Vành và môđun Artin
Môđun Artin là một khái niệm trong lý thuyết vành, trong đó R là vành giao hoán và A là R-môđun Đặc điểm quan trọng của môđun Artin là mọi dãy giảm các môđun con của A đều dừng lại, tức là không có dãy nào có thể kéo dài vô hạn.
Một dãy giảm dần các môđun con của A được ký hiệu là A0 ⊇ A1 ⊇ ⊇ An ⊇ tồn tại với một k ∈ N sao cho Ak = An với mọi n ≥ k Vành R được gọi là vành Artin nếu nó là một R-môđun Artin, tức là mọi dãy giảm các lý thuyết của R đều dừng lại.
Mệnh đề sau cho ta một điều kiện tương đương với định nghĩa môđun Artin.
Mệnh đề 1.1.2 Cho Rlà vành giao hoán vàAlà mộtR−môđun Khi đó các điều kiện sau là tương đương
Mỗi tập con khác rỗng của môđun A đều có phần tử cực tiểu, điều này thể hiện một trong những tính chất quan trọng của môđun Artin Để hiểu rõ hơn về môđun này, chúng ta cần nhắc lại khái niệm độ dài của môđun Định nghĩa 1.1.3 nêu rõ rằng R là vành giao hoán khác không và M là một R−môđun.
(i) Một dãyM 0 ⊂M 1 ⊂ .⊂Mn =M các môđun con củaM được gọi là một xích. (ii) Xích 0=M 0 ⊂M 1 ⊂ ⊂Mn =M được gọi là một dãy hợp thành của M nếu
M i+1 /M i là các môđun đơn với mọii=0,1, ,n−1, tức làM i+1 /M i có đúng hai môđun con là0và chính nó.
(iii) Độ dài củaM, kí hiệu là` R (M), là cận trên đúng của các độ dài của các xích có dạng0=M 0 ⊂M 1 ⊂ .⊂Mn=M, trong đóMi6=M i+1 với mọii=0,1, ,n−1.
Một mô-đun M được coi là có độ dài hữu hạn nếu M có ít nhất một dãy hợp thành Trong trường hợp này, các dãy hợp thành của M đều có cùng độ dài, và độ dài của M chính là độ dài của một dãy hợp thành nào đó Hơn nữa, mỗi dãy tăng hoặc giảm thực sự các mô-đun con của M đều không có độ dài vượt quá độ dài của dãy hợp thành Định lý 1.1.4 khẳng định rằng các phát biểu sau là đúng.
(i) NếuRlà vành Artin thì mọi iđêan nguyên tố củaRđều tối đại.
Nếu R là vành Artin, thì R có hữu hạn các lý thuyết tối đại Định nghĩa chiều Krull: Cho R là một vành giao hoán, một dãy giảm thực sự các lý thuyết nguyên tố 0 ⊃ p1 ⊃ ⊃ pn của vành R được gọi là một xích nguyên tố có độ dài Cận trên của độ dài tất cả các xích nguyên tố trong R được gọi là chiều Krull của R.
Chiều của vành R được ký hiệu là dimR Định nghĩa 1.1.6 cho biết độ cao của iđêan p trong vành giao hoán R, với p là iđêan nguyên tố, được xác định qua chiều dài lớn nhất của mọi dãy giảm thực sự các iđêan nguyên tố Độ cao của iđêan I, ký hiệu là ht(I), được tính bằng ht(I) = inf{ht(p) | p ∈ Var(I)}, trong đó Var(I) là tập hợp các iđêan nguyên tố chứa I Định nghĩa 1.1.7 liên quan đến chiều của môđun M trong vành giao hoán R, được xác định bởi dimM = dim(R/Ann(M)), với Ann(M) là tập hợp các phần tử a ∈ R sao cho aM = 0 Nếu M là môđun không, thì quy ước dimM = -1.
Mệnh đề 1.1.8 R6=0là vành Artin nếu và chỉ nếuRlà vành Noerther vàdimR=0.
Bổ đề 1.1.9 Cho(R,m)là vành địa phương ChoAlàR−môđun Các phát biểu sau là đúng.
(i)`(A) nếu như với mỗi phần tử xi (i = 1, , k), không có phần tử nào thuộc tập hợp pvới mọi p ∈ (Att R (0 : A (x1, , xi−1)R)).
Rõ ràng rằng mộtA− đối dãy từ chiều>−1chính là mộtA− đối dãy đã được định nghĩa bởi A Ooishi trong [10].
Sau đây ta trình bày thêm một số tính chất về các iđêan nguyên tố gắn kết của các môđun Artin với một số điều kiện nhất định.
Bổ đề 2.1.2 Các phát biểu sau là đúng.
(i) Nếux∈msao chox∈/pvới mọip∈(Att R A) >s thì dim(R/AnnR(A/xA))≤s.
(ii)dim(R/Ann R A)≤snếu và chỉ nếu(Att R A) >s = /0 Trong trường hợp này, với bất kì môđun conBcủaAta luôn có(Att R B) s ⊆(Att R A) s
Chứng minh (i) LấyA=A 1 +ã ã ã+A t là một biểu diễn thứ cấp tối tiểu củaA, trong đú
Trong bài viết này, chúng ta giả thiết rằng tồn tại một số nguyên r với 0 ≤ r ≤ t, sao cho dim(R/pi) > s với mọi i ≤ r và dim(R/pi) ≤ s với mọi i > r Điều này dẫn đến việc phần tử x ∈ m thỏa mãn x ∉ pi với mọi i.
1≤i≤r Từ đó suy raxAi=Aivới mọii≤r Do đó ta có
(A 1 +ã ã ã+Ar) +xB (trong đúB=A r+1 + .+At)
B∩(A 1 +ã ã ã+Ar+xB). Kết hợp với Mệnh đề 1.2.5(iv) ta có dim(R/AnnR(A/xA)≤dim(R/AnnRB) =max i>r {dim(R/p i )} ≤s.
(ii) Theo Mệnh đề 1.2.5(iv) ta có dim(R/Ann R A) =max{dim(R/p)|p∈Att R A}.
Do đó dim(R/Ann R A)≤snếu và chỉ nếu(Att R A) >s = /0.
Lấy B là một môđun con của A và p thuộc (AttRB)s Theo Mệnh đề 1.2.5(iv), ta có min AttRB = min Var(AnnRB), dẫn đến p bao gồm AnnRB Hơn nữa, AnnRB cũng bao gồm AnnRA, do đó p bao gồm AnnRA Vì dim(R/p) = s và dim(R/AnnRA) ≤ s, ta suy ra p thuộc min Var(AnnRA).
Màmin AttRA=min Var(Ann R A) Từ đóp∈(Att R A) s Vậy(Att R B) s ⊆(Att R A) s
Bổ đề 2.1.3 Cho P−→ f A−→ g B−→ h Q là một dãy khớp của cácR− môđun Artin Giả sử rằngdim(R/Ann R P)≤svà dim(R/Ann R Q)≤s Khi đó
(Att R A) >s = (Att R B) >s và(Att R A) s ⊆(Att R B) s ∪(Att R P) s
Chứng minh rằng B = B₁ + ã ã ã + Bₜ là một biểu diễn thứ cấp tối tiểu của B, trong đó Bᵢ là pᵢ-thứ cấp Không mất tính tổng quát, ta giả sử tồn tại một số nguyên r với 0 ≤ r ≤ t sao cho dim(R/pᵢ) > s với mọi i ≤ r và dim(R/pᵢ) ≤ s với mọi i > r Do Imh ∼= B/Kerh, theo Mệnh đề 1.2.5(iii), ta có
AttR(Imh) =AttR(B/Kerh)⊆AttRB={p 1 , ,p t }.
Vì Imh⊆Q nên dim(R/Ann R Imh)≤ dim(R/Ann R Q)≤ s Theo Mệnh đề 1.2.5(iv), ta có dim(R/p)≤ s với mọi p ∈Att R Imh Điều này dẫn đến Att R (Imh)⊆ {p r+1 , ,p t } Lưu ý rằng Att R (B r+1 +ã ã ã+B t ) ={p r+1 , ,p t } và đặt p= T i>r p i.
Vì plà hữu hạn sinh, nên tồn tại n∈N sao cho p n ∑i>rB i = 0vàp n (Imh) =0 Do đó
0=p n (Imh) =p n (B/Kerh) Suy ra p n B⊆Kerh Rõ ràng dim(R/p)≤s Từ đó ta có p*pivới mọii≤r Dẫn đếnpBi=Bi với mọii≤r Suy ra p n B=p n (B 1 +ã ã ã+Br+∑ i>r
Đặt \( B_0 = B_1 + \mathbb{A} + \mathbb{B} \), khi đó \( B_0 = p_n B \subseteq \text{Ker} h = \text{Img} \) Điều này dẫn đến việc tồn tại mô-đun thương \( \text{Img}/B_0 \) Chú ý rằng \( \text{Att} R B_0 = \{p_1, \ldots, p_r\} \) và \( \text{Att} R (B/B_0) = \{p_{r+1}, \ldots, p_t\} \) Do đó, theo Mệnh đề 1.2.5(iv), ta có \( \text{dim}(R/\text{Ann} R (B/B_0)) \leq s \) và \( \text{dim}(R/\text{Ann} R (\text{Img}/B_0)) \leq s \) vì \( \text{Img}/B_0 \) là mô-đun con của \( B/B_0 \) Cuối cùng, từ Bổ đề 2.1.2(ii) và Mệnh đề 1.2.5(iii), ta có kết quả mong muốn.
(AttR(Img/B 0 )) s ⊆(AttR(B/B 0 ))s⊆(AttRB)s. Áp dụng Bổ đề 2.1.2(ii) và Mệnh đề 1.2.5(iii) cho dãy khớp
(Att R Img) >s ⊆(Att R (Img/B 0 )) >s ∪(Att R B 0 ) >s
= (Att R B 0 ) >s = (Att R B) >s và (1) (Att R Img) s ⊆(Att R (Img/B 0 )) s ∪(Att R B 0 ) s ⊆(Att R B) s (2)
(lưu ý rằng(Att R (Img/B 0 )) >s = /0và(Att R B 0 ) s = /0).
VìB/Img∼=Imh⊆Q, nêndim(R/AnnR(B/Img))≤s Từ đó theo Bổ đề 2.1.2(ii) ta có
Do đó từ dãy khớp0→Img→B→B/Img→0ta suy ra
(Att R B) >s ⊆(Att R (B/Img)) >s ∪(Att R Img) >s = (Att R Img) >s
Từ đó kết hợp với (1) ta được (Att R B) >s = (Att R Img) >s Bởi vì Kerg∼= P/Kerf và dim(R/Ann R P)≤snên ta được theo Bổ đề 2.1.2(ii) rằng(Att R Kerg) >s = /0 Suy ra
(AttRA) >s ⊆(AttR(A/Kerg)) >s ∪(AttR(Kerg)) >s
(Att R A) >s = (Att R (A/Kerg)) >s = (Att R Img) >s
Dẫn đến(AttRA) >s = (AttRB) >s Đối với khẳng định cuối, ta xét dãy khớp
Theo Mệnh đề 1.2.5(ii) ta có
(Att R A) s ⊆(Att R (P/Kerf)) s ∪(Att R Img) s
Vì vậy theo(2)ta suy ra rằng(Att R A) s ⊆(Att R P) s ∪(Att R B) s
Bổ đề 2.1.4 Lấy 0−→A 0 −→ A−→A 00 −→0 là dãy khớp các R− môđun Artin với dim(R/AnnRA 0 )≤s Khi đó với bất kì dãy các phần tử(x 1 , ,xk)củaRta có
Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo k Lấyk=1 vàx 1 ∈R là một phần tử tùy ý củaRta có biểu đồ giao hoán
Theo Bổ đề con Rắn, từ biểu đồ trên ta có dãy khớpKer−Coker
Vìdim(R/Ann R A 0 )≤stheo giả thiết, ta có dim(R/AnnR(0 : A 0 x 1 )≤svà dim(R/AnnR(A 0 /x 1 A 0 ))≤s.
Do đó, theo Bổ đề 2.1.3 ta có
Vìdim(R/AnnRA 0 )≤s,nên ta thu được theo Bổ đề 2.1.2(ii) rằng
(Att R (0 : A x 1 )) s ⊆(Att R (0 : A 00 x 1 )) s ∪(Att R A 0 ) s , nên trường hợpk=1được chứng minh Giả sửk>1 Từ dãy khớpKer−Coker ở trên, ta thu được hai dãy khớp
Vìdim(R/Ann R (0 : A 0 x 1 ))≤s, nên theo giả thiết quy nạp ta thu được từ dãy khớp thứ nhất rằng
= (AttR(0 : Im f (x 2 , ,x k )R)) >s , (Att R (0 : A (x 1 , ,x k )R)) s ⊆(Att R (0 : Im f (x 2 , ,x k )R)) s (3)
Vì(Att R (0 : A 0 x 1 )) s ⊆(Att R A 0 ) s theo Bổ đề 2.1.2(ii), nên ta có
Tiếp theo ta áp dụng hàm tử khớp tráiHom(R/(x 2 , ,x k )R;−)vào dãy khớp thứ hai, khi đó ta thu được dãy khớp
MàHomR(R/I,M)∼= (0 :M I)nên từ dãy khớp trên ta có dãy khớp
0→(0 : Im f (x 2 , ,x k )R)→(0 : A 00 (x 1 , ,x k )R)→(0 : A 0 /x 1 A 0 (x 2 , ,x k )R).Theo giả thiết, ta có dim(R/AnnR(0 : A 0 /x 1 A 0 (x 2 , ,x k )R)) ≤ s Do đó, bằng việc sử dụng Bổ đề 2.1.3 cho dãy khớp này, ta thu được rằng
(Att(0 : Im f (x 2 , ,xk)R)) >s = (Att(0 : A 00 (x 1 , ,xk)R)) >s , (Att(0 : Im f (x 2 , ,x k )R))s⊆(Att(0 : A 00 (x 1 , ,x k )R))s. Kết hợp với(3)và(4)ta có
Bổ đề 2.1.5 Một dãy (x 1 , ,xk) các phần tử của m là một A− đối dãy từ chiều >s nếu và chỉ nếu(x¯ 1 , ,x¯k)là mộtD(A) b p−dãy chính quy nghèo với mọibp∈Var(Ann
R bA) thỏa mãndim(R/bp∩R)>s Ở đây,x¯i là ảnh củaxi trongRb b p với mọii=1, ,k.
Chứng minh Lấy(x 1 , ,x k )là một A−đối dãy từ chiều>s Giả sử rằng tồn tại iđêan nguyên tố bp∈ Var(Ann
Để thỏa mãn điều kiện dim(R/bp∩R) > s, cần đảm bảo rằng (x¯ 1, , x¯ k) không phải là một D(A) b p-dãy chính quy nghèo Khi đó, sẽ tồn tại một số nguyên j thuộc {1, , k} và một lý thuyết về lý thuyết số liên quan đến các lý thuyết nguyên tố kết nối bqRb b p trong Ass.
Từ đó dẫn đếnbq∈Ass
R b(D(A)/(x 1 , ,x j−1 )D(A))vàbq⊆bp Chú ý rằng theo Mệnh đề 1.5.2 ta có
Theo Mệnh đề 1.5.3, đặt \( q = bq \cap R \) Dựa vào Mệnh đề 1.2.10, ta có \( q \in AttR(0 : A (x_1, \ldots, x_{j-1})R) \) Vì \( bq \subseteq bp \) và \( \bar{x_j} \in bqRb \) nên \( x_j \in bq \) và \( x_j \in R \), do đó \( x_j \in bq \cap R = q \) Rõ ràng rằng \( dim(R/q) \geq dim(R/bp \cap R) > s \) Điều này dẫn đến kết luận rằng \( (x_1, \ldots, x_k) \) không phải là một A-đối dãy từ chiều lớn hơn \( s \), tạo nên một mâu thuẫn.
Ngược lại, cho(x¯ 1 , ,x¯k)là mộtD(A) b p−dãy chính quy nghèo với mọibp∈Var(Ann
R bA) thỏa mãn dim(R/bp∩R) > s Giả sử rằng (x₁, , xk) không phải là A-đối dãy từ chiều lớn hơn s Khi đó, tồn tại j ∈ {1, , k} sao cho xj thuộc p với p ∈ (Att R (0 : A (x₁, , xj−1)R)) lớn hơn s nào đó Theo Mệnh đề 1.2.10, tồn tại bp thuộc Att.
R b(0 : A (x 1 , ,x j−1 )R)sao chobp∩R=p Do đó ta cóbp∈Ass
R b(D(A)/(x 1 , ,x j−1 )D(A))theo Mệnh đề 1.5.2 và Mệnh đề 1.5.3 Từ đó ¯ x j ∈bpRb b p ∈Ass
Theo định nghĩa, dãy (x¯ 1, , x¯ k) không phải là một dãy chính quy nghèo của (D(A)) b p khi dim(R/bp∩R) = dim(R/p) > s, điều này tạo ra mâu thuẫn Do đó, chúng ta có điều cần chứng minh.
Hệ quả 2.1.6 Nếu(x 1 , ,xk)là mộtA−đối dãy từ chiều>sthì (x n 1 1 , ,x n k k )cũng là
A−đối dãy từ chiều >svới mọi số nguyên dươngn 1 , ,nk
Chứng minh rằng (x₁, , xₖ) là một dãy A− đối từ chiều lớn hơn s Gọi n₁, , nₖ là các số nguyên dương Theo Bổ đề 2.1.5, dãy (x̄₁, , x̄ₖ) là một dãy chính quy nghèo D(A) với mọi bₚ thuộc Var(Ann).
R bA) thỏa mãn dim(R/bp∩R) > s Khi đó theo Mệnh đề 1.4.3
(x¯ n 1 1 , ,x¯ n k k ) cũng là mộtD(A) b p−dãy chính quy nghèo với mọi bp∈Var(Ann
R bA)thỏa mãn dim(R/bp∩R)>s Lại theo Bổ đề 2.1.5, ta có (x n 1 1 , ,x n k k )là một A− đối dãy từ chiều>s.
Chứng minh Định lý 1
Mục này nhằm chứng minh kết quả chính trong luận văn, cụ thể là Định lý 2.2.1 Theo định lý, giả sử (x1, , xk) là một A-đối dãy từ chiều > s, thì tập (Att R (0 : A) sẽ được xác định.
(x n 1 1 , ,x n k k )R)) >s độc lập vớin 1 , ,n k và tập S n 1 , ,n k(Att R (0 : A (x 1 n 1 , ,x n k k )R)) ≥s là hữu hạn.
Giả sử (x₁, , xₖ) là một A-đối dãy từ chiều > s và các số nguyên dương n₁, , nₖ được chọn Khi đó, (xₙ₁₁, , xₙₖₖ) cũng sẽ là một A-đối dãy từ chiều > s theo Hệ quả 2.1.6 Tiếp theo, chọn p thuộc AttR(0 : A (xₙ₁₁, , xₙₖₖ)R) với p > s Theo Mệnh đề 1.2.10, tồn tại bp thuộc Att.
R b(0 :A(x n 1 1 , ,x n k k )R)sao chobp∩R=p Từ đó kết hợp với Mệnh đề 1.5.3 ta thấy rằngbp∈Ass
R b(D(A)/(x n 1 1 , ,x n k k )D(A)) Do đó ta có bpRb b p∈Ass
Chú ý rằng x¯ 1 , ,x¯k ∈bpRb b p Suy ra (x¯ 1 , ,x¯k)là một D(A) b p− dãy chính quy theo Bổ đề 2.1.5 Do đó theo Mệnh đề 1.4.3 (ii) ta có
R b b p(D(A) b p/(x 1 , ,x k )D(A) b p).Theo Mệnh đề 1.5.3 bp∈Ass
Dẫn đếnp=bp∩R∈(Att R (0 : A (x 1 , ,x k )R)) >s theo Mệnh đề 1.2.10 Do đó
Hoàn toàn tương tự, ta có thể chỉ ra được rằng
Như vậy, các khẳng định trên suy ra rằng tập hợp (Att R (0 : A (x n 1 1 , ,x n k k )R)) >s không phụ thuộc vàon 1 , ,n k
Theo kết quả trên đây, để chứng minh ( S n
Để chứng minh tính hữu hạn của tập S n 1 , ,n k (Att R (0 : A (x n 1 1 , ,x n k k )R)) s, ta cần chỉ ra rằng tập Att R (0 : A (x n 1 1 , ,x n k k )R) là một tập hữu hạn Việc này có thể thực hiện bằng cách xác định các yếu tố cấu thành của tập hợp này và chứng minh rằng chúng không vượt quá một số lượng nhất định, từ đó khẳng định rằng S n 1 , ,n k cũng là một tập hữu hạn.
Lấyn 1 , ,n k là các số nguyên và lấyp∈(AttR(0 :A(x n 1 1 , ,x n k k )R))ssao cho p∈/Att R (0 : A (x 1 , ,x i )R),∀i=0, ,k−1.
Theo Mệnh đề 1.2.10 tồn tạibp∈Att
R b(0 : A (x n 1 1 , ,x n k k )R)sao chobp∩R=p Theo Mệnh đề 1.5.2 và theo Mệnh đề 1.5.3 nên ta có bp∈Att
R b p b(D(A) b p/(x n 1 1 , ,x n k k )D(A) b p).Ta yêu cầu rằng dãy(x¯ 1 , ,x¯ k )là một
D(A) b p−dãy chính quy Thật vậy, lấyi∈ {1, ,k}và lấy bqRb b p∈Ass
Khi đóbq⊆bpvà theo Mệnh đề 1.5.3 ta có bq∈Ass
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một số khái niệm liên quan đến lý thuyết và cấu trúc của các vành Đặt q = bq ∩ R, theo Mệnh đề 1.2.10, ta có q ∈ AttR(0 : A(x1, , xi−1)R) Vì bq ⊆ bp, nên suy ra q ⊆ p Do p không thuộc AttR(0 : A(x1, , xi−1)R), ta có q ≠ p Điều này dẫn đến dim(R/q) > dim(R/p) = s Với giả thiết rằng xi là (0 : A(x1, , xi−1)R) - đối dãy từ chiều lớn hơn s, ta kết luận rằng xi ∉ q Do đó, xi ∉ bq và x̄i ∉ bqRb p Cuối cùng, (x̄1, , x̄k) tạo thành một D(A) b p - dãy chính quy, từ đó yêu cầu đã được chứng minh.
Theo yêu cầu vừa rồi, ta dễ thấy rằng bpRb b p∈Ass
R b(D(A)/(x 1 , ,x k )D(A)), và do vậy bp∈ Att
R b(0 : A (x 1 , ,x k )R) theo Mệnh đề 1.5.3 Từ đó suy rap∈AttR(0 : A (x 1 , ,x k )R)theo Mệnh đề 1.2.10 Dẫn đến
Tính chất dưới đây được suy ra ngay từ Định lý 1.
Hệ quả 2.2.2 Giả sử rằngs∈ {−1,0,1} Lấy (x 1 , ,x k )là một A−đối dãy từ chiều
Brodmann - Nhan [2, Proposition 2.6] đã chứng minh rằng nếu (x 1 , ,xk) là một
M−dãy từ chiều >shoán vị được thì ( S n
Tập hợp Ass R (M/(x n 1 1 , ,x n k k )M) với điều kiện ≥s là hữu hạn Sử dụng Định lý 1, chúng ta có thể rút ra kết quả này dưới giả thuyết yếu hơn, cho phép loại bỏ tính chất "hoán vị được" của dãy.
Hệ quả 2.2.3 Giả sử rằng (x 1 , ,xk) là một M− dãy từ chiều > s Khi đó tập hợp
Chứng minh VìM là hữu hạn sinh nên theo Mệnh đề 1.5.1, ta cóD(M/(x 1 , ,x i−1 )M) là Artin Theo [11, Theorem 2.3] ta có
=Att R (0 : D(M) (x 1 , ,xk)R) với mọi số nguyêni=1, ,k Do đó(x 1 , ,x k )làD(M)−đối dãy từ chiều>s Theo Định lý 1 ta có( S n
1 , ,n k Att R (0 : D(M) (x n 1 1 , ,x n k k )R)) ≥s là một tập hợp hữu hạn Do đó
1 , ,n k AttR(D(M/(x n 1 1 , ,x n k k )M)) ≥s là một tập hợp hữu hạn Lại theo [11, Theorem
2.3] lần nữa, ta được tập( S n
Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương Artin
Trong chương này, chúng ta giả thiết rằng (R,m) là vành giao hoán Noether địa phương với lý thuyết iđêan cực đại duy nhất Xét Alà một R−môđun Artin và Mlà một R−môđun hữu hạn sinh với dimM=d Để chứng minh Định lý 2, cần nhắc lại một số kiến thức chuẩn bị cần thiết.
Môđun Cohen-Macaulay, vành catenary, thớ hình thức, và dãy chặt từ chiều > s
Môđun Cohen - Macaulay được định nghĩa cho một vành địa phương Noether (R,m) và một R-môđun hữu hạn sinh M, với điều kiện M = 0 hoặc depth(M) = dim(M) Vành R được gọi là vành Cohen - Macaulay nếu nó là R-môđun Cohen - Macaulay Dãy nguyên tố bão hòa được xác định cho các iđêan nguyên tố p⊂q của R, trong đó một dãy các iđêan nguyên tố p = p₀ ⊂ ⊂ pₙ = q là bão hòa nếu không tồn tại iđêan nguyên tố nào chen giữa pᵢ và pᵢ₊₁ Vành R được coi là catenary nếu với bất kỳ hai iđêan nguyên tố p, q của R với q ⊂ p, luôn tồn tại một dãy bão hòa các iđêan nguyên tố từ p đến q với cùng độ dài hữu hạn Nếu R là vành Noether và mọi R-đại số hữu hạn đều là catenary, thì R được gọi là catenary phổ dụng Cuối cùng, khái niệm thớ được định nghĩa thông qua đồng cấu vành f: A → B và ánh xạ a_f: Spec(B) → Spec(A), trong đó có một song ánh giữa (a_f)⁻¹(p) và X = Spec(S⁻¹(B/pB)) Spec(B N A k(p), với S = A \ p và k(p) = Aₚ/pAₚ.
Cho (R,m) là một vành địa phương, và f : R → Rb là đồng cấu chính tắc với Rb là đầy đủ m−adic của R Các thớ của f tại các lý thuyết nguyên tố của R được gọi là các thớ hình thức của R Định nghĩa 3.1.6 nêu rằng một dãy (x1, , xk) ⊆ m được gọi là một M−dãy chặt từ chiều > s nếu xj ∉ pv với mọi p ∈ S và thỏa mãn điều kiện di=0 (Att R H m i (M/(x1, , xj−1)M)) > s cho mọi j = 1, , k.
Chú ý rằng (Ass R N) >s ⊆ S dim i=0 N (Att R H m i (N)) >s với bất kì R− môđun hữu hạn sinh
Mỗi M−dãy chặt từ chiều lớn hơn s là một M−dãy từ chiều lớn hơn sl, theo định nghĩa trong tài liệu [2] Hơn nữa, các M−dãy chặt từ chiều lớn hơn 0 chính xác là f−dãy chặt theo định nghĩa của Cường, Morales và Nhàn trong tài liệu [5].
Chứng minh Định lý 2
Từ giờ, chúng ta coi R là vành catenary phổ dụng với mọi thớ hình thức thuộc loại Cohen - Macaulay Để chứng minh Định lý 2, cần thiết phải có một số kết quả bổ trợ.
Bổ đề 3.2.1 dim(R/AnnR(H m i (M)))≤ivới mọi số nguyêni≥0.
R là vành catenary phổ dụng với mọi thớ hình thức thuộc dạng Cohen-Macaulay Theo [4, Proposition 2.5], ta có Psupp i R (M) = Cos R (H m i (M)) cho mọi số nguyên i ≥ 0.
Cos R (A) ={p∈Spec(R)|Hom R (R p ,A)6=0} theo [4, p 226]) Chú ý rằng cũng theo [4] ta có
Var(p), mà min Att R (H m i (M) =min(Ann R (H m i (M))), cho nên ta có
Kết hợp lại ta có Psupp i R (M) =Var(AnnRH m i (M)) Mặt khác theo định nghĩa của tập
Var(AnnRH m i (M)) ={p∈Supp R M |H pR i−dim (R/p) p (M p )6=0}.
Từ đó, lấy tùy ýp∈Var(Ann R H m i (M)), khi đó theo trên ta cóH pR i−dim (R/p) p (M p )6=0 Do đódim(R/p)≤i Vì thếdim(R/Ann R (H m i (M)))≤i Điều phải chứng minh.
Bổ đề 3.2.2 Lấy (x 1 , ,xk)là một M− dãy chặt từ chiều >s Đặt M 0 =M và Mt M/(x 1 , ,xt)Mvớit =1, ,k Khi đó với mọii=1, ,d ta có
Chứng minh Vì (x 1 , ,x k ) là một M− dãy chặt từ chiều >s nên xt ∈/ p với mọi p∈
S d i=0(Att R H m i (M t−1 ) >s với mọit =1, ,k.Mặt khác ta có
Att R (H m i (M t−1 )) theo [3, 11.3.9] Do đóx t ∈/ pvới mọip∈(Ass R M t−1 ) >s với mọit =1, ,k Cho nên dim(0 : M t−1 x t )≤s, và vì thế theo Định lý 1.3.10, ta cóH m i (0 : M t−1 x t ) =0với mọii>s.
0→(0 : M t−1 xt)→M t−1 →M t−1 /(0 : M t−1 xt)→0 ta có dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương ã ã ã →H m i (M t−1 )→H m i (M t−1 /(0 : M t−1 x t ))→H m i+1 (0 : M t−1 x t )→ ã ã ã
VìH m i (0 : M t−1 xt) =0với mọii>snên ta có phép đẳng cấu
0→M t−1 /(0 : M t−1 xt)−→ x t M t−1 →Mt →0 ta có dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương ã ã ã →H m i (M t−1 )→H m i (M t )→H m i+1 (M t−1 /(0 : M t−1 x t ))→ ã ã ã Áp dụng đẳng cấu trên ta có hai dãy khớp
0→H m i (M t−1 )/x t H m i (M t−1 )→H m i (M t )→(0 : H i+1 m (M t−1 )x t )→0 (6) với mọii>s Ta chia làm hai trường hợp.
Trường hợp 1: Lấyi≥s Khi đó theo Mệnh đề 1.2.5 (iii) ta có
Vìxt ∈/pvới mọip∈(Att R (H m i (M t−1 ))) >s nên từ Bổ đề 2.1.2 (i) ta có dim(R/Ann R (H m i (M t−1 )/x t H m i (M t−1 )))≤s.
Hơn nữa, theo Bổ đề 3.2.1 ta códimR/Ann R H m s (M t−1 ))≤s Từ đó ta có thể áp dụng
Bổ đề 2.1.3 cho các dãy khớp(5)và(6)vớit =kvà ta có
(Att R H m i (M k )) s ⊆(Att R (0 : H i+1 m (M k−1 )x k )) s ∪(Att R H m i (M k−1 )) s , với mọi i ≥s Vì i+1>s, áp dụng Bổ đề 2.1.4 cho mọi dãy khớp trong (6) với t k−1, ,1tương ứng với dãy phần tử(x t+1 , ,x k )và ta thu được
Do đó (AttRH m i (M k )) >s = (AttR(0 : H i+k m (M)(x 1 , ,x k )R)) >s Vì i+1>s, ta có thể áp dụng lại Bổ đề 2.1.4 cho tất cả dãy khớp trong(6)vớit =k−1, ,1tương ứng với dãy phần tử(x k+1 , ,x k )ta có
(Att R H m i+ j (M k− j−1 )) s , như điều ta mong muốn.
Trường hợp 2: Lấy i 0 sao cho i + k = s + h Theo Bổ đề 2.1.2 và 3.2.1, ta có H m i+k (M)(x 1, , x k )R) > s = /0 Chú ý rằng (Att R (H m s (M h ))) > s = /0 theo Bổ đề 2.1.3 và 3.2.1 Do đó, từ Trường hợp 1 dẫn đến kết luận này.
Vì ih Do vậy (0 : H i+k m (M)(x 1 , ,xk)R)⊆(0 : H s+h m (M) (x 1 , ,xh)R). Điều đó kết hợp với Bổ đề 2.1.2(ii) ta thu được
(AttR(0 : H i+k m (M)(x 1 , ,x k )R)) >s = (AttR(0 : H s+h m (M)(x 1 , ,x k )R)) >s = /0, như vậy bổ đề được chứng minh.
Hệ quả 3.2.3 Một dãy(x 1 , ,x k )các phần tử củamlà mộtM−dãy chặt từ chiều>s nếu và chỉ nếu nó là mộtH m i (M)−đối dãy từ chiều >svới mọii=0, ,d.
Chứng minh Giả sử(x 1 , ,x k )là mộtM−dãy chặt từ chiều>s Lấyi≥0là số nguyên và lấy j∈ {1, ,k} Giả sử rằngp∈(Att R (0 : H i m (M)(x 1 , ,xj)R)) >s Ta cần chứng tỏ rằngx j+1 ∈/p Nếui≥ j thì
(Att R (0 : H i m (M)(x 1 , ,xj)R)) >s = (Att R H m i− j (M/(x 1 , ,x j )M)) >s theo Bổ đề 3.2.2 Do đóp∈(Att R H m i− j (M/(x 1 , ,x j )M)) >s , và vì thế x j+1 ∈/p Giả sử i< j Khi đó theo Mệnh đề 1.2.5(ii) và Bổ đề 3.2.2 ta có
Nếu(AttRH m 0 (M/(x 1 , ,xi)M)) >s =/0thì(AttR(0 : H i m (M)(x 1 , ,xi)R)) >s = /0 Vìi< j, ta nhận được từ Bổ đề 2.1.2(ii) rằngp∈(Att R (0 : H i m (M)(x 1 , ,xj)R)) >s = /0, đây là điều mâu thuẫn Như vậy
Từ đó nếu lấy p∈(Att R H m 0 (M/(x 1 , ,x i )M)) >s , thì dim(R/p) =dim(R/m) =0>s. Suy ra s=−1vàx i+1 không là một phần tử M/(x 1 , ,xi)M−chính quy chặt từ chiều
>−1, đó là điều mâu thuẫn Vì thế(x 1 , ,x k )là mộtH m i (M)−đối dãy từ chiều>svới mọii=0, ,d.
Chúng ta sẽ chứng minh điều ngược lại bằng quy nạp theo k Trường hợp k=1 được suy ra ngay từ định nghĩa của M-dãy chặt từ chiều > s Xét k > 1, ta thấy rằng (x1, , xk−1) là một Hm i (M)-đối dãy từ chiều > s với mọi i = 0, , d Do đó, từ giả thiết quy nạp, (x1, , xk−1) là một M-dãy chặt từ chiều > s Kết hợp điều này với Bổ đề 3.2.2, chúng ta có kết quả cần chứng minh.
Để chứng minh rằng (x₁, , xₖ) là một dãy M-chặt từ chiều >s, ta có thể bắt đầu từ giả thiết rằng Att R (H m i (M/(x₁, , xₖ−1)M) >s = Att R (0 : H i+k−1 m (M)(x₁, , xₖ−1)R) >s với mọi i≥0 Theo điều này, ta nhận thấy rằng xₖ không thuộc vào p với mọi p∈(AttR(H m i (M/(x₁, , xₖ−1)M)) >s khi i≥0 Từ đó, ta có thể kết luận rằng dãy (x₁, , xₖ) thỏa mãn tính chất chặt chẽ cần thiết.
Từ các Hệ quả 2.1.6 và 3.2.3 ta có kết quả sau đây.
Hệ quả 3.2.4 Nếu (x 1 , ,xk)là mộtM− dãy chặt từ chiều >s thì (x n 1 1 , ,x n k k )cũng là mộtM−dãy chặt từ chiều>svới mọi số nguyên dươngn 1 , ,n k
Định lý 3.2.5 phát biểu rằng nếu R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của nó là Cohen, thì có thể chứng minh điều này.
- Macaulay Lấy(x 1 , ,x k )làM−dãy chặt từ chiều>s Khi đó ta có
(i) Các tập hợp(Att R H m i (M/(x n 1 1 , ,x n k k )M)) >s và(Att R (0 : H i m (M)(x n 1 1 , ,x n k k )R)) >s là độc lập vớin 1 , ,n k với mọii≥0;
(ii)(AttRH m i (M/(x 1 , ,x k )M)) >s = (AttR(0 : H i+k m (M)(x 1 , ,x k )R)) >s với mọi i≥0;
(AttR(H m i (M/(x n 1 1 , ,x n k k )M)) ≥s là hữu hạn với mọii≥0.
Chứng minh rằng với các số nguyên dương k = 1, 2, , n, dãy (x₁ⁿ₁, x₂ⁿ₂, , xₖⁿₖ) là một M-dãy chặt từ chiều lớn hơn s theo Hệ quả 3.2.4 Theo Hệ quả 3.2.3, dãy (x₁, x₂, , xₖ) trở thành một H m i (M)-đối dãy từ chiều lớn hơn s cho mọi i = 0, , d Do đó, từ Định lý 1, chúng ta có thể rút ra kết luận.
(Att R (0 : H i m (M) (x n 1 1 , ,x n k k )R)) >s không phụ thuộc vào n 1 , ,n k với mọii ≥0 Theo
Bổ đề 3.2.2, ta có đẳng thức
Do đó(Att R H m i (M/(x n 1 1 , ,x n k k )M)) >s độc lập vớin 1 , ,nk với mọii≥0.
(ii) được suy ra bởi Bổ đề 3.2.2.
(iii) Lấy i∈ {0,1, ,d} Vì (x 1 , ,x k )là mộtH m i (M)− đối dãy từ chiều>s, nên kết hợp với Định lý 1 ta có
Att R (0 : H i m (M)(x 1 n 1 , ,x n k k )R)) >s là một tập hữu hạn Từ khẳng định (i) ta thu được rằng
(Att R H m i (M/(x n 1 1 , ,x n k k )M)) >s là tập hữu hạn Do đó ta chỉ cần chứng tỏ rằng
Tập hợp hữu hạn Att R H m i (M/(x n 1 1 , ,x n k k )M) có thể được chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo k Bắt đầu với k=1 và đặt x=x 1, ta nhận thấy rằng x n là một M−dãy chặt từ chiều > s theo Hệ quả 3.2.4 Sự kết hợp này cho thấy tính chất quan trọng của tập hợp trong ngữ cảnh đã đề cập.
Bổ đề 3.2.2 ta suy ra rằng
Vì S n (AttR(0 : H i+1 m (M)x n ))s là tập hữu hạn, nên S n (AttRH m i (M/x n M))s cũng là tập hữu hạn, kết quả đúng với k=1 Giả sử k>1, chọn các số nguyên dương n 1 , , n k Theo Hệ quả 3.2.4, (x n 1 1 , , x k n k) là một M−dãy chặt từ chiều >s Do đó, theo Bổ đề 3.2.2, (Att R H m i (M/(x 1 n 1 , , x n k k )M)) s được chứa trong tập.
Vìk− j−1≤k−1với mọi j =0, ,k−1, nên ta có theo giả thiết quy nạp rằng tập hợp k−1
(AttRH m i+ j (M/(x n 1 1 , ,x n k− k− j−1 j−1 )M))s là hữu hạn Hơn nữa tập hợp S n 1 , ,n k (AttR(0 : H i+k m (M)(x n 1 1 , ,x n k k )R))s là hữu hạn theo Định lý 1 Vì thế S n 1 , ,n k(Att R H m i (M/(x n 1 1 , ,x n k k )M)) s là một tập hữu hạn Định lý được chứng minh.
Kêt quả sau đây là một hệ quả trực tiếp của Định lý 2.
Hệ quả 3.2.6 Giả sử s∈ {−1,0,1} Lấy(x 1 , ,x k )là một M− dãy chặt từ chiều>s.
Khi đó với mỗi số nguyên i≥0, các tập hợp S n 1 , ,n kAttR(0 : H i m (M) (x n 1 1 , ,x n k k )R) và
In summary, this thesis has presented and detailed the main results from the article "A finiteness result for attached primes of Artinian local cohomology modules" by L.T Nhàn and N.V Hoàng, published in the Journal of Algebra and Its Applications.
2014 Kết quả chính của luận văn gồm những nội dung sau:
Trong bài viết này, chúng tôi hệ thống lại những kiến thức cơ bản cần thiết để chứng minh các kết quả chính của luận văn, bao gồm môđun Artin, lý thuyết biểu diễn thứ cấp, tập Att của môđun Artin, môđun đối đồng điều địa phương, dãy chính quy và độ sâu của môđun, đối ngẫu Matlis, vành Cohen - Macaulay, vành catenary, thớ hình thức, cùng với đối dãy từ chiều.
>s, khái niệm dãy chặt từ chiều>s.
2 Chứng minh được: Giả sử(x 1 , ,x k ) là mộtA− đối dãy từ chiều>s Khi đó tập (AttR(0 : A (x n 1 1 , ,x n k k )R)) >s không phụ thuộc vào sự lựa chọn củan 1 , ,n k và tập
3 Chứng minh được: Giả sửRlà vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của nó là Cohen - Macaulay Lấy(x 1 , ,x k )làM−dãy chặt từ chiều >s Khi đó
(i) các tập(Att R H m i (M/(x n 1 1 , ,x n k k )M)) >s và(Att R (0 : H i m (M)(x n 1 1 , ,x n k k )R)) >s là độc lập vớin 1 , ,nk với mọii≥0.
(ii)(AttRH m i (M/(x 1 , ,x k )M)) >s = (AttR(0 : H i+k m (M)(x 1 , ,x k )R)) >s với mọii≥0. (iii) Với mỗi i ≥0, tập hợp S n 1 , ,n k (Att R (0 : H i m (M) (x n 1 1 , ,x n k k )R)) ≥s và tập hợp S n 1 , ,n k (Att R (H m i (M/(x n 1 1 , ,x n k k )M)) ≥s là hữu hạn.
[1] M.Brodmann (1979), “Asymptotic stability of AssR(M/I n M)”, Proc Amer Math. Soc., 74, 16 -18.
[2] M Brodmann and L T Nhan (2008), “A finiteness result for associated primes of certain Ext-modules”,Comm Algebra, 36, 1527-1536.
[3] M Brodmann and R Y Sharp (1998), “Local Cohomology: An Algebraic Intro- duction with Geometric Applications”, Cambridge University Press.
[4] M Brodmann and R Y Sharp (2002), “On the dimension and multiplicity of local cohomology modules”,Nagoya Math J., 167, 217-233.
[5] N T Cuong, M Morales and L T Nhan (2004), “The finiteness of certain sets of attached prime ideals and the length of generalized fractions”, J Pure Appl. Algebra, 189, 109-121.
[6] M Katzman (2002), “An example of an infinite set of associated primes of a local cohomology module”,J Algebra, 252, 161-166.
[7] I G Macdonald (1973), “Secondary representation of modules over a commutative ring”,Sympos Math, 11, 23-43.
[8] H Matsumura (1986),Commutative ring theory, Cambridge University Press.
[9] L T Nhan and N V Hoang (2014), “A finiteness result for attached primes of Artinian local cohomology modules”, Journal of Algebra and Its Applications, 13,
[10] A Ooishi (1976), “Matlis duality and the width of a module”,Hiroshima Math J.,