Chuyên đề bất đẳng thức

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ TùngII.. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1... Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:a... Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1... Chứng minh BĐT dựa

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng

II Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:

1. Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0+ + + ≥ ≥

2. Chứng minh: (a b c)(a+ + 2+b2+c ) 9abc ; a,b,c 02 ≥ ≥

3. Chứng minh: (1 a 1 b 1 c+ ) ( + ) ( + ) ≥ +(1 3abc với a , b , c )3 ≥ 0

21 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:

a a b c d 4 abcd + + + ≥ 4 với a , b , c , d ≥ 0 (Côsi 4 số)

b. a b c 3 abc + + ≥ 3 với a , b , c ≥ 0 , (Côsi 3 số )

x 2 Định x để y đạt GTLN

x 2 Định x để y đạt GTLN

39 ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2012

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x +y + z = 0 Tìm giá trị nhỏ

III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

1. Chứng minh: (ab + cd)2≤ (a2 + c2)(b2 + d2) BĐT Bunhiacopxki

4

2. Chứng minh: sinx cos x+ ≤ 2

1 ab

II Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:

1. Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 8abc ; a, b, c 0+ + + ≥ ≥

 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm:

⇒a b 2 ab , + ≥ b c 2 bc , + ≥ a c 2 ac+ ≥

⇒(a b b c a c+ ) ( + ) ( + ) ≥8 a b c2 2 2 =8abc

2. Chứng minh: (a b c)(a+ + 2+b2+c ) 9abc ; a,b,c 02 ≥ ≥

 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:

° c3+a3+abc≥(c a ca abc ca a b c+ ) + = ( + + )

 VT≤ab a b c( + +1 ) +bc a b c( + +1 ) +ca a b c( + +1 ) =a b c+ + 1 a b c+ +abc ÷

21 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:

a a b c d 4 abcd + + + ≥ 4 với a , b , c , d ≥ 0 (Côsi 4 số)

214

Vậy: Khi x= 30 1+

2 thì y đạt GTNN bằng

+

30 13

36 Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , −1

2 ≤ x ≤ 5

2 Định x để y đạt GTLN16

3 2

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng

Vậy min P = 3.

III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

18

1. Chứng minh: (ab + cd)2≤ (a2 + c2)(b2 + d2) () BĐT Bunhiacopxki

() ⇔a b2 2+2abcd c d+ 2 2≤a b2 2+a d2 2+c b2 2+c d2 2

⇔a d2 2+c b2 2−2abcd 0 ≥ ⇔(ad cb− )2≥0

2. Chứng minh: sinx cos x+ ≤ 2

 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx :

° sinx cos x+ = 1 sinx 1 cos x+ ≤ (12+12) sin x cos x2 + 2 ) = 2

2 (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)

Cho x, y, z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3≥ x + y + z

Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y = 5

4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểuthức: A = 4+ 1

7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006)

20

Cho 3 số dương a, b, c Ch minh rằng: a b c a b c a b c+ + + + + + + + ≥9

8. (CĐKTYTế1 2006)

Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y ≤ 0; x2 + x = y + 12

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17

9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz



ab bc ca 1Chứng minh: − ≤ ≤4 a 4;− ≤ ≤4 b 4;− ≤ ≤4 c 4

Ch minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: logb c+ a log+ c a+ b log+ a b+ c 1>

16 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)

Ch minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi α > 1 ta luôn có: xα + α – 1 ≥ αx

Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì:

a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c)

24 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

27 (ĐH An Giang khối D 2000)

Cho các số a, b, c ≥ 0 Chứng minh: ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1)

28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)

CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx >

Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì khác

b d.

38 (Đại học 2002 dự bị 6)

Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3

2 Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh

BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B,

+ + + + + ≤

3a 3b 3b 3c 3c 3a 3Khi nào đẳng thức xảy ra?

48 (Đại học khối B 2005 dự bị 2)

Chứng minh rằng nếu 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 thì x y y x− ≤ 1

4.Đẳng thức xảy ra khi nào?

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng

x3 + 1 + 1 ≥ 33 3x ⇒ x3 + 2 ≥ 3x (1)Tương tự: y3 + 1 + 1 ≥ 33y 3 ⇒ y3 + 2 ≥ 3y (2)

z3 + 1 + 1 ≥ 33 3z ⇒ z3 + 2 ≥ 3z (3)Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

3Xét hàm số f(t) = 3t + 3

3(t 1)

t < 0, ∀t ∈ 

 

10;

3Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta suy ra: A ≥ 10 Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1

3Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z = 1

3.Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z =

13

4. (CĐSPHCM khối ABT 2006)

26

1 4y4y5

x y4x,y 0

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng

Đặt f(x) = A = x3 + 3x2 – 9x – 7 với – 4 ≤ x ≤ 3

f′(x) = 3x2 + 6x – 9 ; f′(x) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = – 3

f(–4) = 13, f(–3) = 20, f(1) = –12, f(3) = 20

Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10)

9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Ta có: x + y + z ≥ 33xyz ⇔ xyz ≥ 33xyz ⇔ (xyz)2≥ 27 ⇔ xyz ≥ 3 3

(a b) 2ab 2 cc(a b) ab 1

Ta xem đây là hệ phương trình của a, b và đặt  + =

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y

14 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)

Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương x3, y2 ta có:

Vì vai trò của a, b, c là như nhau, nên ta có thể giả thiết a ≥ b ≥ c Ta được: VT= logb c+ a log+ c a+ b log+ a b+ c log≥ a b+ a log+ a b+ b log+ a b+ c log= a b+ abc

Vì a, b, c ≥ 2 nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b

Do đó VT ≥ loga+babc > loga+b(a + b) = 1

16 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)

30

b 1 3 b.

c 2 2 c;   + ≥ ÷

 

3 2

⇒ 27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ 1

⇔ 27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤ 1

⇔ 4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14

⇔ 3(a2 + b2 + c2) + 4abc ≥ 3(a2 + b2 + c2) + 6(ab + bc + ca) – 14

= 3(a + b +c)2 – 14 = 13Đẳng thức xảy ra ⇔ 3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c ⇔ a = b = c = 1

⇒ x2+2y2 ≥ 1 (x 2y)+

3Viết 2 BĐT tương tự, rồi cộng lại, ta có:

3Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z = 1

⇔ (a + b) [4(a2 + b2 – ab) – (a2 + b2 + 2ab)] ≥ 0

⇔ (a + b)(3a2 + 3b2 – 6ab) ≥ 0 ⇔ (a + b)(a – b)2 ≥ 0

BĐT cuối cùng này đúng, nên BĐT cần chứng minh là đúng

b) (ab + bc + ca)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 + 2(abbc + bcca + caab) ≥

≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c)

24 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

y z z x x yTheo BĐT Bunhiacopxki ta có:

63( 2 3)y

6Vậy min(x + y) = 5 2 6+

6

27 (ĐH An Giang khối D 2000)

Giả sử a ≥ b ≥ 0 ⇒ ac(a – b) ≥ bc(a – b) ⇒ ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1)

28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)

Áp dụng BĐT Côsi cho 6 số dương ta có:

34

n = ∑=n k

n k

k 0

1C

y2 + z2 – y2z – 1 ≤ 0 (4)Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được:

2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 Vậy (1) đúng ⇒ (*) đúng

36

2RDấu “=” xảy ra ⇔ = =a b cx y z= = ⇔∆

x y4

0 x4

⇔ x = 1Lập bảng xét dấu f′(x), suy ra minS = 5

x y4

⇔ + = =

x 4y5

x y4

⇔ = =

x 11y4(3) ⇔  ≤ ÷  + ÷

37 (Đại học 2002 dự bị 5)

xyz = 9t+9

tvới t = ( xyz) 3 2 ⇒ 0 < t ≤ + +  ≤÷

9 ⇒Q(t) giảm trên  

 

 

10;

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 1

3.

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng

40 (Đại học khối A 2003 dự bị 1)

• Tìm max: y = sin5x + 3 cosx ≤ sin4x + 3 cosx (1)

Ta chứng minh: sin4x + 3 cosx ≤ 3 , ∀x ∈ R (2)

⇔ 3 (1 – cosx) – sin4x ≥ 0 ⇔ 3 (1 – cosx) – (1 – cos2x)2 ≥ 0

⇔ (1 – cosx).[ 3 – (1 – cosx)(1 + cosx)2] ≥ 0 (3)

Theo BĐT Côsi ta có:

(1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) = 1

2(2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤

• Tìm min: Ta có y = sin5x + 3 cosx ≥ – sin4x + 3 cosx

Tương tự như trên, ta được miny = – 3 , đạt được khi x = π + k2π

B-C

A 1202

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Ta thấy trong các bất đẳng thức (1), (2), (3) thì dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

x = y = z Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 3

Từ bảng biến thiên, ta có: 0 < h ≤ 4 và h ≠ 1, ∀S thoả (*).

1 43

46