Về chiều đồng điều lận văn thạc sĩ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ BÌNH MINH VỀ CHIỀU ĐỒNG ĐIỀU Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học:

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ BÌNH MINH

VỀ CHIỀU ĐỒNG ĐIỀU

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS ĐÀO THỊ THANH HÀ

VINH - 2012

3

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC….……… 1

LỜI NÓI ĐẦU……… 2

Chương 1 Kiến thức cơ sở ………4

Chương 2 Chiều đồng điều ……… …14

2.1 Chiều xạ ảnh ……… ……….… 14

2.2 Chiều nội xạ ……… 20

2.3 Chiều phẳng ……… ….25

2.4 Chiều toàn thể ……….…… 30

2.5 Chiều Tor……….…….… 31

KẾT LUẬN ……….….…34

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 35

LỜI NÓI ĐẦU

Trong Đại số đồng điều, chiều đồng điều của vành R được ký hiệu là gl.dimR là một số nguyên không âm hoặc vô hạn, đó là một bất biến đồng điều

của vành Nó được định nghĩa là cận trên của chiều xạ ảnh của mọi R- môđun.

Chiều đồng điều là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết chiều của vànhNoether và nó có ảnh hưởng trong Đại số giao hoán

Chúng ta biết rằng, mọi môđun đều có thể nhúng vào môđun nội xạ, đồngthời mọi môđun đều là ảnh của môđun xạ ảnh (vì nó là thương của môđun xạảnh), do đó ta có thể tìm được lời giải nội xạ hay xạ ảnh của nó Tính nội xạhay xạ ảnh có thể đo độ phức tạp của môđun hay nói cách khác độ phức tạp củamôđun phụ thuộc vào độ dài của giải nội xạ và xạ ảnh

Nếu như chiều toàn thể được định nghĩa qua chiều xạ ảnh hay chiều nội xạ

thì chiều Tor được định nghĩa thông qua chiều phẳng Nói chung chiều Tor nhỏ

hơn hoặc bằng chiều toàn thể Dấu bằng xảy ra khi vành cơ sở là Noether

Luận văn tập trung nghiên cứu và trình bày lại một cách chi tiết các vấn đề

về chiều đồng điều dựa vào [5] và [8]

Trong suốt luận văn luôn qui ước R là vành giao hoán có đơn vị là 1.

Luận văn gồm 2 chương:

Chương 1 Kiến thức cơ sở

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ sở của Đại sốđồng điều có sử dụng trong luận văn như: Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh, cáchàm tử Ext, hàm tử Tor, hàm tử đồng điều,… Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫnmột số kết quả đã có nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau

Chương 2 Chiều đồng điều

Trình bày các khái niệm và các tính chất của chiều xạ ảnh, chiều nội xạ,

chiều phẳng, chiều toàn thể và chiều Tor.

5 Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của

TS Đào Thị Thanh Hà Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành vàsâu sắc tới cô, người đã định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạomọi điều kiện thuận lợi, cùng với những lời động viên khích lệ tác giả trongsuốt quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong bộ môn Đại số và Lý thuyết

số khoa Toán Trường Đại học Vinh và Trường Đại học Đồng Tháp đã giúp đỡtác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu viết và hoàn thành luận văn này Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếusót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, côgiáo và đồng nghiệp

Nghệ An, tháng 10 năm 2012

Tác giả

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ sở của Đại sốđồng điều có sử dụng trong luận văn như: Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh, cáchàm tử Ext, hàm tử Tor, hàm tử đồng điều, … Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫnmột số kết quả đã có nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau

1.1 Mô đun nội xạ

1.1.1 Định nghĩa Một môđun E được gọi là nội xạ nếu với mọi đơn cấu

O→ A α→B và với mọi đồng cấu :f A→E đều mở rộng thànhđồng cấu :g B→E sao cho biểu đồ sau giao hoán

1.1.3 Định lý Mọi môđun M đều có giải nội xạ.

1.1.4 Ví dụ R là miền iđêan chính Q là một trường các thương của R, ta có

giải nội xạ sau:

0→ R → Q →Q R→0

1.1.5 Định lý Một môđun E là nội xạ khi và chỉ khi Hom( , )• E là hàm tử khớp

1.3.5 Mệnh đề Nếu Tor1R( , )F B = ∀0, B thì F là môđun phẳng.

1.3.6 Mệnh đề Mọi môđun xạ ảnh đều là môđun phẳng.

Chứng minh Giả sử A là môđun xạ ảnh, ta cần chứng minh A là phẳng.

Thật vậy, ta lấy một dãy khớp ngắn tùy ý

1.4.4 Định nghĩa Một hàm tử (hiệp biến, phản biến) được gọi là khớp nếu nó

vừa khớp trái vừa khớp phải

1.4.5 Mệnh đề Hom(M,•) là hàm tử hiệp biến, khớp trái và Hom(•, M) là

hàm tử phản biến, khớp trái.

1.4.6 Mệnh đề Hàm tử tenxơ M ⊗ •R và •⊗R M là hàm tử hiệp biến, khớp phải.

11

( )

n

H f được gọi là ánh xạ cảm sinh của f và thường được kí hiệu: f*

1.5.4 Định lý (Định lý dãy khớp dài) Cho một dãy khớp các phức

1.5.5 Định lý (tính tự nhiên của đồng cấu nối)

Giả sử ta có biểu đồ giao hoán của các phức sau đây với các hàng là khớp

1.6.2 Mệnh đề (i) Hàm tử Ext A B n( , ) không phụ thuộc vào sự lựa chọn các giải nội xạ của B hay giải xạ ảnh của A.

(ii) Nếu A là môđun xạ ảnh thì Ext A B n( , ) 0,= ∀ >n 1,n∈¢ với mọi môđun B.,

1.6.4 Hệ quả (i) Nếu Ext C A1( , ) 0,= với mọi môđun A thì ta có C là xạ ảnh.

(ii) Nếu Ext C A1( , ) 0,= với mọi môđun C thì ta có A là nội xạ

1.6.5 Định lý ([1], Định lý 3.10) Với mọi môđun X trên R và một dãy khớp

ngắn tùy ý cho trước

13

trong đó f* = Ext i f g n( , ), * = Ext i g n( , ) và δ là đồng cấu nối Dãy khớp này bắt đầu với

0→Hom X U( , )  →Hom i f Hom X V( , )  →Hom i g Hom X W( , )→Ext X U( , )→

1.6.6 Định lý ([1], Định lý 3.12) Với mọi môđun X trên R và một dãy khớp

ngắn tùy ý cho trước

0→ → → U f V g W →0

những môđun trên R Ta có một dãy khớp sau:

→Ext W X n( , )→f Ext V X n( , )→g Ext U X n( , )δ→Ext n+ ( , )W X →

trong đó f* = Ext f i g n( , ), * = Ext g i n( , ) và δ là đồng cấu nối Dãy khớp này bắt đầu với

môđun dẫn xuất trái thứ n của M bởi hàm tử F = ⊗ •X R hoặc •⊗R Y

(ii) Tor A B n0( , )= ⊗A R B, với mọi môđun A, B;

15

CHƯƠNG 2 CHIỀU ĐỒNG ĐIỀU

2.1 Chiều xạ ảnh

2.1.1 Định nghĩa Cho A là một R-môđun Chiều xạ ảnh của A, kí hiệu: pd(A) là

số nguyên nhỏ nhất n sao cho tồn tại một giải xạ ảnh của A như sau:

0→ P n →  → P → P → A →0

Nếu như không tồn tại số nguyên n nào như thế thì pd A( ) = ∞

2.1.2 Ví dụ (1) Giả sử X là R-môđun xạ ảnh khác không Vì X là xạ ảnh, nên ta

được một giải xạ ảnh của X là:

→ 0 → X → X →0.

Do đó pd(X) = 0 (2) Cho p là một số nguyên tố Trên vành R =¢p2, ta có A=¢p là ¢p2 -môđun.Khi đó pd(¢p )= ∞ Ta có một giải xạ ảnh của ¢p như sau:

(trong đó ε là đồng cấu tự nhiên, p• là phép nhân với p)

(3) Cho p là một số nguyên tố Trên vành R=¢ , ta có A=¢p là ¢-môđun.Khi đó, ta có một giải xạ ảnh của A như sau:

( p ) 1

pd ¢ =

Ta có các mệnh đề tương đương về chiều xạ ảnh như sau

2.1.3 Định lý Giả sử m là số nguyên không âm Với một môđun tùy ý X trên R

và tự đồng cấu đồng nhất : i X →X , các phát biểu sau đây là tương đương: (i) pd X( ) ≤m ;

(ii) Ext m+1( , ) 0X Y = với mọi môđun Y trên R;

17

Chứng minh.( )i ⇒( )ii Gọi Y là môđun bất kỳ trên R Theo (i), tồn tại một giải xạ ảnh P của X với P n = ∀ >0, n m Điều này kéo theo( , ) 0,n

Hom P Y = ∀ >n m Vì vậy ta được

Ext X Y ≈H Hom P Y = ∀ >n m

Lấy n= m+1 ta được Ext m+ 1( , ) 0X Y =

( )ii ⇒( )iii Xét một dãy khớp ngắn tùy ý cho trước

Do đó φm là một hàm tử hiệp biến khớp phải

( )iii ⇒( )iv Gọi P là một dãy khớp trong (iv) ∀ =n: 0,m−2, gọi D n là

môđun con của P vừa là ảnh của đồng cấu vừa là hạt nhân của đồng cấu n

trong dãy P Khi đó ta được m dãy khớp ngắn:

Như vậy ta có δ δ1, 2, ,δm− 1 là các đẳng cấu còn δ0 là toàn cấu

Ta có δ δ= m−1 δ δ1 0:Hom A Y( , )→Ext X Y m( , ) là một toàn cấu và

0

Ker δ =Ker δ

19

Vì vậy ta được một dãy khớp

* 1

m

H P − Y →H A Y δ→Ext X Y →

với mọi môđun Y trên R.

Với một toàn cấu cho trước tùy ý h Y: →Y ' của những môđun trên R, ta có

biểu đồ giao hoán sau:

Trong đó α β γ, , được cảm sinh bởi h Y: →Y' Vì Pm−1 là xạ ảnh nên suy

ra α là một toàn cấu Mặt khác, γ là một toàn cấu theo (iii)

Ta chứng minhβ là một toàn cấu ∀ ∈g Hom A Y( , '), từ hình vuông thứ haigiao hoán suy ra γ δ δ β = Do δtoàn cấu, γ toàn cấu (chứng minh trên),

nên ta có γ δ toàn cấu, vì vậy δ β toàn cấu

Đặt δ( )g = ∈x Ext m( , ')X Y Vì δ β toàn cấu, nên ∃ ∈f0 Hom A Y( , ) sao cho

(δβ)f = ⇒x δ( ) (g = δβ)f =δ β( f ), do đó δ(g−β f0) 0=

0 Im

g−β f ∈Kerδ = f , vì vậy ∃ ∈g0 Hom P( m−1, ') :Y f g*( )0 = −g β f0

Mà αtoàn cấu (chứng minh trên), nên ∃ ∈k Hom P( m−1, )Y sao cho

Như vậy ta đã chứng minh rằng, mọi toàn cấu :h Y →Y' và với mọi đồngcấu k A: →Y' trong Hom A Y , tồn tại một đồng cấu :( , ') g A→Y trong

( )iv ⇒( )i Xét một giải xạ ảnh tùy ý P của môđun X trên R

Gọi A là ảnh của đồng cấu σ :P m  →P m−1 trong P.

Khi đó ta được một dãy khớp

Theo định nghĩa chiều xạ ảnh của X là pd X( )≤m

2.1.4 Hệ quả Với mọi môđun tùy ý X trên R, các phát biểu sau đây là tương

Chứng minh Vì P là xạ ảnh và X không là xạ ảnh, từ tính chất khớp của dãy ta

suy ra rằng A≠0 Do đó ta có dim( ) 0A ≥ và dim( ) 1X ≥

Theo Định lý 1.6.6 ta có một dãy khớp

0→Ext n+ ( , )A Y δ→Ext n+ ( , )X Y →0với mọi số nguyên n≥1 và mọi môđun Y trên R Vì P là xạ ảnh, nên ta có

1( , ) 2( , )

Ext + A Y ; Ext + X Y (*)

Giả sử dimX = m (dimX ở đây là chiều xạ ảnh tức là pd(X)).

Theo Định lý 2.1.3 ( )i ⇒( )ii , ta có Ext m+1( , ) 0,X Y = ∀R -môđun Y Từ (*)

suy ra Ext A Y m( , ) 0,= ∀R -môđun Y Do đó từ ( )ii ⇒( )i trong Định lý 2.1.3

tức pd A( )≥ pd X( ) 1− (2)

Từ (1) và (2) suy ra pd X( )= pd A( ) 1+

2.1.6 Mệnh đề Với mọi số nguyên n ≥ −1 và một dãy khớp bất kỳ

0→ → → U f V g W →0

những môđun trên R, dim( ) U ≤n và dim( ) W ≤n kéo theo dim( ) V ≤ n.

Chứng minh Giả sử Y là một môđun tùy ý trên R

Vì dim( )U ≤ n và dim( )W ≤n, nên từ Định lý 2.1.3 suy ra rằng Ext U Y n+1( , ) 0,=

0= Ext n+ ( , )W Y →Ext n+ ( , )V Y →Ext n+ ( , ) 0U Y =

Tính chất khớp của dãy kéo theo Ext n+1( , ) 0V Y =

Vì điều này là đúng cho mọi môđun Y trên R, nên từ Định lý 2.1.3 suy ra rằng

2.2.1 Định nghĩa Cho A là một R-môđun Chiều nội xạ của A, kí hiệu: id(A) là

số nguyên nhỏ nhất n sao cho tồn tại một giải nội xạ của A như sau:

Nếu như không tồn tại số nguyên n nào như thế thì id A( ) = ∞

2.2.2 Ví dụ (1) Cho p là một số nguyên tố Ta có A=¢p là một trường Do đó

mọi ¢ -môđun đều là nội xạ Khi đó, ta có một giải nội xạ của A như sau: p

23(2) Xét ¢ là ¢-môđun Ta có một giải nội xạ của ¢ như sau:

(trong đó i là đồng cấu tự nhiên, p•là phép phép nhân với p )

Tiếp theo là các mệnh đề tương đương về chiều nội xạ

2.2.3 Định lý Giả sử m là số nguyên không âm Với một môđun tùy ý X trên R

và tự đồng cấu đồng nhất : i X →X , các phát biểu sau đây là tương đương: (i) ( ) id X ≤m ;

(ii) Ext m+1( , ) 0Y X = với mọi môđun Y trên R;

những môđun trên R với E i i, =0,m−1 nội xạ, môđun A là nội xạ.

Chứng minh ( ) i ⇒( )ii Gọi Y là môđun bất kỳ trên R Theo (i), tồn tại một giải

nội xạ E của X với E n = ∀ >0, n m Điều này kéo theo Hom Y E( , n) 0, = ∀ >n m

Vì vậy ta được

n

n Ext Y X ≈ H Hom Y E = ∀ >n m

Lấy n = m+1 ta được Ext m+1( , ) 0Y X =

( )ii ⇒( )iii Xét một dãy khớp ngắn tùy ý cho trước

Khi đó ta được m dãy khớp ngắn:

Ext Y D Ext Y D Hom Y A Ext Y A Ext Y D

Như vậy ta có δ δ1, 2, ,δm− 1 là các đẳng cấu còn δ 0 là toàn cấu

Ta có δ δ δ= m− 1 m− 2 δ δ1 0 :Hom Y A( , )→Ext Y X m( , ) là một toàn cấu và

0

Ker δ =Ker δ Vì vậy ta được dãy khớp

* 1

với mọi môđun Y trên R.

Với một đơn cấu cho trước tùy ý :h Y →Y' , ta có biểu đồ giao hoán sau:

* 1

om( , m ) g om( , ) m( , ) 0

H Y E − →H Y A →δ Ext Y X  →

α β γ

* 1

om( ', m ) g om( ', ) m( ', ) 0

H Y E − →H Y A δ→Ext Y X  →

Vì E m−1 nội xạ ⇒ ∀ ∈f Hom Y E( , m−1)

⇒ toàn cấu Vậy βtoàn cấu.

Như vậy ta đã chứng minh rằng, mọi đơn cấu h Y: →Y ' và với mọi đồngcấu k Y: →A trong Hom Y A( , ), tồn tại một đồng cấu : 'g Y →A

trong Hom Y A( ', ) thỏa mãn g h=β( )h =k

Theo định nghĩa của môđun nội xạ Ta suy ra A là nội xạ.

( )iv ⇒ ( )i Xét một giải nội xạ tùy ý E của môđun X trên R

Gọi A là ảnh của đồng cấu σ :E m− 1  →E m trong E

Khi đó ta được một dãy khớp

Chứng minh ( ) i ⇒( )ii suy ra được từ Định lý 1.6.3 (i).

( )ii ⇒( )iii Áp dụng Định lý 2.2.3, Ext m+1( , ) 0Y X = với mọi môđun Y trên R.

Khi và chỉ khi ( )id X ≤m

Ta chọn trường hợp với m=0, ta có Ext Y X( , ) 0= với mọi môđun Y trên R,

suy ra id X( ) 0≤

( )iii ⇒( )i Giả sử rằng ( ) 0id X ≤ Theo định nghĩa thì tồn tại một giải nội xạ

của X sao cho E n = ∀ >0, n 0 Do đó ta có

0

→ 0 → →X σ E → 0 →

Tính chất khớp của dãy này kéo theo rằng σ : X →E0 là một đẳng cấu

Vì E là nội xạ, nên X cũng là nội xạ 0

2.3 Chiều phẳng

2.3.1 Định nghĩa Cho A là một R-môđun Chiều phẳng của A, kí hiệu: fd(A) là

số nguyên nhỏ nhất n sao cho tồn tại một giải phẳng của A như sau:

0→ F n →  → F → F → A →0

Nếu như không tồn tại số nguyên n nào như thế thì fd A( )= ∞

2.3.2 Ví dụ (1) Ta biết rằng, nếu R là miền nguyên thì trường các thương Q của

nó là R-môđun phẳng (xem [7], Hệ quả 3.48), vì vậy, ¤ là ¢ -môđun phẳng

khác không Từ đó, ta được một giải phẳng của ¤ là:

→ 0 → ¤ → ¤ →0.

Do đó fd(¤ ) = 0

(2) Cho p là một số nguyên tố Trên vành R =¢p2, ta có A=¢p là ¢p2 -môđun.Khi đó, ta có fd(¢p )= ∞ Ta có một giải phẳng của ¢p như sau:

(trong đó ε là đồng cấu tự nhiên, p• là phép phép nhân với p)

(3) Cho p là một số nguyên tố Trên vành R=¢ , ta có A=¢p là ¢-môđun.Khi đó, ta có một giải phẳng của A như sau:

( p ) 1

fd ¢ =

(4) Vì mọi môđun xạ ảnh đều là phẳng nên fd A( )≤ pd A( ) với mỗi A là R-môđun Chẳng hạn trên vành ¢ , ta có fd( ) 0¤ = nhưng pd( ) 1¤ =

Sau đây là các mệnh đề tương đương về chiều phẳng

2.3.3 Định lý Giả sử m là số nguyên không âm Với một môđun tùy ý X trên R

và tự đồng cấu đồng nhất i X: →X , các phát biểu sau đây là tương đương:

29

Chứng minh.( )i ⇒( )ii Gọi Y là môđun bất kỳ trên R Theo (i), tồn tại một giải

phẳng F của X với F n = ∀ >0, n m Điều này kéo theo F n ⊗R Y = ∀ >0, n m

Vì vậy ta được Tor X Y n( , )≈H F n( ⊗R Y) 0,= ∀ >n m

Lấy n = m+1 ta được Tor m+1( , ) 0X Y =

( )ii ⇒( )iii Xét một dãy khớp ngắn tùy ý cho trước

trong đó f* =Tor i f g n( , ), * =Tor i g n( , ) và δ là đồng cấu nối

Vì Tor m+1( , ) 0X U = nên ta được một dãy khớp

Do đó φm là một hàm tử hiệp biến khớp trái

( ) iii ⇒ ( ) iv Gọi F là một dãy khớp trong (iv) ∀ =n: 0,m− 2, gọi Dn là môđun

con của Fn vừa là ảnh của đồng cấu vừa là hạt nhân của đồng cấu trong dãy F.

Khi đó ta được m dãy khớp ngắn:

Ta thấy δ δ1, 2, ,δm−1 là các đẳng cấu, δ0 đơn cấu.

Vậyδ δ δ= 0, , ,1 δm−1:Tor X Y m( , )→Tor A Y0( , )= ⊗A R Y là một đơn cấu

Do đó với mọi môđun Y ta có ta dãy khớp

31

Vì hàm tử tenxơ khớp phải nên để chứng minh A là môđun phẳng ta chỉ cần

chứng minh với một đơn cấu cho trước tùy ý :h Y →Y ', thì đồng cấu cảmsinh A⊗R Y → ⊗A R Y' cũng là đơn cấu

Ta có biểu đồ giao hoán sau:

( )iv ⇒( )i Xét một giải phẳng tùy ý F của môđun X trên R

Gọi A là ảnh của đồng cấu σ :F m  →F m−1 trong F

Khi đó ta được một dãy khớp

Theo (iv), A là phẳng Do đó ta được một giải phẳng F ’ của X với