BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2DƯƠNG THỊ THANH HUYỀN BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA NGHIỆM DỪNG CHO HỆ LERAY-α BA CHIỀU BẰNG ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI DẠNG HỮU HẠN THAM SỐ LUẬN VĂN
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
DƯƠNG THỊ THANH HUYỀN
BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA NGHIỆM DỪNG
CHO HỆ LERAY-α BA CHIỀU BẰNG ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI DẠNG HỮU HẠN THAM SỐ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI, 2018
Trang 2BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
DƯƠNG THỊ THANH HUYỀN
BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA NGHIỆM DỪNG
CHO HỆ LERAY-α BA CHIỀU BẰNG ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI DẠNG HỮU HẠN THAM SỐ
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 8 46 01 02LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS Vũ Mạnh Tới
HÀ NỘI, 2018
Trang 3Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướngdẫn của TS Vũ Mạnh Tới Các kết quả được phát biểu trong luận văn
là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất cứ mộtcông trình nào khác
Hà Nội, tháng 08 năm 2018
Tác giả
Dương Thị Thanh Huyền
Trang 4Lời cảm ơn
Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu Trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em được hoànthành khoá học Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn tới toàn thể cácthầy cô trong nhà trường đã dạy dỗ và chỉ bảo tận tình trong suốt quátrình em học tập tại trường và đặc biệt là các thầy cô trong Bộ mônToán giải Tích, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạomọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành luận văn của mình Em xinđược gửi lời cảm ơn Ban lãnh đạo trường Cao đẳng Giao thông vận tảiTrung ương I đã tạo điều kiện để em được tham gia học tập và hoànthành tốt khóa học cao học này
Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo TS VũMạnh Tới, người đã trực tiếp chỉ bảo và hướng dẫn tận tình em trongsuốt quá trình thực hiện luận văn
Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và các đồngnghiệp, những người đã luôn ở bên để giúp đỡ và chia sẻ những khó khănvới em trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn của mình
Hà Nội, tháng 08 năm 2018
Tác giảDương Thị Thanh Huyền
Trang 5Mục lục
Trang
Mở đầu 1
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Giới thiệu về hệ Leray-α 5
1.2 Không gian hàm 6
1.3 Toán tử và đánh giá số hạng phi tuyến 7
1.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 9
1.5 Một số bất đẳng thức thường sử dụng 9
1.6 Một số định lí và bổ đề thường dùng 10
Chương 2 Ổn định hóa cho nghiệm dừng của hệ Leray-α ba chiều bằng điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số 12
2.1 Sự tồn tại và ổn định của nghiệm dừng cho hệ Leray-α ba chiều 13
2.2 Sự tồn tại và ổn định hóa của nghiệm cho hệ Leray-α ba chiều bằng cách sử dụng điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số 18
Tài liệu tham khảo 32
Trang 6Mở đầu
1 Lí do chọn đề tài
Các α-mô hình trong cơ học chất lỏng được coi như là các chỉnhhóa của hệ Navier-Stokes được đề xuất trong quá trình nghiên cứu hệNavier-Stokes ba chiều Các kết quả nghiên cứu cho α-mô hình trong cơhọc chất lỏng được nhiều nhà toán học nghiên cứu (có thể xem [1] vàcác tài liệu trích dẫn trong đó)
Một trong các α-mô hình trong cơ học chất lỏng được nghiên cứugần đây bởi nhiều nhà toán học là mô hình Leray-α (xem [11])
Trang 7cần giả thiết tồn tại của đa tạp quán tính Sau đó các tác giả đã áp dụng
nó ổn định hóa cho các phương trình phản ứng khuếch tán phi tuyếnbằng cách sử dụng các điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số Kếtquả cũng được nghiên cứu cho các phương trình truyền sóng phi tuyếntắt dần (xem [10]), nghiên cứu tính toán cho thuật toán điều khiển phảnhồi hữu hạn chiều [12]
Bài toán ổn định cho nghiệm dừng của (0.1) được miêu tả như sau:Với nghiệm dừng v∗ của hệ (0.1), ta chỉ ra điều kiện đủ của hệ số nhớt
ν (thường là đủ lớn, tức là ngoại lực đủ nhỏ), sao cho với bất kì nghiệm
v của hệ (0.1) đều tiến đến v∗ theo tốc độ mũ khi thời gian t → +∞Bài toán ổn định hóa cho nghiệm dừng của (0.1) được miêu tả nhưsau: Khi điều kiện đủ để ổn định nghiệm dừng không thỏa mãn (hệ số νnhỏ, tức là ngoại lực đủ lớn), thì nghiệm dừng v∗ của (0.1) có thể không
ổn định Khi đó ta tìm điều khiển phù hợp vào (0.1) để sao cho hệ đó cónghiệm duy nhất và nghiệm đó tiến đến nghiệm dừng v∗ của (0.1) theotốc độ mũ theo thời gian t → +∞
Ở đây dựa trên ý tưởng của bài báo [5] ta sử dụng điều khiển dạngphản hồi Ih (xem [2]), dạng hữu hạn tham số liên quan đến phần tử thểtích hữu hạn hoặc hữu hạn Fourier modes, để đi ổn định hóa nghiệmdừng cho hệ Leray-α ba chiều Mục đích của luận văn này là trình bàycác kết quả chính trong [4] về bài toán ổn định hóa bằng điều khiển phảnhồi dạng hữu hạn tham số cho hệ Leray-α ba chiều
2 Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm dừng cho hệ Leray-α ba chiềukhi không có/có điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số
Trang 83 Nhiệm vụ nghiên cứu
• Chỉ ra sự tồn tại nghiệm dừng cho hệ Leray-α và đưa ra một điềukiện đủ để nghiệm dừng đó ổn định
• Khi điều kiện đủ cho nghiệm dừng ổn định không thỏa mãn (nghiệmdừng có thể không ổn định) thì ta đi ổn định hóa nghiệm dừng đóbằng cách sử dụng điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số
4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Hệ Leray-α ba chiều trong miền hình hộpvới điều kiện biên tuần hoàn
• Phạm vi nghiên cứu: Bài toán ổn định hóa nghiệm dừng cho hệLeray-α ba chiều bằng điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số
5 Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều; lí thuyết
ổn định hóa
6 Đóng góp của đề tài
• Trình bày được sự tồn tại ít nhất một nghiệm dừng cho hệ Leray-α
ba chiều và chỉ ra một điều kiện đủ để nghiệm dừng đó ổn định
• Trình bày được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ Leray-α bachiều với ngoại lực dạng điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số.Đồng thời chỉ ra khi điều kiện đủ cho nghiệm dừng ổn định khôngthỏa mãn (nghiệm dừng có thể không ổn định) thì ta có thể ổn địnhhóa nghiệm dừng bằng điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số
Trang 97 Cấu trúc luận văn
Ngoài các phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu thamkhảo thì nội dung luận văn "Bài toán ổn định hóa nghiệm dừngcho hệ Leray-α ba chiều bằng điều khiển phản hồi dạng hữuhạn tham số" gồm 2 chương:
• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày nhữngkiến thức chuẩn bị cần thiết để nghiên cứu nội dung chương saubao gồm: Giới thiệu hệ Leray-α ba chiều; không gian hàm và toántử; kết quả sự tồn tại và duy nhất nghiệm; một số bất đẳng thứcthường sử dụng; một số định lí và bổ đề thường dùng
• Chương 2: Ổn định hóa cho nghiệm dừng của hệ Leray-α
ba chiều bằng điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số.Chương này trình bày: Sự tồn tại và ổn định của nghiệm dừng cho
hệ Leray-α ba chiều; Sự tồn tại và ổn định hóa của nghiệm cho hệLeray-α ba chiều bằng cách sử dụng điều khiển phản hồi dạng hữuhạn tham số
Trang 10Giả sử Ω = [0, L]3, L > 0, là miền hình hộp tuần hoàn trongR3 Xét{ej}3
j=1 là cơ sở tự nhiên của R3, tức là e1 = (1, 0, 0)T, e2 = (0, 1, 0)T, e3 =(0, 0, 1)T Ta xét hệ Leray-α ba chiều sau
Trang 11và điều kiện ban đầu
v(x, 0) = v0(x), x ∈ Ω, (1.3)
ở đó u = u(x, t) là hàm vectơ vận tốc và p = p(x, t) là hàm áp suất,
ν > 0 là hệ số nhớt, α > 0 là tham số đặc trưng cho tính đàn hồi củachất lỏng Khi α = 0 ta thu được hệ phương trình Navier-Stokes với điềukiện biên tuần hoàn
• Không gian (H1(Ω))3 là không gian Hilbert bao gồm tất cả các hàm
u ∈ (L2(Ω))3 mà có đạo hàm suy rộng thuôc (L2(Ω))3 và có chuẩnđược xác định bởi
kukH2 :=
Z
Trang 12+) C([0, T ]; X) là không gian Banach gồm tất cả các hàm liên tục
• Toán tử A: Cho P là phép chiếu trực giao từ (L2(Ω))3 lên khônggian H Kí hiệu A = −P ∆ theo các kí hiệu D(A) = (H2(Ω))3 ∩ V
Trang 13Chú ý, với điều kiện biên tuần hoàn A = −∆ và A là toán tử xác địnhdương liên hợp với nghịch đảo là compact Do đó, tồn tại một dãy hàmđặc trưng trực giao và đầy đủ {wj}∞
j=1 ⊂ H do đó Awj = λjwj với(2π/L)2 = λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λj → ∞ Hơn nữa, trên thực tế các giá trịriêng của A có dạng (2π|k|/L)2 với k ∈ Z3\ {0}
|v|2 = (u + α2Au, u + α2Au) = (u, u) + 2α2(u, Au) + (Au, Au)
= (u, u) + 2α2((u, u)) + (Au, Au) = |u|2+ 2α2kuk2
+ |Au|2.Với I là toán tử đồng nhất, khi đó với α > 0 và toán tử A ở trên thì
I + α2A là toán tử có nghịch đảo (I + α2A)−1 compact
• Toán tử B: Ta xét toán tử
B(u, v) = P (u · ∇)v, ∀u, v ∈ V,với
Trang 14Ta có đánh giá (có thể xem [14]), với hằng số dương c0:
hB(u, v), wiV0 ,V
≤ c0|u|1/2kuk1/2kvk kwk, ∀u, v, w ∈ V, (1.8)
hB(u, v), wiV0 ,V
hB (u∗, vm − v∗) , wiV0 ,V
=
hB (um − u∗, vm) , wiV0 ,V
+
hB (u∗, w) , vm− v∗iV0 ,V
... data-page="17">
Chương 2
Ổn định hóa cho nghiệm dừng của
hệ Leray-α ba chiều điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số
Trong chương này, chúng tơi... tồn nghiệm dừng yếucho hệ Leray-α ba chiều (1.10) Sau chúng tơi điều kiện
đủ để nghiệm dừng ổn định Tiếp theo xét trường hợpđiều kiện đủ khơng thỏa mãn, tức nghiệm dừng khơng
ổn định, ... tức nghiệm dừng khơng
ổn định, chúng tơi ổn định hóa nghiệm dừng điềukhiển phản hồi dạng hữu hạn tham số, dựa xác định modes,thể tích hữu hạn
Trang