớp 10THPT của nhiều tỉnh thành trong cả nước, các đề thi vào các trường chuyên, đề thihọc sinh giỏi cấp tỉnh của nhiều tỉnh để có được hệ thống bài tập phong phú và đadạng Và mỗi năm sau khi giảng dạy phần này cho học sinh thì tôi luôn tự rút kinhnghiệm để hoàn thiện hơn trong năm tiếp theo

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Ngày 4/11/2013, Tổng Bí thư Nguyễn Phú Trọng đã ký ban hành Nghị quyếtHội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khóa XI (Nghị quyết số 29-NQ/TW).Nghị quyết có nội dung về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứngyêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng

xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế

Trong nghị quyết 29 có nêu rõ: "Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dântrí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếutrang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học Học điđôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục giađình và giáo dục xã hội"

Với vị trí là một giáo viên trực tiếp giảng dạy, bản thân tôi nhận thấy, đểthực hiện theo định hướng trên thì trước hết mỗi giáo viên phải luôn luôn biết tựhoàn thiện mình, phải tâm huyết với nghề, có năng lực chuyên môn vững vàng,biết làm chủ kiến thức Giáo viên phải đổi mới phương pháp giảng dạy, tạo ra cácgiờ học sinh động và hấp dẫn

Đối với môn toán, khi giảng dạy giáo viên cần giúp cho học sinh hệ thốngđược các nội dung kiến thức theo từng chủ đề, biết vận dụng tốt các kiến thứctrong sách giáo khoa vào giải các bài tập và các bài toán thực tế Vì vậy khi giảngdạy chuyên đề " Phương trình bậc hai, hệ thức Vi-ét", bản thân tôi luôn suy nghĩlàm thế nào để học sinh có thể nắm vững được hệ thống các kiến thức và các dạng

bài tập từ đơn giải đến phức tạp, từ những bài tập trong sách giáo khoa đến nhữngbài thi trong các kỳ thi mà các em sẽ trải qua, từ đó tạo ra hứng thú học tập cho họcsinh, hình thành ở học sinh tư duy linh hoạt, sáng tạo và chủ động tiếp thu kiếnthức Khơi dậy cho học sinh, nhất là các em học sinh khá giỏi lòng say mê học tập,

sự khao khát khám phá những điều mới lạ Điều này đã được tôi thể hiện rõ néttrong sáng kiến kinh nghiệm này

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong chương trình môn toán lớp 9, phần phương trình bậc hai đóng vai tròrất quan trọng Vì vậy việc giúp học sinh nắm vững kiến thức trong sách giáo khoa

và biết áp dụng kiến thức vào giải bài tập là việc làm vô cùng cần thiết Nó giúpcác em vượt qua các kì thi quan trọng và tạo nền tảng kiến thức cho những nămhọc ở cấp trung học phổ thông Tuy nhiên, thời gian đầu khi mới giảng dạy môntoán 9, khi dạy phần phương trình bậc hai tôi còn khá lúng túng Các bài tập tôicung cấp cho học sinh chưa có hệ thống, chưa làm nổi bật được tầm quan trọng củacông thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai Vì vậykhi học sinh học phần này, các em cũng nắm kiến thức một cách dàn trải, chưa có

hệ thống Các em chưa thực sự say mê học tập vì chưa thấy được những điều thú vị

ẩn sau các công thức đơn giản trong sách giáo khoa Sau một vài năm , bản thân tôicũng có kinh nghiệm hơn trong giảng dạy, tôi nghĩ rằng mình phải làm thế nào đểkiến thức mình truyền đạt đến học sinh phải có chọn lọc, có hệ thống, giúp họcsinh dễ hiểu, dễ nhớ, đã nhớ thì khó quên Do đó tôi đã dần dần hình thành nộidung sáng kiến kinh nghiệm này mà hôm nay xin được chia sẻ cùng các đồngnghiệp

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm, các giải pháp đã sử dụng

Khi giảng dạy cho học sinh lớp 9 vận dụng công thức nghiệm và công thứcnghiệm thu gọn của phương trình bậc thì đầu tiên tôi nhắc lại cho học sinh các kiếnthức mà các em đã được học trong sách giáo khoa:

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

*Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) và biệt thức Δ=b -4ac2

- Nếu  > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x =1 -b+ Δ; x =2 -b- Δ;

- Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x = x = -1 2 b

2a;

- Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm

(Sách giáo khoa toán 9, tập 2, trang 44)Chú ý: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) có a và c trái dấu thì

phương trình có hai nghiệm phân biệt

*Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai:

Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) và b = 2b', Δ'=b' -ac2

- Nếu Δ' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x =1 -b'+ Δ'; x =2 -b'- Δ';

- Nếu ' = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x = x = -1 2 b'

a ;

- Nếu ' < 0 thì phương trình vô nghiệm

(Sách giáo khoa toán 9, tập 2, trang 48)Tiếp theo tôi đưa ra hệ thống kiến thức theo sơ đồ sau:

Từ đó tôi giới thiệu các dạng bài tập cho học sinh

Dạng 1: Giải phương trình bậc hai

Khi hướng dẫn học sinh áp dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thugọn của phương trình bậc hai vào giải các dạng bài tập thì việc đầu tiên là giúp họcsinh hiểu và áp dụng kiến thức để giải các bài tập đơn giản nhất, đó là giải phươngtrình bậc hai Với tôi khi giảng dạy, bao giờ cũng bắt đầu từ những bài tập dễ vàtăng dần độ khó Ta bắt đầu từ một bài tập trong sách bài tập toán 9, tập 2:

Bài 1: Giải các phương trình sau:

c, Δ =1-40= -39< 0 Phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Giải phương trình: 3x 1 x 2  20

Hướng dẫn giải:

   

2 2

Công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai

để phương trình bậc hai

có nghiệm, vô nghiệm.

Ứng dụng vào giải các bài toán khác

Chứng minh về số nghiệm của phương trình bậc hai

Trong khi đó, với bài tập 2 tôi muốn nhấn mạnh cho học sinh rằng, cácphương trình sau khi biến đổi mà đưa được về phương trình bậc hai thì bằng cách

áp dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn ta dễ dàng tìm được nghiệmcủa phương trình

Tiếp theo, ta sẽ xét các phương trình bậc hai có hệ số là các số vô tỉ Ta tiếptục với bài tập sau:

Bài 3: Giải phương trình: 4x 2 – 2(1 + 3)x + 3=0

2 2

Ở dạng này, tôi chỉ đưa ra các bài tập giải phương trình bậc hai đơn giản,mục đích muốn giúp học sinh nắm vững công thức nghiệm, công thức nghiệm thugọn của phương trình bậc hai Các phương trình phức tạp thì không đề cập đếntrong phần này mà sẽ giới thiệu trong chuyên đề phương trình quy về phương trìnhbậc hai

Dạng 2: Chứng minh về số nghiệm của phương trình bậc hai.

Đây là dạng bài thường gặp trong các đề thi vào lớp 10 của nhiều tỉnh, thànhtrong cả nước Ta thường gặp dạng bài chứng minh phương trình bậc hai cónghiệm, có hai nghiệm phân biệt hoặc vô nghiệm Ta xét một số bài tập sau:

Bài 1: Cho phương trình: x 2 + (m - 1)x + m 2 – 2m + 5 = 0 (m là tham số)

Chứng minh rằng phương trình trên vô nghiệm với mọi giá trị của m.

 với mọi giá trị của m

Vậy phương trình vô nghiệm với mọi giá trị của m

Nhận xét: Qua bài tập này, tôi muốn khắc sâu kiến thức cho học sinh: Muốn

chứng minh phương trình bậc hai vô nghiệm ta chứng minh Δ < 0hoặc Δ'<0.

Bài 2: Cho phương trình: x 2 – (m + 1)x + 2m – 3 = 0 (m là tham số).

Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Thanh Hoá năm học 2004 - 2005)

Nhận xét: Qua bài tập này, tôi muốn khắc sâu kiến thức cho học sinh: Muốn

chứng minh phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt ta chứng minh  0hoặc  ' 0

Bài 3: Cho phương trình: x22(1 m)x 3 m 0    , m là tham số

Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Bình Định năm học 2015 - 2016)

 với mọi giá trị của m.

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m

Bài 4: Cho phương trình: x 2 – 2mx + m 2 - m - m = 0 (với m là tham số)

Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Thanh Hoá năm học 2003 - 2004)

Hướng dẫn giải:

Ta có: Δ'= -m -1 m - m -m = m +m 2  2 

- Nếu m0 thì m = m Do đó Δ'= 2m 0 (vì m 0 ) nên phương trình có nghiệm

- Nếu m < 0 thì m =-m Do đó Δ'=-m + m = 0nên phương trình có nghiệm kép Vậy với mọi giá trị của m thì phương trình luôn có nghiệm

Nhận xét: Qua bài tập này, tôi muốn khắc sâu kiến thức cho học sinh: Muốn

chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm ta chứng minh  0hoặc  ' 0

Bài 5: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị của a, b, c: (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0

Hướng dẫn giải:

Biến đổi phương trình về dạng: 3x2 – 2(a + b + c)x + (ab + ac + bc) = 0

Phương trình trên là phương trình bậc hai có:

Với mọi a, b, c ta có: a-b20; b-c 20; c-a 2 nên suy ra 0  ' 0

Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a, b, c

Nhận xét: Khi đưa ra bài tập này, tôi muốn nhấn mạnh cho học sinh thấy được:Phương trình ban đầu không phải là phương trình bậc hai nhưng sau khi biến đổi tađưa về được phương trình bậc hai Khi đó ta áp dụng công thức nghiệm thu gọncủa phương trình bậc hai để chứng minh phương trình có nghiệm

Bài 6: Cho phương trình: k (x 2 - 4x + 3) + 2(x - 1) = 0.

Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của k.

Kết hợp hai trường hợp ta có phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của k

Nhận xét: Khi đưa ra bài tập này, tôi muốn nhấn mạnh cho học sinh thấy được:

Phương trình ban đầu không phải là phương trình bậc hai nhưng sau khi biến đổi tađưa về được phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 Tuy nhiên khi gặp phương trìnhnày, giáo viên cần lưu ý cho học sinh rằng chỉ được tính  hoặc 'khi hệ số akhác 0 Trong trường hợp a có thể bằng 0 thì cần phải xét các trường hợp xảy ra

Bài 7: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x -2 a + b+c x +3ab +3ac+2bc+2   a2=0

2

a

= a + b +c + 2ab + 2ac+

2bc-3ab-3ac-2bc-2a

Phân tích, tìm cách giải: Nếu bài này ta dùng điều kiện Δ > 0thì bài toán

trở nên khá phức tạp Vậy có cách nào khác để chứng minh phương trình trên

có hai nghiệm phân biệt hay không Đối với bài toán này, ta áp dụng kiến thức sau: Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0) có a và c trái dấu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.(Sách giáo khoa toán 9, tâp 2, trang 45)

có a và c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

Nhận xét: Qua bài tập này, tôi muốn chốt lại hai cách chứng minh phương trình

bậc hai có hai nghiệm phân biệt:

- Cách 1: Chứng minh phương trình có Δ > 0hoặc Δ'> 0

- Cách 2: Chứng minh phương trình có a và c trái dấu

Bài 9: Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình bậc hai sau đây

= a-b + b-c + c-a

Dó đó suy ra: Δ +Δ +Δ1' 2' 3' 0

Vậy trong ba số  1'; '2;'3ít nhất phải có một số không âm (vì nếu cả ba số đều

âm thì tổng ba số phải là một số âm, vô lý), suy ra có ít nhất một trong ba phươngtrình đã cho có nghiệm

Nhận xét: Qua bài tập trên tôi muốn chốt lại cách giải các bài tập chứng minh ít

nhất một trong các phương trình bậc hai đã cho có nghiệm

-Khi chứng minh ít nhất một trong hai phương trình bậc hai có nghiệm tachứng minh     hoặc 1 2 0    (hay1 2. 0 Δ +Δ1' 2' 0 hoặc   1 2' ' 0 )

- Khi chứng minh ít nhất một trong ba phương trình bậc hai có nghiệm ta chứngminh       hoặc 1 2 3 0     (hay1 2 3 . 0      1' 2' 3' 0 hoặc ' '  1 2 3. . ' 0)

Các bài toán khác có cách giải tương tự

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm, phương trình

vô nghiệm.

Khi giới thiệu dạng bài tập này, tôi đưa ra cách giải tổng quát cho học sinh trước khi đưa ra hệ thống bài tập:

Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1)

- Phương trình (1) có nghiệm    0 hoặc   ' 0

- Phương trình (1) có nghiệm kép    0hoặc   ' 0

- Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt    0 hoặc   ' 0

- Phương trình (1) vô nghiệm    0 hoặc   ' 0

Khi đưa ra hệ thống bài tập phần này, tôi thường căn cứ vào trình độ của họcsinh để lựa chọn các bài tập phù hợp Nếu ôn thi vào lớp 10 trung học phổ thôngthì chỉ đưa ra những bài vừa phải, còn khi ôn thi học sinh giỏi thì đưa ra những bàiphức tạp hơn Sau đây là một số bài tập:

Bài 1: Cho phương trình x 2 - (m + 5)x - m + 6 = 0 (m là tham số)

Tìm các giá trị của m để phương trình có một nghiệm x = - 2

Hướng dẫn giải:

Phương trình có nghiệm x = - 2 khi:

(-2)2 - (m + 5) (-2) - m + 6 = 0  4 + 2m + 10 - m + 6 = 0  m = - 20

Nhận xét:

Qua bài này tôi chốt lại cách giải cho học sinh: Muốn tìm giá trị của tham số

để phương trình có nghiệm x0 ta thay x = x0 vào phương trình, từ đó suy ra giá trịcủa tham số cần tìm

Bài 2:Cho phương trình: x 2 + 2 (m + 1)x + m 2 = 0 (m là tham số)

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Hướng dẫn giải:

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:

∆’ > 0  (m + 1)2 - m2 > 0 2m + 1 > 0  m > - 1

2 Bài 3: Cho phương trình: x 2 – 2(m + 1)x + 2m + 5 = 0.

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm.

(Trích đề thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hoá, năm học 2000 - 2001)

Nhận xét: Từ bài 2, bài 3 một lần nữa tôi nhấn mạnh lại kiến thức cho học sinh:

- Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có nghiệm   0 hoặc  ' 0

- Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có hai nghiệm phân biệt   0 hoặc' 0

Phương trình vô nghiệm2m2  2 0 m2 1 0  (Vì m m 1  0)

Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi m < 1.

Bài 5: Cho phương trình: (m - 1)x 2 + (2m - 3)x + (m + 2) = 0 (m là tham số) Tìm m để phương trình có nghiệm.

Hướng dẫn giải:

- Nếu m = 1 thì phương trình đã cho có dạng: - x + 3 = 0  x 3