Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 9 vận dụng hệ thức vi et vào giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc 2

Đặc biệt là các bài toánliên quan đến phương trình bậc hai có sử dụng hệ thức Vi-ét để giải thường xuấthiện trong các kì thi học kì II, thi học sinh giỏi lớp 9, cũng như trong các kì thi

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài.

Toán học ra đời từ nhu cầu thực tiễn, gắn liền với lịch sử và sự phát triển của

xã hội loài người, nó có ý nghĩa thực tiễn lớn lao và quan trọng như đồng chí PhạmVăn Đồng đã nói: "Toán học là môn thể thao của trí tuệ cho chúng ta rèn luyện tríthông minh và sáng tạo" Toán học không chỉ cung cấp cho con người những kĩnăng tính toán cần thiết mà còn rèn luyện cho con người khả năng tư duy lôgíc, mộtphương pháp luận khoa học

Định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay đã xác định: Phươngpháp dạy học toán trong nhà trường các cấp phải phát huy tính tích cực, tự giác chủđộng của người học, hình thành và phát triển năng lực tự học, trau dồi các phẩmchất linh hoạt, độc lập sáng tạo của tư duy Bắt nguồn từ định hướng đó giáo viêncần phải học hỏi nghiên cứu, tìm tòi và áp dụng những phương pháp dạy học saocho phù hợp với từng vùng miền, từng đối tượng học sinh, từng kiểu bài làm chohiệu quả giờ học đạt cao nhất

Trong chương trình toán THCS nói chung và phân môn đại số nói riêng, cácbài toán về phương trình bậc hai rất đa dạng và phong phú Đặc biệt là các bài toánliên quan đến phương trình bậc hai có sử dụng hệ thức Vi-ét để giải thường xuấthiện trong các kì thi học kì II, thi học sinh giỏi lớp 9, cũng như trong các kì thituyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông Tuy nhiên, nội dung và thời lượng vềphần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dạng Theo nhận địnhchủ qua của bản thân thì thấy đa số các em chỉ làm được những bài tập đơn giảnnhư: Nhẩm nghiệm phương trình; Tính tổng, tích hai nghiệm của phương trình; Tìmhai số biết tổng và tích, còn các bài tập nâng cao hơn thì các em thực sự lúng túngthậm chí không biết hướng giải

Để giúp học sinh có định hướng đúng đắn và có phương pháp giải phù hợp khigặp các bài toán về phương trình bậc hai, đồng thời giúp các em có lòng đam mêhọc toán, tự tin trong học tập và đạt kết được quả cao trong các kỳ thi, trong quátrình giảng dạy tôi đã trăn trở, tìm tòi, đúc rút được "Một số kinh nghiệm hướng

dẫn học sinh lớp 9 vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai"thực sự mang lại hiệu quả rất tốt xin được chia sẻ cùng đồngnghiệp qua nội dung của đề tài

1.2 Mục đích nghiên cứu.

- Tìm hiểu thực trạng kĩ năng giải các bài toán về phương trình bậc hai có vận

dụng hệ thức Vi-ét của học sinh

- Đưa ra các dạng toán về phương trình bậc hai có sử dụng hệ thức Vi-ét để

giải Mỗi dạng có phương pháp giải cụ thể nhằm rèn kĩ năng trình bày lời giải bàitoán cho học sinh giúp các em tự tin và làm tốt các bài toán về phương trình bậc hai

- Rèn luyện cho học sinh tính tư duy logic, sự sáng tạo trong toán, sự say mê

và yêu thích học môn toán nhiều hơn

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Nghiên cứu 35 học sinh đang học lớp 9B ở trường THCS mà tôi đang công tác

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

- Phương pháp tổng hợp

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

- Phương pháp kiểm nghiệm

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

a) Định hướng chung về đổi mới phương pháp dạy học nhằm chú trọng phát triển năng lực học sinh.

- Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình thành và

phát triển năng lực tự học (sử dụng SGK, sách tham khảo, nghe, ghi chép, tìm kiếmthông tin,…), trên cơ sở trao dồi các phẩm chất một cách linh hoạt, độc lập, sáng tạocủa tư duy

- Sử dụng linh hoạt các phương pháp dạy học gắn chặt với các hình thức tổ

chức dạy học đa dạng Tuỳ theo mục tiêu, nội dung, đối tượng và điều kiện cụ thể

mà có những hình thức tổ chức thích hợp

b) Một số kiến thức về phương trình bậc hai và hệ thức Vi-ét.

* Định nghĩa phương trình bậc hai.

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0, trong

đó x là ẩn; a, b, c là các số cho trước gọi là các hệ số và a khác 0

* Công thức nghiệm phương trình bậc hai.

Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ¿ 0 ) và biệt thức Δ = b2 – 4ac+ Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1=

+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm

* Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai.

Đối với phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ¿ 0 ) và b = 2b’, biệt thức Δ ’ = b’2 –ac

+ Nếu Δ ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 =

{ x 1 + x 2 =− b

a ¿¿¿¿

Lưu ý: Để áp dụng được hệ thức Vi-ét thì phương trình bậc hai phải có nghiệm.

- Ứng dụng:

+ Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 a 0 có a + b + c = 0 thì phương trình

có một nghiệm là x 1 1, còn nghiệm kia là 2

c x a



Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 a 0 có a - b + c = 0 thì phương trình

có một nghiệm là x 1 1, còn nghiệm kia là 2

c x a

số học sinh làm được không nhiều Cụ thể:

+ Hầu hết học sinh chưa có kĩ năng tìm hiểu bài toán và phân dạng bài toán

để có phương pháp giải phù hợp

+ Đối với học sinh trung bình trở xuống thì chỉ có thể làm được những bàitoán đơn giản như: Tính được tổng hai nghiệm, tích hai nghiệm; Tìm hai số khi biếttổng và tích; Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai mà hệ số có mối quan hệ đặc biệt;Lập phương trình bậc hai khi biết 2 số cho trước làm nghiệm

+ Đối với học sinh khá, giỏi thì có thể làm được bài tập: Tính giá trị biểu thức(dạng đơn giản) chứa các nghiệm của phương trình bậc hai đã cho; Tìm giá trị củatham số khi biết một nghiệm của phương trình đã cho và tìm nghiệm còn lại; Xétdấu các nghiệm của phương trình bậc hai (dạng đơn giản), còn đối với bài tập nângcao như: Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn hệ thức nàođó; Tìm một hệ thức độc lập giữa các nghiệm với tham số; Tìm giá trị của tham số

để biểu thức chứa nghiệm của phương trình đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất,… thì họcsinh làm được rất ít và trong quá trình làm còn gặp nhiều sai sót

Kết quả thực trạng: Khảo sát 35 học sinh lớp 9B năm học 2019 - 2020 ở trường THCS

a) Đề khảo sát như sau (Thời gian 45 phút):

Bài 1(2 điểm) Nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) 2019x2 + x - 2020 = 0 b) x2 + 10x + 21 = 0

Bài 2(2 điểm) Tính tổng và tích hai nghiệm của các phương trình:

a) 25x2 + 10x + 1 = 0 b) x2 - 2x + m = 0

Bài 3(1 điểm) Tìm hai số u, v biết: u + v = 14, uv = 40

Bài 4(3điểm) Cho phương trình : x2 - 6x + m = 0 Tính giá trị của m, biết rằngphương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x1 - x2 = 4

Bài 5(2 điểm) Cho phương trình x2 - 2(m+1)x + 4m - m2= 0 với m là tham số Gọix1, x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=

dụng thành công trong quá trình giảng dạy Mỗi dạng được trình bày theo cấu trúc:

+ Phương pháp

+ Ví dụ

+ Bài tập áp dụng

+ Một số lưu ý ( nếu cần)

a Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

hoặc a - b+ c = 0.

* Phương pháp: Sử dụng ứng dụng 1của hệ thức Vi-ét, cụ thể:

Xác định hệ số a, b, c để tính tổng a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 và kết luận nghiệm của phương trình.

* Ví dụ: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

11 3c) Phương trình (3) là phương trình bậc hai ẩn x (do m3) có:

a – b + c = m – 3 - m + 3 = 0, nên phương trình có một nghiệm x1 = -1 và nghiệmkia là x2 =

c a

* Bài tập áp dụng: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) 35x2 37x  2 0 b) √3x2−(1−√3) x−1=0

c) 4321x2 21x 4300 0  d) (2m - 4) x2 + 2mx + 4 = 0, (m2)e) mx2 - 2(m-1)x + (m-2)=0 g) (m-1)x2 + (m+1)x + 2 =0

* Lưu ý: Đối với bài tập nhẩm nghiệm phương trình bậc hai có các hệ số âm hoặc

chứa tham số thì các em cần chú ý xác định chính xác các hệ số a, b, c rồi mới sử

dụng ứng dụng 1 để giải

nghiệm nguyên đơn giản.

* Phương pháp: Phương trình bậc hai dạng: x 2 – Sx +P =0 có u + v = S và u.v =P thì u và v là hai nghiệm của phương trình.

* Ví dụ: Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau

a) x2 - 7x + 12 = 0 b) x2 + 7x +12 = 0

Giải

a) Vì 3 + 4 = 7 và 3.4 = 12 nên x1 = 3, x2 = 4 là hai nghiệm của phương trình

b) Vì -3 + (-4) = -7 và (- 3).(-4) = 12 nên x1= -3, x2= -4 là hai nghiệm của phươngtrình

* Bài tập áp dụng: Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của các phương trình

sau:

a) x2 - 12x + 20 = 0 b) x2 - 3x -10 = 0

c) x2 + 3x -10 = 0 d) x2 + 8x +15 = 0

* Lưu ý: Khi giải một phương trình bậc hai ta cần chú ý vận dụng hệ thức Vi-ét để

tính nhẩm nghiệm của phương trình nếu có thể Nếu không tính nhẩm được nghiệmcủa phương trình thì ta mới dùng công thức nghiệm để giải Việc vận dụng hệ quảcủa hệ thức Vi-ét cho phép tính nhanh chóng nghiệm của phương trình

b Dạng 2: Tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai

* Phương pháp: Tính  (hoặc  ’ ), nếu   0 (hoặc  ’

 0) thì dùng hệ thức

Vi-ét để tính tổng, tích các nghiệm của phương trình.

* Ví dụ: Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng và tích các

nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình:

15

7 ; x1.x2 =

6 7c) Ta có:  = 12 – 4.5.2 = -39 < 0, nên phương trình vô nghiệm

* Bài tập áp dụng: Không giải phương trình, dung hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng và

tích các nghiệm ( nếu có) của mỗi phương trình:

a) 2x2+ 9x + 7 = 0 b) 159x2 – 2x -1 = 0 c) (2- √ 3 )x2 + 4x + 2+

√2 = 0

c Dạng 3: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.

* Phương pháp: Dựa vào quan hệ về dấu của tổng và tích hai số với dấu của hai

số đó, kết hợp với hệ thức Vi-ét thì ta sẽ xét được dấu của hai nghiệm hoặc tìm điều kiện của tham số để hai nghiệm thoả mãn điều kiện về dấu

Giả sử phương trình trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a khác 0) có hai nghiệmx1, x2 Gọi S là tổng hai nghiệm, P là tích hai nghiệm Ta lập bảng xét dấu cácnghiệm của phương trình

  0 và P > 0 Hai nghiệm cùng dấu S < 0 : Hai nghiệm âmS > 0: Hai nghiệm dương

* Ví dụ:

Ví dụ 1 : Không giải phương trình, xét dấu các nghiệm của các phương trình sau:

a) x2 + 5x - 1 = 0 b) x2 - 2 3x + 1 = 0 c) x2 - 2 3x + 4 = 0Giải:

c) Ta có:  ' = -1 < 0 nên phương trình vô nghiệm

Ví dụ 2: Tìm điều kiện của m để phương trình sau: 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0a) Có hai nghiệm khác dấu

b) Có hai nghiệm phân biệt đều âm

c) Có hai nghiệm phân biệt đều dương

d) Có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau

Giải

a) Phương trình có hai nghiệm khác dấu khi P < 0 hay m - 1 < 0  m < 1

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm khi:

  không có giá trị nào của m thoả mãn

d) Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau hayphương trình có hai nghiệm đối nhau.Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi:

0 0

Bài 5 Xác định tham số m sao cho phương trình: mx2 – 2(m + 2) x + 3(m - 2) = 0

có hai nghiệm cùng dấu

* Lưu ý:

+ Đối với phương trình có hệ số a chức tham số, phải tìm điều kiện để a khác 0.+ Khi  < 0 thì không cần xét dấu các nghiệm của phương trình vì phương trình vônghiệm

+ Khi P < 0 thì kết luận ngay phương trình có hai nghiệm trái dấu vì  > 0

+ Khi P > 0 ta phải xét đến hai yếu tố còn lại là  và S

d) Dạng 4: Tìm nghiệm và giá trị tham số của phương trình bậc hai có chứa tham số

nghiệm của phương trình.

* Phương pháp:

+ Cách 1: Thay giá trị nghiệm đã biết vào phương trình để tìm tham số, sau

đó kết hợp với hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm còn lại.

+ Cách 2: Thay giá trị nghiệm đã biết vào một trong hai hệ thức của Vi-ét ( x 1 +x 2 =

b) Phương trình: 4x2 +3x – m2 + 3m = 0, có nghiệm x1 = -2

c) Phương trình: mx2- 2(m-2)x + m - 3 = 0, biết nghiệm x1 = -3

Bài 2 Cho phương trình: x2 + (2m-3)x + m2 - 11= 0 Tìm m để phương trình cómột nghiệm bằng -1, khi đó tìm nghiệm còn lại

d) Tìm hai nghiệm và giá trị tham số của phương trình bậc hai, khi biết mối quan

hệ hai nghiệm của phương trình.

* Ví dụ: Tìm hai nghiệm và tham số q của mỗi phương trình sau:

a) x2 – 7x + q = 0, biết phương trình có hiệu hai nghiệm bằng 11.

b) x2 –qx + 50 = 0, biết phương trình có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.

* Bài tập áp dụng: Tìm hai nghiệm và tham số m của mỗi phương trình sau:

a) x2 – 11x + m = 0, biết phương trình có tổng hai nghiệm là 11

b) x2 - mx + 18 = 0, biết phương trình có một nghiệm bằng nữa nghiệm kia

e) Dạng 5 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

* Phương pháp: Sử dụng ứng dụng 2 của hệ thức Vi- ét

⇒ Hai số a, c là hai nghiệm của phương trình: x2 - 5x - 36 = 0 (2)

Giải phương trình (2) ta được x1 = 9 và x2 = - 4

Giải phương trình (3) ta được x1= -9 và x2= -4 Suy ra: a = 4và b = -9

+) Với a b 13 và ab = 36, thì hai số a, b là hai nghiệm của phương trình:

x2 -13x + 36 = 0 (4)

Giải phương trình (4) ta được x1= 9 và x2= 4 Suy ra: a = 9 và b = 4

Vậy: a = 9 và b = 4 hoặc a = - 4 và b = -9

c) Phân tích:

Ta đã biết: Tích ab = 30, do đó cần tìm tổng của a+b

hoặc: Tổng a2 + b2 = 61, tìm tích a2b2 Tìm hai số a2và b2, suy ra a và b

Cách 1: Từ: a2 + b2 = 61  a b 2 a2b2 2ab61 2.30 121 11   2

11 11

x2 + 11x + 30 = 0 (5)

Giải phương trình (5) ta được: x1= -6 và x2= -5

Suy ra: a = -5 và b = -6 hoặc a = -6 và b = -5

+) Với a + b = 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình:

Vậy: a = -5 và b = -6 hoặc a = -6 và b = -5 hoặc a = 5 và b = 6 hoặc a = 6 và b = 5

d) Phân tích: Ta đã biết tổng a + b = 9, do đó cần tìm tích của ab.

Do đó, hai số a và b là nghiệm của phương trình: x2 - 9x + 20 = 0 (8)

Giải phương trình (8) ta được: x1 = 4 và x2 = 5

Vậy: a = 4 và b = 5 hoặc a = 5 và b = 4

* Bài tập áp dụng:

Bài 1.Tìm hai số u,v trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 14, uv = 40 b) u + v = -5, uv = -24 c) u + v = -7, uv = 12 d) u - v = 10, uv = 24 e) u + v = 4, uv = 19 f ) u2 + v2 = 85, uv = 18

Bài 2 Tìm hai số biết:

a) Tổng của chúng bằng 2, tích của chúng bằng 1

b) Tổng của chúng bằng 1, tích của chúng bằng 5

* Phương pháp: Sử dụng ứng dụng 2 của hệ thức Vi-ét

Bước 1: Tính tổng (S) và tích (P) hai nghiệm của phương trình cần lập

Bước 2: Lập phương trình dạng: x2 – Sx + P = 0 ( Với ĐK: S2- 4P > 0 )

g 1 ) Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm là 2 số cho trước.

* Ví dụ 1: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:

b) Lập phương trình bậc hai ẩn x nhận x1, x2 là hai nghiệm.

h) Dạng 7: Tính giá trị của biểu thức chứa các nghiệm của phương trình bậc hai.

* Phương pháp:

Bước 1: Xét điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm (∆ ≥ 0 hoặc ∆’ ≥ 0).

Áp dụng định lí Vi-ét để tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình

Bước 2: Biến đổi biểu thức về dạng chỉ chứa tổng và tích hai nghiệm của phương trình, thay giá trị của tổng và tích 2 nghiệm tìm được ở bước 1 vào biểu thức và tính.

Cách biến đổi một số biểu thức thường gặp:

Ta có: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

Ta có: Δ ’ = (-2)2 – 1 = 3 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

Vì x1 là nghiệm của phương trình đã cho nên x12 = 4x1 -1  x14 = 16x12 - 8x1+ 1





Ta có Δ = (- √ 5 )2 – 4.1.1 = 1 > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Bài 5: Cho phương trình: 2x2  5x 1 0

Tính: x1 x2 x2 x1 (Với x1, x2là 2 nghiệm của phương trình)

Bài 6 Cho x1;x2 là hai nghiệm của phương trình: x 2 - 4x +1=0 không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức: A=|x1−2 x2|+|x2−2 x1|

i) Dạng 8: Tìm giá trị tham số của phương trình bậc hai thỏa mãn đẳng thức chứa nghiệm.

* Phương pháp:

Bước 1: Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x 1 và x 2 (thường là a ≠ 0 và  ≥ 0) Nếu nhận thấy phương trình luôn có nghiệm thì chứng minh điều đó.

Bước 2: Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình (có ẩn là tham số).

Bước 3: Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm

A 