tài liệu ôn thi toán học×phương pháp toán học×tài liệu toán học× lí thuyết toán họccác hàm toán học trong ccông thức toán họcsổ tay toán họcphần mềm toán họcbài tập bất đẳng thức lớp 10 nâng caobài tập về bất đẳng thức lớp 10 nâng cao
Trang 1Chuyên đề 4:
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
BẤT ĐẲNG THỨC
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
* Một số bất đẳng thức cần nhớ:
1 a2 0; ; -
, dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi ab 0
2 Bất đẳng thức Cô - si : a, b 0
dấu " = " xảy ra và chỉ khi a = b
3 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki:
(a.c + b.d)2 (a2 + b2) (c2 + d2), dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi
B CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.
Phương pháp 1: DỰA VÀO ĐỊNH NGHĨA
A B <=> A - B 0
Chú ý các hằng đẳng thức:
* a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 0;
* a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ab + 2ca = (a + b + c)2 0
Bài 1.1: Chứng minh rằng với mọi x, y ta luôn có:
a
b x2 + y2 + 1 xy + x + y;
c x4 + y4 xy3 +x3y
Giải:
a Xét hiệu:
Vậy: Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 2x = y
1
2.
3
4.
5
6
2k+1 2k+2=
1
2.
3
4
2k−1 2k.
2k+1 2k+2≤
1
√3k+1.
2k+1 2k+2
a+b
2 ≥√ab ,
| a|+|b|
| a|≤a≤|a|
| a|≥0
x2+ y2
4 −xy=
4 x2−4 xy+ y2
1
4(2 x− y )
2 ≥0
x2+ y2
4 −xy=
4 x2−4 xy+ y2
1
4(2 x− y )
2 ≥0
x2+y2
4 ≥xy ;
x2+ y2
4 ≥xy
1 2 x2+2 y2+2−2 xy−2 x−2 y)
Trang 2CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
b x2 + y2 + 1 - (xy + x + y) =
0 Vậy: x2 + y2 + 1 xy + x + y
c x4 + y4 - (xy3 + x3y) = x4 - xy3 + (y4 - x3y)
= x (x3 - y3) - y (x3 - y3) = (x3 - y3) (x - y) = (x - y)2 (x2 + xy + y2)
= (x - y)2 0
Vậy: x4 + y4 xy3 + x3y
Bài 1.2: Cho 0 < a b c Chứng minh rằng:
a
b
Giải:
a
= =
Vậy:
b
(Vì a2c abc)
(Vì o < a b c)
2
=1
2[(x − y )2+(y−1 )2+(x−1 )2]
[(x+ y
2)
2
+3 y2
4 ]
a
b+
b
c+
c
a≥
b
a+
c
b+
a c
a
b+
b
c+
c
a−
b
a−
c
b−
a
c=
1
abc(a
2c+b2a+c2b−b2c−c2a−a2b)
c
a+
b
c≥
b
a+
a b
1
abc[(a2c−b2c )+(b2a−a2b )+( c2b−c2a)]
1
abc[c (a2−b2)+ab(b−a )+c2(b−a )]
abc(b−a )(−ca−ab+ab+c
1
abc(b−a )(−ca−cb+ab +c
2
)
1
abc(b−a )(c−b )(c−a)≥0
¿ 1
abc[(c2b−b2c )+(b2a−abc)]= 1
abc[bc(c−b)+ba (b−c )]
¿ 1
abc(c
2b+b2a−b2c−abc )
c
a+
b
c−
b
a−
a
b=
1
abc(c
2b+b2a−b2c−a2c )≥
a
b+
b
c+
c
a≥
b
a+
c
b+
a c
¿ 1
abc b(c−b)( c−a)≥0 c
a+
b
c≥
b
a+ a b
Trang 3Vậy:
Bài 1.3: Cho a < b < c < d Hãy xếp thứ tự tăng dần các số sau:
x = (a + b) (c + d); y = (a + c) (b + d); z = (a + d) (b + c)
Giải:
Xét hiệu: y - x = (a + b) (b + d) - (a + b) (c + d)
= ab + ad + cb + cd - ac - ad - bc - bd
= b (a - d) - c (a - d) = (a - d) (b - c) > 0 (vì a < b < c < d) Suy ra: y > z
Tương tự, xét hiệu: z - y = (a + d) (b + c) - (a + c) (b + d)
= (a - b) (c - d) > 0 Suy ra: z > y
Vậy: x < y < z
Bài 1.4: Cho abc = 1 và a3 > 36 Chứng minh rằng:
Giải
(Vì abc = 1
và a3 > 36 nên a > 0)
Vậy:
Bài 1.5: Cho a > b > 0 So sánh hai số x, y với x =
Giải:
Ta có x,y > 0 và
3
a2
3 +b
2 +c2>ab+bc +ca
ca bc ab c b a a ca bc ab c b
a
2 2 2
2 2
12 4 3
= ( a 42+ b
2
+ c2− ab−ca+2 bc ) + a2
12 −3 bc
=(a2−b−c)2+ 1
12 a(a
3−36)>0
1
x=
1+a+a2
a2
1+a=1+
1
1+a
a2
1
a2+
1
a
> ¿ ¿
a2
3 +b
2
+c2>ab+bc +ca
1+a 1+ a+a2, y= 1+b
1+b+b2
¿ 1+ 1 1
b2 + 1
b
= 1
y
Trang 4(Vì a > b> 0 nên
Vậy: x < y
Phương pháp 2: SỬ DỤNG TÍNH BẮC CẦU:
* A B
=> A C
B C
* 0 x 1 => x2 x (vì x - x2 = x (1 - x) 0)
Bài 2.1: Cho 0 x, y, x 1, Chứng minh rằng:
a 0 x + y + z - xy - yz - zx 1;
b x2 + y2 + z2 1 + x2y + y2z + z2x
Giải:
a Ta có: x + y + z - xy - yz - zx = x (1 - y ) + y (1 - z) + z (1 - x) 0 (1)
Mặt khác: (1 - x) (1 - y) (1 - z) = 1 - x- y - z + xy + yz + zx - xyz 0, Suy ra: x + y + z - xy - yz - zx 1 - xyz 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 0 x + y + z - xy - yz - zx 1
b Ta chứng minh: x2 + y2 + z2 - x2y - y2z - z2x 1
Ta có: x2 + y2 + z2 - x2y- y2z - z2x = x2 (1 - y) + y2 (1 - z) + z2 (1 - x)
x (1 - y) + y (1 - z) + z (1 - x) (vì x2 x, y2 y, z2 z)
x + y +z - xy - yz - zx 1 (câu a)
Bài 2.2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2.
Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + 2abc < 2
Giải:
Nếu a 1 thì từ b + c 1 suy ra a + b + c > 2, vô lý! Vậy 0 < a < 1
Tương tự: 0 < b < 1, 0 < c < 1
Ta có: (1 - a) (1 - b) (1 - c) = 1 - a - b - c + ab + bc + ca - abc > 0, suy ra
abc < ab + bc + ca - 1 (vì a +b + c = 2) (1)
Mà 4 = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca), suy ra:
Từ (1) và (2) suy ra:
abc < 1 -
Bài 2.3: Cho 0 < a, b, c, d < 1 Chứng minh rằng:
4
1
2(a
2
+b2+c2)
1
2(a
2+b2+c2)=>a2+b2+c2+2 abc<2
Trang 5(1 - a) (1 - b) (1 - c) (1 - d) > 1 - a - b - c - d
Giải:
Ta có: (1 - a) (1 - b) = 1 - a - b + ab > 1 - a - b (1)
Vì 1 - c > 0 nên:
(1 - a) (1 - b) (1 - c) > (1 - a - b) (1 - c) (2)
(1 - a - b) (1 - c) = 1 - a - b - c + c (a + b) > 1 - a - b - c (3)
Từ (2) và (3) suy ra: (1 - a) (1 - b) (1 - c) > 1 - a - b - c
Vậy: (1 - a) (1 - b) (1 - c) (1 - d) > (1 - a - b - c) (1 - d) > 1 - a - b - c - d (Vì d (a + b + c) > 0)
Bài 2.4: Cho 0 a, b, c 2 thoả a + b + c = 3 Chứng minh rằng:
a2 + b2 + c2 5
Giải:
Cách 1: Vì a + b + c = 3 nên có ít nhất một trong ba số a, b, c không nhỏ
hơn 1, giả sử a 1
Vì 1 a 2 nên: (a - 1) (a - 2) = a2 - 3a + 2 0 => a (3 - a) 2
Suy ra: ab + bc + ca = a (b + c) + bc = a (3 - a) + bc 2 (1)
Vậy: a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2 (ab + bc + ca)
= 9 - 2 (ab + bc + ca) 5 (theo (1))
Cách 2: Vì a, b, c 2 nên:
(2 - a) (2 - b) (2 - c) = 8 - 4 (a + b + c) + 2 (ab + bc + ca) - abc 0
Suy ra: - 4 + 2 (ab + bc + ca) - abc 0 => ab + bc + ca 2+
Vậy: a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2 (ab + bc + ca) 9 - 4 = 5
Bài 2.5: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 1
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + 4abc <
Giải:
Áp dụng công thức Hê - rông, diện tích tam giác:
Do đó: S2 =
16S2 = (1 - 2a) (1 - 2b) (1 - 2c) = 1 - 2a - 2b - 2c + 4ab + 4bc + 4ca - 8abc
abc
2 ≥2
1 2
1 2
1 2
√ p( p−a)( p−b)( p−c),
1
2(12−a)(12−b)(12−c)
Trang 6= - 1 + 4 (ab + bc + ca) - 8abc > 0 Suy ra: 4abc + < 2ab + 2bc + 2ca
Mà: 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) = 1 - (a2 + b2 + c2)
Nên: 4abc + < 1 - a2 - b2 - c2 => a2 + b2 + c2 + 4abc <
Phương pháp 3: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh đúng
Bài 3.1: a Với a,b, c > 0 Chứng minh:
b Cho a c > 0, b c Chứng minh:
Giải:
a
<=> a2 +b2 + c2 2 (bc + ac - ba) (Vì abc > 0)
<=> a2 + b2 + c2 - 2bc - 2ac + 2ab 0
<=> (a + b - c)2 0 (hiển nhiên đúng)
Vậy:
b
<=> c (a - c) + c (b - c) + 2c
<=> c2 - 2c
<=> (c - ( hiển nhiên đúng)
Vậy:
Bài 3.2: Cho biểu thức:
Chứng minh rằng 0 < P < với mọi x 1
Giải:
Ta có: x4 - x3 + x - 1 = x3 (x - 1) + (x -1) = (x - 1) (x3 +1)
6
1 2
a
bc+
b
ca+
c
ab≥2(1a+
1
b−
1
c)
1 2
1 2
√ c(a−c)+ √ c(b−c)≤ √ ab
a
bc+
b
ca+
c
ab≥2(1a+
1
b−
1
c)
a
b
c
1
1
√c(a−c)+√c(b−c)≤√ab<=>(√c(a−c)+√c(b−c))2≤ab
√ ( a−c)(b−c )≤ab
√ c(a−c)+ √ c(b−c)≤ √ ab
√(a−c)(b−c ))2≥0
√ ( a−c)(b−c )+(a−c)(b−c)≥0
x4 −x3 +x−1+
1
x5 −x4 +x3 −x2 +x−1
32 9
Trang 7= (x - 1) (x + 1) (x2 - x + 1)
x4 + x3 - x - 1 = x3 (x+ 1) - (x + 1) = (x + 1) (x3 - 1)
= (x + 1)( x - 1)(x2 + x + 1)
x5 - x4 + x3 - x2 + x - 1 = (x - 1)(x4 + x2 + 1)
= ( x -1) (x2 +1)2 - x2) = (x -1)(x2 + x + 1)(x2 - x + 1)
Rõ ràng P > 0
<=> 16x4 + 16x2 + 7 > 0 (luôn luôn đúng)
Vậy: 0 <
Bài 3.3: Cho x > y và xy = 1 Chứng minh rằng:
Giải:
Ta có: x2 + y2 = (x - y)2 + 2xy = (x - y)2 + 2, suy ra:
(x2 + y2)2 = (x - y)4 + 4 (x -y)2 + 4
Do đó:
<=> (x - y)4 - 4 (x - y)2 + 4 0 <=> (x - y- 2)2 0 (luôn đúng) Vậy:
Phương pháp 4: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ.
* x2 + y2 2 /xy/ * xxy/xy/ * x * x2 + y2 2xy
* ( x + y)2 4xy * x + , với x > 0
* *
Bài 4.1: Cho a, b, c 0 và a + b + c = 1 Chứng minh rằng:
a + 2b + c 4 (1 - a) (1 - b) (1 - c)
Giải:
=3( x2+x +1)−( x2−x +1 )−4 ( x+1)
(x2−1)( x4+x2+1) =
2( x2−1) (x2−1 )( x4+x2+ 1)=
2
x4+x2+1
(x−1 )( x+1 )( x2−x+1)−
1 (x−1 )(x+1 )(x2+x+1 )−
4 (x−1)( x2−x+1 )(x2+x+1 )
P<32
9
P<32
2
x4+x2+1<
32
9 ⇔9<16( x
4 +x2 +1 )
(x2+y2)2 (x− y )2 ≥8
(x2+y2)2 (x− y )2 ≥8 ⇔(x − y )
4 +4 ( x− y )2+4≥8( x− y )2
(x2+y2)2 (x− y )2 ≥8
1
xy≥
4 (x + y )2(x , y>0)
1
x+
1
y≥
4
x+ y(x , y>0)
1
x≥2
Trang 8Áp dụng bất đẳng thức: 4xy (x + y)2, ta có:
4 (1 - a) (1 - b) (1 - c) = 4(b + c) (1 - c) (1 - b) (1 + b)2 (1 - b)
(1 + b) (1 - b2)
(1 + b = a + 2b + c Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = , b = 0, c =
Bài 4.2: Cho x, y > 0 và x + y - z = 1 Chứng minh rằng: x + y 16xyz.
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức: 4xy (x + y)2, ta có:
16xyz 4z (x + y)2 (1)
Ta chứng minh: 4z (x + y)2 x + y <=> 4z ( x + y) 1 <=> 4z (1 + z) 1
<=> 4z2 + 4z + 1 0 <=> (2z + 1)2 0
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
Bài 4.3: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
Giải:
(3)
Cộng (1), (2), (3) ta được điều phải chứng minh
Bài 4.4: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng
Giải:
Cách 1
Ta có: (a + b + c)
8
1 2
1 2
1 1
a+
1
b
+ 1 1
b+
1
c
+ 1 1
c+
1
a
≤a+b+c
2
ab a+b≤
1
4(a+b )=>
1 1
a+
1
b
≤ 1
4(a+b ) 1
1
b+
1
c
≤ 1
4(b+c )
1
a+
1
b+
1
c≥
9
a+b+ c
1 1
c+
1
a
≤ 1
4(c+a)
(1a+
1
b+
1
c)= 1+a
b+
a
c+
b
a+1+
b
c+
c
a+
c
b+1
b
c+
c
b≥2;
a
c+
c
a≥2;
a
b+
b
a≥2;
=3+(a b+
b
a)+(a c+
c
a)+(b c+
c
b)≥9
Trang 9(Vì
Suy ra:
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô - si:
a + b + c 3
Suy ra: ( a + b + c)
Bài 4.5: Hai số dương a, b thoả mãn ab > a + b Chứng minh rằng a + b > 4
Giải:
Từ ab > a + b => a > 1 + và b > 1 + suy ra
a + b > 2 + (vì B
ài 4.6 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi 2p
Chứng minh rằng:
Do đó:
Suy ra:
Bài 4.7: Cho 4 số dương a, b, c, d Chứng minh rằng:
Giải:
1
a+
1
b+
1
c≥
9
a+b+ c
3
√ abc
1
a+
1
b+
1
c≥ 33√ abc 1
(1a+
1
b+
1
c)≥9⇒1
a+
1
b+
1
c≥
9
a+b+c b
a
1
p−a+
1
p−b+
1
p−c≥2(1a+
1
b+
1
c)
a b
( a b +
b
a ) ≥2)
( a b +
b
a ) ≥ 4⇒
1
x+
1
y≥
4
x+ y(x , y>0);
1
p−a+
1
p−b≥
4
2 p−a−b=
4
c ;
1
p−c+
1
p−a≥
4
b.
2(p−a1 +
1
1
1
1
1
p−b+
1
p−c≥
4
a ;
1
p−a+
1
p−b+
1
p−c≥2(1a+
1
b+
1
c).
Trang 10Áp dụng bất đẳng thức: , ta có:
(1) (2) Lấy (1) cộng (2) vế theo vế ta được:
Ta chứng minh:
(3) Thật vậy:
(3) <=> 4 (a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) 2 (a + b + c + d)2
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 + 2d2 - 4ac - 4bd 0
<=> (a - c)2 + (b - d)2 0 (đpcm)
Bài 4.8 Cho hai số dương a, b và a + b = 1 Chứng minh rằng:
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức: 4ab (a + b)2, ta có:
Áp dụng bất đẳng thức:
với x, y > 0, ta có:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b =
Bài 4.9 Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng:
Giải:
Ta có:
=
Áp dụng bất đẳng thức: , ta có:
10
a
b+c+
b
c +d=
c
d +a+
d a+b≥4
a2+b2+c2+d2+ad +bc +ab+ cd
(a+b+ c+ d )2
a
b+c+
c
d +a=
a(d +a )+c (b+c )
(b+c )(d +a ) ≥4
a2+c2+ad +bc
(a+b +c +d )2 b
c+d+
d a+b=
b (a+b )+d (c +d )
(c +d )(a+b ) ≥4
b2+d2+ab+cd
(a+b+c +d )2
4( a2+b2+c2+d2+ad +bc +ab +cd )
(a+b+c +d )2 ≥2
1
ab+
1
a2+b2≥6
ab≤1
4 ⇒
1
ab≥4
a+b
b+d
c+ a
d+ b
c +a
d +b
a+b a+b+
b+d b+c+
c+a c+d+
d+b d+a≥4
1 2
1
x+
1
y≥
4
x+ y
a+c a+b+
b+d b+ c+
c+ a c+ d+
d+ b d+ a=(a+c a+b+
c +a c+ d)+(b+d b+c +
d +b
d +a)
(a+c )(a+b+c+d )
(a+b)( c+d ) +
(b+d )+(a+b +c +d )
(b+c )(d +a )
1 2
1
ab+
1
a2+b2=
1
2 ab+(2 ab1 +
1
a2+b2)≥2+ 4
(a+b )2=6
(a+c )(a+b+c+d )
(a+b)( c+d ) +
(b+d )+(a+b +c +d )
(b+c )(d +a ) ≥
1
xy≥
4 (x + y )2
¿4( a+c )( a+b+c +d )
(a+b+c +d )2 +4 (b+d ).( a+b+c+d )
(a+b+c +d )2 =4
Trang 11Phương pháp 5: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG.
Bài 5.1: Cho 3 số dương a, b, c nhỏ hơn 2 Chứng minh rằng có ít nhất
một
trong các bất đẳng thức sau là sai:
a(2 - a) > 1 ; b(2 - b) > 1 ; c( 2 - c) > 1
Giải:
Giả sử các bất đẳng thức đều đúng, nhân ba bất đẳng thức lại ta được:
Mà 0 < a (2 - a) = 2a - a2 = 1 - (a - 1)2 1 Tương tự: 0< b(2 - b) 1
0 < c(2 - c) 1, suy ra:
abc (2 - a) (2 - b) (2 - c) 1 Mâu thuẫn với (1) Vậy có ít nhất một trong các bất đẳng thức đã cho là sai:
Bài 5.2: Cho 6 số tự nhiên khác 0 nhỏ hơn 108 Chứng minh rằng có thể
chọn được ba trong 6 số đó chẳng hạn a, b, c sao cho a < bc, b < ca, c < ab
Giải:
Giả sử 6 số tự nhiên khác 0 là 1 a1 < a2< < a6 < 108 Rõ ràng a2 2,
a3 3 Với 3 số x, y, z thoả mãn 1 x < y < z ta luôn có x < yz và y < zx Nếu trong các số a1, a2, , a6 không có 3 số a, b, c nào thoả mãn a < b < c
và c < ab thì ta có: a4 a2a3 = 6, a5 a4a3 6.3 = 18, a6 a5a4 18.6 =
108,
trái với giả thiết a6 < 108 Vậy phải có 3 số a, b, c thoả a < bc, b < ca, c < ab
Bài 5.3: Cho x, y,z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng nếu x + y + z >
thì có một và chỉ một trong ba số x, y, z lớn hơn 1
Giải:
Ta có (x - 1) (y - 1) (z -1) = xyz - xy - yz - zx + x + y + z - 1
= x + y + z - (vì xyz = 1) Suy ra: (x - 1) (y - 1) (z - 1) > 0
1
x+
1
y+
1
z
1
x+
1
y+
1
z
1
x−
1
y−
1
z
Trang 12Trong ba số x - 1, y - 1, z - 1 có một và chỉ một số dương Thật vậy, nếu cả
3 số đều dương thì x, y, z > 1 Khi đó xyz > 1, vô lý! Vậy chỉ có một và chỉ một trong ba số x, y, z lớn hơn 1
Bài 5.4: Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng không thể đồng thời xảy ra
các bất đẳng thức sau:
a + b < c + d ; (a + b) (c + d) < ab + cd ; (a + b) cd < (c + d) ab
Giải:
Giả sử xảy ra đồng thời các bất đẳng thức trên Từ hai bất đẳng thức đầu ta có: (a + b)2 < (a + b) (c + d) < ab +cd => cd > (a + b)2 - ab 3ab
=> cd > 3ab (1) Mặt khác, ta có:
(a + b) cd < (c + d) ab => (a + b)2 cd < (c + d) ab (a + b) < ab (ab + cd)
=> 4abcd (a + b)2 cd < ab (ab + cd) = a2b2 +abcd => a2b2 > 3abcd => ab > 3cd (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ab >3cd > 9ab, vô lý! Vậy ta có điều phải chứng minh
Phương pháp 6: PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI.
a, b > 0 và thì
Bài 6.1: Cho 3 số dương a,b, c Chứng minh rằng: 1 <
Giải:
Vì nên
Tương tự:
Cộng các bất đẳng thức trên lại ta được điều phải chứng minh
Bài 6.2: Cho a, b, c, d là các số dương Chứng minh rằng:
12
a
b<
a+c b+c
a
b<1
a a+b+
b b+c+
c
c +a<2 a
a+b+c<
a a+b<
a+c a+b +c
a a+b<1
b a+b+c<
b b+c<
b+a a+b+c ;
b+ c a+b+ c+ d<
b+c b+c +d <
b+c +a a+b+ c+ d ;
a+b a+b+c +
b+c b+c+d +
c+d c+d+a +
d+a
d +a+b
c a+b+c <
c c+a <
c+b a+b+c .
a+b a+b+c <1
a+b a+b+c+d <
a+b a+b+c <
a+b+d a+b+c+d .
Trang 13Vì nên
Tương tự:
Cộng lại ta được 2 < A < 3, suy ra A không thể là số nguyên
Bài 6.3: Với n nguyên dương lớn hơn 1 Chứng minh rằng:
Giải:
a Với k > 1 ta có: Do đó:
Suy ra:
Bài 6.4: Cho dãy số a1 = 1, a2= Chứng minh rằng:
Với mọi n > 1
Giải:
Với k 2 ta có:
(vì ak > ak - 1) => ( vì ak - ak - 1 = )
Do đó:
13
1
12+
1
22+ +
1
n2<2−
1
n ;
d +a a+b+c+d <
d+a d+a+b <
d +a+c a+b+c+d .
1
12+
1
22+
1
32+
1
n2<1+(1−1
2)+(12−
1
3)+ +(n−11 −
1
n)<2−1
n
1
k2<
1
k(k−1) =
1
k−1 −
1
k
1
12+
1
22+ +
1
n2<
5
3;
1
k2=
4
4 k2<
4
4k2−1 =
4 ( 2k−1)(2k+1)
1
k2<2 ( 2 k−1 1 −
1
2 k +1 )
1
12+
1
22+
1
n2<1+2(31−
1
5)+2(51−
1
7)+ +
1
2, ., a n=1+1
2+ +
1
n.
¿ 1+2
3=
5
3.
+2(2 n−11 −
1
2 n+1)=1+2(13−
1
2 n+1)
1
a2+
1
2a2+ +
1
na 2<1+(a1−
1
a )+(a1 −
1
a )+ +(a1 −
1
a )=
1
k
1
ka k 2<
1
a k −1−
1
a k
1
ka k 2<
1
ka k −i a k
1
a22 + 1
2a22 + .+ 1
na n 2< 2
( 1 1)=2− 1 .<2