Hướng dẫn học sinh lớp 11 vận dụng nhị thức newton để chứng minh các đồng nhất thức

Khi dạy bài nhị thức Newton cho học sinh khối 11, đa số học sinh đều cảm thấy bài toán dạng này khá phức tạp và cồng kềnh.. Đặc biệt là các bài toán chứng minh đẳng thức, nhiều học sinh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN

- -SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 VẬN DỤNG NHỊ THỨC NEWTON ĐỂ CHỨNG MINH

CÁC ĐỒNG NHẤT THỨC

Người thực hiện: Lê Văn Hùng

Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2019

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 2

1.1 Lí do chọn đề tài 2

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm 3

2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 3

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.1.1 Một số khái niệm cơ bản 3

2.1.2 Một vài lưu ý khác 4

2.2 Thực trạng của vấn đề 4

2.3 Các biện pháp tiến hành 4

2.3.1 Các bài toán áp dụng trực tiếp công thức Nhị thức Newton 4

2.3.2 Kết hợp với cấp số nhân và một số phép biến đổi khác 9

2.3.3 Áp dụng đạo hàm 10

2.4 Kết quả thực hiện đề tài 14

2.4.1 Tổ chức thực nghiệm 14

2.4.2 Đánh giá kết quả thực nghiệm 14

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 14

3.1 Kết quả nghiên cứu 14

3.2 Kiến nghị đề xuất 15

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Trong dạy học ở trường phổ thông nói chung và dạy học môn Toán nói riêng không chỉ trang bị cho học sinh các khái niệm, định lý, quy tắc mà còn cần trang bị cho các em các kỹ năng và phương pháp Vì vậy, hệ thống tri thức đó không chỉ bó hẹp trong bài lý thuyết mà nó còn có trong bài tập tương ứng, nó cũng không bó hẹp trong một chương mà nó còn kết hợp kiến thức nhiều chương với nhau Các bài toán là phương tiện hiệu quả không thể thay thế được

để giúp học sinh hệ thống kiến thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng và kỹ xảo Hoạt động giải toán chiếm một vị trí và vai trò quan trọng trong dạy học môn Toán

Khi dạy bài nhị thức Newton cho học sinh khối 11, đa số học sinh đều cảm thấy bài toán dạng này khá phức tạp và cồng kềnh Đặc biệt là các bài toán chứng minh đẳng thức, nhiều học sinh đều chưa biết bài toán làm như thế nào và xuất phát từ đâu để giải quyết bài toán Để rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng nhị thức Newton chứng minh đẳng thức có vai trò quan trọng trong phát triển tư duy của học sinh Giúp học sinh có một mạch tư duy sáng tạo và hệ thống lại kiến thức đã học

Khi dạy bài này mà chỉ nêu cho học sinh một số bài toán thì chưa đủ để hình thành cho học sinh một mạch tư duy dẫn đến học sinh khi gặp bài toán chứng minh các đồng nhất thức có sử dụng nhị thức Newton đều gặp khó khăn khi tìm lời giải bài Toán Vì vậy dạy cho học sinh kỹ năng giải các bài toán dạng này có vai trò quan trọng trong phát triển tư duy của học sinh lớp 11

Vì những lý do trên đây tôi quyết định chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh

lớp 11 vận dụng nhị thức Newton để chứng minh các đồng nhất thức”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Nhằm nâng cao trình độ chuyên môn trong dạy bài "Nhị thức Newton"; chia sẻ một vài kinh nghiệm về một hướng tư duy giải các bài toán về nhị thức Newton

- Rèn luyện tư duy cho học sinh trong giải các bài toán Nhị thức Newton qua đó nâng cao trình độ tư duy Toán học

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu các kiến thức về công thức khai triển Nhị thức Newton và các bài toán sử dụng công thức khai triển Nhị thức Newton để giải quyết

- Học sinh lớp 11B3 và 11B8 trường THPT Như Xuân – Huyện Như Xuân – Thanh Hóa

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp xây dựng cơ sở lí thuyết; phương pháp điều tra khảo sát thực tế; phương pháp thống kê, xử lí số liệu

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

- Thay đổi để một số đẳng thức để mang tính thời sự hơn

- Kết hợp thêm cấp số nhân và một số kỹ năng biến đổi để thêm các dạng bài tập phong phú hơn

2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

1.1.1 Một số khái niệm cơ bản

a Giai thừa:

Định nghĩa: Với n  và n  Tích của n số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n 1.

được gọi là n - giai thừa Ký hiệu: ! n

Ta có : ! 1.2 n  n

* Quy ước : 0! 1 và 1! 1

b Hoán vị:

Định nghĩa : Cho tập hợp X gồm n phần tử (n >1) Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp X được gọi là một hoán vị của n phần tử đó

Ký hiệu số hoán vị của n phần tử là P n, ta có công thức:

P n n!

c Chỉnh hợp:

Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử Mỗi bộ gồm k 1 k n   phần

tử sắp thứ tự của tập hợp X được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử

của X Ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là A n k, ta có công thức:

!

k n

n A

n k





d Tổ hợp

Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử Mỗi tập con gồm k0 k n

phần tử của X được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho Ký hiệu

số tổ hợp chập k của n phần tử là C n k, ta có công thức:

k n

n!

C = k!(n - k)!

e

Nhị thức Newton :



n

k=0 (a + b) = C a b + C a b + C a b + + C a b = C a b

1.1.2 Một vài lưu ý khác

a Tổ hợp có hai tính chất quan trọng sau đây:

+) C = C n k n n-k với mọi 0,1, ,k  n

+) C +C n k n k+1 = C n+1 k+1 với mọi 0,1, ,k  n 1

b Một số trường hợp đặc biệt của công thức khai triển nhị thức Newton:

n

i 0



(1)

n

i 0



(2)

c Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân có công bội q

q 0;q 1 

1 1

1

n n

q

S u

q







2.2 Thực trạng của vấn đề

Trong quá trình giảng dạy và thực tiễn tại các lớp tôi thấy học sinh đều thật sự chưa hứng thú với các bài toán có liên quan đến Nhị thức Newton Mà đây là một mảng kiến thức mà trong các đề thi Đại học, Cao đẳng thường có nên giúp học sinh có hứng thú và có kỹ năng giải quyết các bài toán dạng này là một nhiệm vụ quan trong trong giảng dạy môn toán ở trường phổ thông

Qua kiểm tra trước khi tác động tôi đã thu được kết quả như sau:

số

Điểm

Số

Số

Số lượn g

Tỷ lệ

2018 - 2019

2.3 Các biện pháp tiến hành

1.1.3 Các bài toán áp dụng trực tiếp công thức Nhị thức

Newton.

Xuất phát từ việc khai triển hai nhị thức sau:

Bằng việc khéo léo chọn x và n ta được rất nhiều đẳng thức cần chứng minh.

Từ đẳng thức (1) ta chọn x  và 1 n 2019 ta có bài toán sau:`

Bài toán 1 Chứng minh: C20190 C12019  C10092019 22018

Phân tích:

Bài toán trên gợi cho ta sử dụng công thức nào để chứng minh?

Khi các em đã biết đẳng thức (1) thì dễ dàng nhận ra công thức cần áp dụng cho trường hợp x  và 1 n 2019

Nhưng một số học sinh sẽ gặp trở ngại vì vế trái chỉ cộng đến số hạng

1010

2019

2019

dụng công thức C = C n k n n-k vào trường hợp này.

Lời giải: Ta có:  2019 0 1 2 2 2019 2019

Với x  ta có: 1 C20190 C12019  C20192019 22019

Mặt khác ta lại có: C20190 C20192019;C12019 C20192018; ;C20191009 C20191010 nên ta có:

C C  C C C  C

Suy ra: C20190 C20191  C10092019 22018

Bình luận: Từ đẳng thức (1) chúng ta khéo léo chọn x thì sẽ được nhiều đẳng

thức khác nhau Như:

- Với x  ta được đẳng thức: 2 3n C n0 2C1n 22C n2  2 n C n n

- Với x  ta được đẳng thức: 3 4n C n03C n132C n2  3 n C n n

Như vậy qua bài toán này học sinh sẽ tự hình thành nhiều bài toán tương tự như vậy.

Bài toán 2: Chứng minh đẳng thức: 0 2 1 22 2  1 2n n n  1n

Phân tích bài toán:

- Bài toán này ta thấy ở vế trái ngoài việc xuất hiện các số có dạng C n k còn có số

2 có số mũ tăng dần từ 0 đến n và dấu âm dương xen kẽ.

- Như vậy, nếu học sinh đã nắm vững đẳng thức (2) thì phát hiện ngay cách làm; ngược lại giáo viên nên dẫn dắt học sinh đến đẳng thức (2)

Lời giải:

Thay x  ta được 2 C n0  2C n1 22C n2    1 2n n C n n   1n

Bình luận:

- Qua bài toán này ta thấy vai trò quan trọng của hai đẳng thức (1) và (2) trong các bài toán chứng minh các đẳng thức có chứa có số có dạng C n k.

- Bằng việc khéo léo chọn , k n ta được các đẳng thức khác nhau

- Qua đây học sinh sẽ tự tạo được cho mình nhiều bài toán tương tự.

* Từ (2) nếu ta thay n bởi 2n ta được khai triển như sau:

Nếu thay x  dẫn ta đến bài toán khá thú vị như sau:1

Bài toán 3: Chứng minh đẳng thức sau:

      

Phân tích bài toán: Qua phân tích ở trên khi gặp bài toán này thì các em cũng

đã phần nào định hướng được cách làm

Để làm bài toán này ta xuất phất từ đẳng thức (3) và khéo léo chọn x thì ta sẽ

được nhiều bài toán khác nhau Bài toán này chỉ là bài toán mở đầu cho những bài toán khó hơn

Lời giải:

Với x  ta có: 1 1 12n 20 21 22 23 C2 12n 22n

      

Bình luận: - Khi giải xong bài toán này giáo viên gợi cho học sinh kết hợp bài

toán 1 và bài toán 2 với nhau thì sẽ được kết quả như thế nào?

- Bây giờ ta lại quay lại với hai nhị thức:

 2 0 1 2 2 2 2

Cộng vế với vế của (3) và (4) ta được:

2

n

    

(5)

Từ (5) chọn x  ta được bài toán1

Bài toán 4 : Chứng minh đẳng thức sau: 12 23 22 1n 22 1n

   

      

Với x  ta có: 1 20 12 22 22n 22n

C C C  C 

Vậy: 12 23 22 1n 22 1n

   

Bình luận: Từ (5) nếu ta khéo léo chọn x ta sẽ được bài toán thú vị hơn

Chẳng hạn ta chọn x  ta được bài toán:3

2 3 2 3 n 2n 2 3 2 3 n 2n 2 n 2 n 1

Chọn x  ta được bài toán: 4

2

- Qua bài này có thể yêu cầu học sinh tính tổng các số hạng có chứa số C n k

như sau:

+) Tính tổng: a) C201 C203  C 1920

b) C12020 C20203  C20202019

c) C20180 C20181  C20182018

Bài toán 5: Chứng minh đẳng thức sau: C C n0. m p C C n1. m p1 C C n p. m0 C n m p



Phân tích: - Khi gặp bài toán này lần đầu tiên các học sinh đều lúng túng chưa

biết phải giải quyết thế nào Nhưng nếu phân tích kỹ bài toán này cũng xuất phát

từ việc khai trển nhị thức 1 x  n và kết hợp với một số phép toán khác

- Khi giảng dạy bài toán này giáo viên cần chỉ rõ ý nghĩa của từng số hạng C n k.

Cần đặt ngay câu hỏi là: "Liệu C n m p có phải là hệ số của p

x trong khai triển nhị

thức hay không?"; trong khi đó bên vế trái trong mỗi số hạng đều chứa các số có dạng C C n i. m j với i  j k

- Từ đây giáo viên gợi ý cho học sinh phân tích biểu thức 1x n 1xm rồi tìm hệ số của x trong khai triển p

Lời giải:

Ta có 1 x n 1 xm 1 xn m

Khai triển vế trái ta có:

Vậy :

Hệ số của x p ở vế trái là: C C n0. m p C C n1. m p1 C C n p. m0

   Khai triển vế phải ta có:

Hệ số của x p ở vế phải là: C n m p

Đồng nhất hệ số hai vế ta được: C C n0. m p C C n1. m p1 C C n p. m0 C n m p



Bình luận: Qua bài toán này nếu ta đặc biệt hóa bài toán ta được nhiều bài

toán khác Chẳng hạn:

- Nếu ta thay m n  và tìm hệ số của x n hai vế ta được đẳng thức sau:

 0 2  1 2  2

2

C  C   C C

- Nếu cho n20, m10 và p  ta được:8

20 10 20 10 20 10 30

C C C C  C C C

- Nếu cho n m 10, p10 thì ta có:

 0 2  1 2  102 10

C  C   C C

Như vậy từ một bài toán tổng quát chúng ta đã chỉ cho học sinh nhiều bài toán khác nhau nhờ đặc biệt hóa Từ đó học sinh sẽ tự tìm ra nhiều bài toán bổ ích hơn nữa.

Bài tập tự luyện:

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) C20191010 C20191011C10122019  C10192019 22018

b) C20180  2C20181 22C20182  2 2018C20182018 1

2018 3 2018 3 2018 2 2 1

d) C C150 1010 C C151 109  C C1510 100 C3510

1.1.4 Kết hợp với cấp số nhân và một số phép biến đổi

khác

1 x x  x a a x a x  a x

0C11 1 11C 2C11 11 11C

S a  a a   a

Phân tích bài toán: Đây là một bài toán mà rất nhiều học sinh khi gặp đều rất

lúng túng, không biết phải bắt đầu từ đâu; biến đổi như thế nào? Nhưng nếu bình tĩnh thì có thể thấy vế trái của giả thiết là tổng của một cấp số nhân, từ đó gợi ý cho học sinh khai thác triệt để giả thiết này và tiếp tục gợi ý để học sinh tìm ra hướng giải quyết bài toán

Lời giải

Ta có 1 x x2  x10 là tổng của một cấp số nhân có 1 1

q x u











11

1

1

x

x





Ta có x11 111 x 1111 x x2 x1011

x11 111 x 111a0 a x a x1 2 2 a x110 110, 1 

Xét vế phải của  1 :

 11 2 110

Ta dễ nhận thấy tổng S là tổng hệ số của số hạng chứa x của vế phải:11

Vậy hệ số của số hạng chứa x của vế phải là:11

0C11 1 11C 2C11 11 11C

S a  a a   a

Số hạng chứa x của vế trái của 11  1 là: 1  10 11 1

11

Mà số hệ số chứa x của 2 vế phải bằng nhau11

 10

1

11

S

Bình luận: Qua bài toán này thì học sinh sẽ hình thành được nhiều kỹ năng

toán học như: khái quát hóa; tổng hợp hóa,

- Từ bài toán này giáo viên có thể yêu cầu học sinh tìm hệ số của x x ở hai10; 12

vế ta sẽ được một số đẳng thức khác.

Bài toán 7 Với n,n2 và thỏa mãn 22 32 42 2

5

n

2

4 !

P

n







Phân tích bài toán: Đây là một bài toán khá lạ lẫm, yêu cầu khá cao đối với học

sinh lớp 11 Để giải quyết được bài toán cần phải có kiến thức thật sâu sắc về toán học

Lời giải

5

n

C C C  C 

n n



1.2 2.3 3.4 n 1 n 5

      





Vậy  

10 4 ! 90

Bình luận: Qua bài toán này ta thấy cần phải có kỹ năng biến đổi tốt mới có

thể giải quyết được nó

1.1.5 Áp dụng đạo hàm

a.

Đạo hàm cấp 1.

Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần hoặc giảm dần từ 1, 2,

3, , n hay , , 3, 2, 1n  tức là số hạng đó có dạng k

n

1

k n k k

n

kC a b 

thì ta có thể dùng đạo hàm cấp 1 để tính

Lấy đạo hàm hai vế theo x ta được:

Đến đây thay x bằng hằng số thích hợp ta được tổng cần tìm.

Bài toán 8: Chứng minh: C n1 2C n23C n3 4C n4   1n1nC n n 0

Phân tích bài toán: Trong bài toán này ta thấy thiếu một số hạng có chứa C n0 và

hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần, qua đó đã gợi ý cho ta là lấy đạo hàm rồi chọn

x cho phù hợp

Lời giải: Ta có 1 n 0 1 2 2 n n

Bài toán 9: Chứng minh: 2014C20130 2013C20131  C20132013 2015.22012

Phân tích bài toán: Hệ số trước tổ hợp giảm dần từ 2014, 2013, …, 1 nên dùng

đạo hàm là điều dễ hiểu: x12013 C20130 x2013C12013x2012  C20132013

Bây giờ nếu đạo lấy đạo hàm thì số hạng đầu tiên chỉ được 2013C20130 x2012 trong

khi đó đề đến 2014 do đó ta phải nhân thêm với x vào đẳng thức trên rồi mới

dùng đạo hàm:

 12013 20130 2014 12013 2013 20132013

 2012  0 2013 1 2012 2013

Thay x  vào ta tìm được tổng là 1 2015.22012

Lời giải : Ta có: x12013 C20130 x2013C12013x2012  C20132013

Nhân hai vế với x ta được:

Lấy đạo hàm hai vế ta được

x120122014x1 2014C20130 x2013 2013C12013x2012 C20132013

2014C 2013C  C 2015.2

Bình luận: Qua bài toán 8 và bài toán 9 ta thấy một điều là khi lấy đạo hàm

cần xem xét kỹ hệ số để lấy đạo hàm đúng thời điểm cần thiết ta mới giải quyết được bài toán chứ không phải khi gặp hệ số tăng dần hay giảm dần là lấy đạo hàm ngay.

b.Đạo hàm cấp 2.

Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp có dạng :

1.2, 2.3, ,  n 1 n hay nn 1 , , 3.2, 2.1   hay 1 , 2 , , 2 2  n2 (không kể dấu) tức có dạng k k( 1)C a n k n k

 1 k n k k

n

k k C a b

Khi đó đạo hàm hai vế theo x ta được:

Đạo hàm lần nữa:

Đến đây ta gần như giải quyết xong ví dụ toán chỉ việc thay x bởi

hằng số thích hợp nữa thôi

Bài toán 10: Cho f x   1 x n, n;n2

a Tính f  1

Phân tích bài toán: Bài toán a là bài toán đơn giản, nhưng qua bài toán a gợi ý

cho ta bài b Nhìn kỹ hệ số của bài b ta thấy ngay phải lấy đạo hàm liên tiếp hai lần đẳng thức (1) rồi chọn x  1.

Lời giải:

a f x  n1 xn1 f x  n n 1 1  xn2 f  1 n n 2 2 n2

Chọn x  ta có: 1 2.1C n2 3.2C n3 n 1nC n n n n 1 2 n2

Bài toán 11: Chứng minh rằng

Phân tích bài toán: Khi nhìn vào các hệ số đứng trước tổ hợp ta nghĩ ngay bài

toán này phải dùng đạo hàm cấp 2 để giải quyết, nhưng phải khéo léo vì nếu làm như bài toán 7 thì không giải quyết được Đến đây cần gợi ý cho học sinh làm thế nào để khi lấy đạo hàm lần 1 được hệ số k mà lần 2 cũng được hệ số k Điều này dẫn đến suy nghĩ cả hai lần lấy đạo hàm ở một số hạng đều có số mũ là k Vậy sau khi lấy đạo hàm cần làm thế nào để lần 2 được số mũ như cũ trước khi lấy đạo hàm

Lời giải: Với bài toán này ta giải như sau:

Nhân 2 vế với x  ta được: 0 nx1 xn1 xC n1 2x C2 n2 3x C3 n3 nx C n n n

Lấy đạo hàm hai vế lần nữa ta được:

Bình luận: Như vậy cũng lấy đạo hàm cấp 2 nhưng chỉ cần khéo léo nhân x ở

hai vế trước khi lấy đạo hàm cấp 2 ta thấy ngay bài toán khá hay Cũng lấy đạo hàm hai vế cũng nhân hai vế với x nhưng nếu nhân x ở hai vế trước khi lấy đạo hàm liên tiếp hai lần thì sao Ta được bài toán tiếp theo

Bài toán 12: Chứng minh rằng: