SKKN hướng dẫn học sinh lớp 11 vận dụng nhị thức newton để chứng minh các đồng nhất thức

Các bài toán là phương tiện hiệu quả không thể thay thế được để giúp học sinh hệ thống kiến thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng và kỹxảo.. Khi dạy bài nhị thức Newton cho học sin

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN

- -SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 VẬN DỤNG NHỊ THỨC NEWTON ĐỂ CHỨNG

MINH CÁC ĐỒNG NHẤT THỨC

Người thực hiện: Lê Văn Hùng Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2019

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 2

1.1 Lí do chọn đề tài 2

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm 3

2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 3

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.1.1 Một số khái niệm cơ bản 3

2.1.2 Một vài lưu ý khác 4

2.2 Thực trạng của vấn đề 4

2.3 Các biện pháp tiến hành 4

2.3.1 Các bài toán áp dụng trực tiếp công thức Nhị thức Newton 4

2.3.2 Kết hợp với cấp số nhân và một số phép biến đổi khác 9

2.3.3 Áp dụng đạo hàm 10

2.4 Kết quả thực hiện đề tài 14

2.4.1 Tổ chức thực nghiệm 14

2.4.2 Đánh giá kết quả thực nghiệm 14

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 14

3.1 Kết quả nghiên cứu 14

3.2 Kiến nghị đề xuất 15

1

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Trong dạy học ở trường phổ thông nói chung và dạy học môn Toán nóiriêng không chỉ trang bị cho học sinh các khái niệm, định lý, quy tắc mà còn cầntrang bị cho các em các kỹ năng và phương pháp Vì vậy, hệ thống tri thức đókhông chỉ bó hẹp trong bài lý thuyết mà nó còn có trong bài tập tương ứng, nócũng không bó hẹp trong một chương mà nó còn kết hợp kiến thức nhiềuchương với nhau Các bài toán là phương tiện hiệu quả không thể thay thế được

để giúp học sinh hệ thống kiến thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng và kỹxảo Hoạt động giải toán chiếm một vị trí và vai trò quan trọng trong dạy họcmôn Toán

Khi dạy bài nhị thức Newton cho học sinh khối 11, đa số học sinh đềucảm thấy bài toán dạng này khá phức tạp và cồng kềnh Đặc biệt là các bài toánchứng minh đẳng thức, nhiều học sinh đều chưa biết bài toán làm như thế nào vàxuất phát từ đâu để giải quyết bài toán Để rèn luyện cho học sinh kỹ năng sửdụng nhị thức Newton chứng minh đẳng thức có vai trò quan trọng trong pháttriển tư duy của học sinh Giúp học sinh có một mạch tư duy sáng tạo và hệthống lại kiến thức đã học

Khi dạy bài này mà chỉ nêu cho học sinh một số bài toán thì chưa đủ đểhình thành cho học sinh một mạch tư duy dẫn đến học sinh khi gặp bài toánchứng minh các đồng nhất thức có sử dụng nhị thức Newton đều gặp khó khănkhi tìm lời giải bài Toán Vì vậy dạy cho học sinh kỹ năng giải các bài toán dạngnày có vai trò quan trọng trong phát triển tư duy của học sinh lớp 11

Vì những lý do trên đây tôi quyết định chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh

lớp 11 vận dụng nhị thức Newton để chứng minh các đồng nhất thức”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Nhằm nâng cao trình độ chuyên môn trong dạy bài "Nhị thức Newton";chia sẻ một vài kinh nghiệm về một hướng tư duy giải các bài toán về nhị thứcNewton

- Rèn luyện tư duy cho học sinh trong giải các bài toán Nhị thức Newtonqua đó nâng cao trình độ tư duy Toán học

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu các kiến thức về công thức khai triển Nhị thức Newton

và các bài toán sử dụng công thức khai triển Nhị thức Newton để giải quyết

- Học sinh lớp 11B3 và 11B8 trường THPT Như Xuân – Huyện NhưXuân – Thanh Hóa

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp xây dựng cơ sở lí thuyết; phương pháp điều tra khảo

sát thực tế; phương pháp thống kê, xử lí số liệu

2

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

- Thay đổi để một số đẳng thức để mang tính thời sự hơn

- Kết hợp thêm cấp số nhân và một số kỹ năng biến đổi để thêm các dạngbài tập phong phú hơn

2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

1.1.1 Một số khái niệm cơ bản

phần tử của X được gọi là một tổ hợp chập k

của n phần tử đã cho Ký hiệu

Qua kiểm tra trước khi tác động tôi đã thu được kết quả như sau:

ĐiểmTổng

ta có bài toán sau:`

Phân tích:

Bài toán trên gợi cho ta sử dụng công thức nào để chứng minh?

Khi các em đã biết đẳng thức (1) thì dễ dàng nhận ra công thức cần áp dụng cho trường hợp x 1

Phân tích bài toán:

đến n và dấu âm dương xen kẽ.

-Như vậy, nếu học sinh đã nắm vững đẳng thức (2) thì phát hiện ngay cách làm;ngược lại giáo viên nên dẫn dắt học sinh đến đẳng thức (2)

C20191010

5

Bằng việc khéo léo chọn k,n

ta được các đẳng thức khác nhau

-Qua đây học sinh sẽ tự tạo được cho mình nhiều bài toán tương tự.

* Từ (2) nếu ta thay n bởi 2n

ta được khai triển như sau:

1 x 2n C 20n C 21n x C 22n x 2 C 22n n x 2n (3)

Nếu thay x 1

dẫn ta đến bài toán khá thú vị như sau:

Bài toán 3: Chứng minh đẳng thức sau:

C20n C22n C 22n n C21n C 21 n C2 n1

Phân tích bài toán: Qua phân tích ở trên khi gặp bài toán này thì các em cũng

đã phần nào định hướng được cách làm

Để làm bài toán này ta xuất phất từ đẳng thức (3) và khéo léo chọn x thì ta sẽ

được nhiều bài toán khác nhau Bài toán này chỉ là bài toán mở đầu chonhững bài toán khó hơn

Bình luận: - Khi giải xong bài toán này giáo viên gợi cho học sinh kết hợp

bài toán 1 và bài toán 2 với nhau thì sẽ được kết quả như thế nào?

- Bây giờ ta lại quay lại với hai nhị thức:

1 x 2n C 20n C 21n x C 22n x 2 C 2n x 2n (3)

1 x 2n C 20n C 21n x C 22n x 2 C 22n n x 2n (4)

Cộng vế với vế của (3) và (4) ta được:

1 x 2 n 1 x 2n 2 C20n C 22n C2 n

6

C 20n C 22n C22n n 1 x 2n 1 x 2n

Từ (5) chọn x

1

ta được bài toán

Bài toán 4 : Chứng minh đẳng

Phân tích: - Khi gặp bài toán này lần đầu tiên các học sinh đều lúng túng chưa

biết phải giải quyết thế nào Nhưng nếu phân tích kỹ bài toán này cũng xuất phát

từ việc khai trển nhị thức 1 x n

và kết hợp với một số phép toán khác.

n .

Cần đặt ngay câu hỏi là: "Liệu có phải là hệ số của x p trong khai triển nhị

thức hay không?"; trong khi đó bên vế trái trong mỗi số hạng đều chứa các số códạng C

n i.C

m j với i j k

C n m

7

- Từ đây giáo viên gợi ý cho học sinh phân tích biểu thức 1 xn1 xm

- Nếu ta thay m n và tìm hệ số của xn

hai vế ta được đẳng thức sau:

Phân tích bài toán: Đây là một bài toán mà rất nhiều học sinh khi gặp đều rất

lúng túng, không biết phải bắt đầu từ đâu; biến đổi như thế nào? Nhưng nếubình tĩnh thì có thể thấy vế trái của giả thiết là tổng của một cấp số nhân, từ đógợi ý cho học sinh khai thác triệt để giả thiết này và tiếp tục gợi ý để học sinhtìm ra hướng giải quyết bài toán

Mà số hệ số chứa x11

của 2 vế phải bằng nhau

S C111 1 10 11

Bình luận: Qua bài toán này thì học sinh sẽ hình thành được nhiều kỹ năng

toán học như: khái quát hóa; tổng hợp hóa,

- Từ bài toán này giáo viên có thể yêu cầu học sinh tìm hệ số của x10; x12

Phân tích bài toán: Đây là một bài toán khá lạ lẫm, yêu cầu khá cao đối với

học sinh lớp 11 Để giải quyết được bài toán cần phải có kiến thức thật sâu sắc

Bình luận: Qua bài toán này ta thấy cần phải có kỹ năng biến đổi tốt mới

có thể giải quyết được nó

Cụ thể: 1 x n C n0 C n1 x C n n x n (6)

Lấy đạo hàm hai vế theo x ta được:

n 1 x n1 C 1 2C 2 x nC n x n1 (7)

Đến đây thay x bằng hằng số thích hợp ta được tổng cần tìm.

Bài toán 8: Chứng minh: C n1 2C n2 3C n3 4C n4 .1 n1 nC n n

Phân tích bài toán: Hệ số trước tổ hợp giảm dần từ 2014, 2013, …, 1 nên dùng

C20132013

Bây giờ nếu đạo lấy đạo hàm thì số hạng đầu tiên chỉ được2013C 2013 0

x2012

trongkhi đó đề đến 2014

do đó ta phải nhân thêm với x vào đẳng thức trên

rồi mới dùng đạo hàm:

11

2014C 201302013C 20131 C20132013 2015.22012

Bình luận: Qua bài toán 8 và bài toán 9 ta thấy một điều là khi lấy đạo hàm

cần xem xét kỹ hệ số để lấy đạo hàm đúng thời điểm cần thiết ta mới giải

quyết được bài toán chứ không phải khi gặp hệ số tăng dần hay giảm dần là lấy đạo hàm ngay.

Phân tích bài toán: Bài toán a là bài toán đơn giản, nhưng qua bài toán a gợi

ý cho ta bài b Nhìn kỹ hệ số của bài b ta thấy ngay phải lấy đạo hàm liên tiếp

Chọn x 1 ta có: 2.1C n2 3.2C n3 n 1 nC n n n n 1 2n 2

Bài toán 11: Chứng minh rằng

12.C n122.C n2 32.C n3 n 2 C n n n n 1 2n 2

Phân tích bài toán: Khi nhìn vào các hệ số đứng trước tổ hợp ta nghĩ ngay bài

toán này phải dùng đạo hàm cấp 2 để giải quyết, nhưng phải khéo léo vì nếu làmnhư bài toán 7 thì không giải quyết được Đến đây cần gợi ý cho học sinh làm thế nào để khi lấy đạo hàm lần 1 được hệ số k mà lần 2 cũng được hệ số k Điều này dẫn đến suy nghĩ cả hai lần lấy đạo hàm ở một số hạng đều có số mũ là k Vậy sau khi lấy đạo hàm cần làm thế nào để lần 2 được số mũ như cũ trước khi lấy đạo hàm

Lời giải: Với bài toán này ta giải như sau:

vào ta được điều phải chứng minh

Bình luận: Như vậy cũng lấy đạo hàm cấp 2 nhưng chỉ cần khéo léo nhân x ở

hai vế trước khi lấy đạo hàm cấp 2 ta thấy ngay bài toán khá hay Cũng lấy đạo hàm hai vế cũng nhân hai vế với x nhưng nếu nhân x ở hai vế trước khi lấy đạo hàm liên tiếp hai lần thì sao Ta được bài toán tiếp theo

Bài toán 12: Chứng minh rằng:

13

2.1.C 201913.2.C 20192 2020.2019.C20192019 2019.2022.2 2017.

Chỉ là trường hợp đặc biệt nhưng ta cũng thấy bài toán khá cồng kềnh.

- Như vậy chỉ một bài toán nhưng trình tự thực hiện khác nhau cũng cho ta các kết quả khác nhau Phụ thuộc vào sự khéo léo của người làm toán.

Có thể nhân, chia ẩn x cho cả hai vế và tiến hành đạo hàm nhiều lần, cho

1.1.7 Đánh giá kết quả thực nghiệm

Kết quả làm bài kiểm tra của học sinh lớp thực nghiệm (TN) và học sinh lớp đối chứng (ĐC) được thể hiện thông qua bảng sau:

ĐiểmTổng

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Kết quả nghiên cứu.

Sáng kiến kinh nghiệm

1 Đã phần nào làm sáng tỏ thực trạng về khả sử dụng nhị thức Newton đểchứng minh các đồng nhất thức

2 Đã làm phần nào làm sáng tỏ một số con đường để tập luyện cho họcsinh khả năng phân tích, khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự hóa tronglàm toán

3 Thiết kế cách thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy họctích cực

4 Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi, tính hiệu quả của những định hướng sư phạm được đề xuất

5 Qua đây cho thấy để giải quyết được một bào toán khó yêu cầu họcsinh cần phải nắm chắc kiến thức cơ bản đã học, biết tổng quát hóa một bài toánđơn giản, biết kết hợp nhiều kiến thức đã học với nhau, biết tương tẹ hóa để pháttriển một bài toán, biết đặc biệt hóa để được bài toán hay hơn

Như vậy có thể khẳng định rằng: Sáng kiến kinh nghiệm hoàn thành đượcmục đích nghiên cứu và có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên

3.2 Kiến nghị đề xuất.

1 Đối với tổ nhóm chuyên môn nhà trường

- Các tổ chuyên môn nên tăng cường và nâng cao các buổi sinh hoạt chuyên môn thông qua nghiên cứu bài học vàcác buổi ngoại khóa Qua đó để tạođiều kiện cho giáo viên trình bày những ý tưởng về dạy các tiết dạy cụ thể, cách phát triển một bài toán nào đó để được một chuyên đề

- Trao đổi các sáng kiến kinh nghiệm của trường và của đồng nghiệp

đã đạt giải

2 Đối với Sở giáo dục và đào tạo

Nên giới thiệu phổ biến về các trường phổ thông các sáng kiến kinhnghiệm có chất lượng để cùng nhau trao đổi và áp dụng thực tế

15

Tài liệu tham khảo

- Đại số & giải tích 11 cơ bản – Nhà xuất bản giáo dục

- Đại số &giải tích 11 nâng cao – Nhà xuất bản giáo dục

- Bài tập Đại số & giải tích 11 – Nhà xuất bản giáo dục

- Bài tập Đại số & giải tích 11 nâng cao – Nhà xuất bản giáo dục

- Đại số tổ hợp và Nhị thức Niu-tơn – Trần Phương

- Báo toán học và tuổi trẻ

- Mạng internet

- Đề thi THPT Quốc gia; Đề thi Đại học cao đẳng; Đề thi HSG các tỉnh trongnhững năm gần đây

DANH MỤC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP

CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: LÊ VĂN HÙNG

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THPT Như Xuân

2 Hướng dẫn học sinh lớp 11 vận Ngành GD

cấp tỉnhminh các đồng nhất thức

3

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người

khác

Lê Văn Hùng