DE HSG Lop9 - Co DAP AN

Một tiếp tuến của đờng tròn cắt các cạnh AB và AC theo thứ tự ở M và N... 3 điểm Kẻ NH vuông góc với AB... NguyÔn M¹nh Th¶o Bïi ThÞ T×nh NguyÔn Xu©n Hoµng.

đề thi học sinh giỏi lớp 9

( Thời gian 150 phút )

Bài 1 : Cho a,b,c là các số dơng Chứng minh :

2 2 2

2

b c c a a b

 

Bài 2 : Cho các số x , y không âm thoả mãn x +y = 1 Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của :

P

Bài 3 : Cho biểu thức :

A

a Tìm TXĐ và rút gọn biểu thức A

b Tìm các giá trị của x để A < 2

Bài 4 :

Cho đờng tròn (O) Nội tiếp tam giác đều ABC Một tiếp tuến của đờng tròn cắt các cạnh

AB và AC theo thứ tự ở M và N

a Tính diện tích tam giác AMN biết BC = 8cm ; MN = 3cm

b Chứng minh rằng : MN2 = AM2 + AN2 - MN AN

c Chứng minhAM AN 1

Bài 5 : Giải phơng trình : x 2 1 2  x22  1

.

………

H1 Hớng dẫn chấm

đề thi học sinh giỏi lớp 9

Bài 1 : ( 3 điểm )

Vì a,b,c là các số dơng áp dụng bất đẳng thức Cô -si ta có :

2 2

2

4

a

a

b c





Tơng tự :

2

2

4 4

b

c a

c

a b



 





 



( 1 điểm )

Cộng từng vế 3 đẳng thức ta đợc :

2 2 2

a b c

b c c a a b

Bài 2 : ( 3 điểm )

2 2 2 2 1 2 1 2 2

.

A

x y

Đặt xy = t thì 1 2 2 6

t



A nhỏ nhất 6

2

t



 nhỏ nhất 6

1

a M

a







 t+2 lớn nhất  t lớn nhất  1

4

t 

1

2

   Khi đó Min 2

3

A lớn nhất 6

2

t



 lớn nhất  t+2 nhỏ nhất  t nhỏ nhất  t = 0



 



Bài 3 : ( 6 điểm )

a TXĐ : 2

0

x

x





 



(1 điểm )

b Giải A< 2 ta đợc 1  2 x  1 2 Kết hợp với TXĐ suy ra các gioá trị phải tìm của x

Bài 4 : ( 8 điểm )

Gọi r là bán kính của (O) ; D và E là tiếp điểm trên

cạnh AB và AC

Đặt AB = AC = BC = a; AM =x ; AN = y ; MN = z

a (3 điểm )Tính 4 3

3

r  (1 điểm ) Lần lợt tính SADOE ; SMON

Và chú ý SAMN = SADOE - 2.SMON = 4 3 2

3 cm (2 điểm )

r r

r D

M

H

N

E

O

A

b (3 điểm )Kẻ NH vuông góc với AB Ta có 3

Theo định lý Py - Ta - go ta có :

MN2 = NH2 + HM2 =

2

2 2

3

c (2 điểm ) Dễ thấy x + y +z = 2 AD = a Hệ thức phải chứng minh tơng đơng với

a x a y     y z  x z 

 x(x+z) + y ( y + z ) = ( x+ z )( y+ z )

 x2 + xz + y2 + yz = xy + xz + yz + z2  x2 + y2 - xy = z2

Đẳng thức này đã đợc chứng minh ở câu b

Bài 5 : ( 2 điểm )

Đặt y = 1 - 2x2  y + 2x2 = 1 ( y  1 )

Ta có hệ phơng trình:

 

 

 

2

2

2 2

2

y x

y















* Với y = x ; y  1 ( * ), ta có :

(1b)  2x2 +x -1 = 0  x = 1 ; x = 1/2 thoả mãn (*)

- Với 1 2 1

;

x

y  x ( ** ) ta có :

4

      Thoả mãn (**)

Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm

………

NguyÔn M¹nh Th¶o Bïi ThÞ T×nh NguyÔn Xu©n Hoµng