Xấp xỉ nghiệm của bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được ánh xạ gần không giãn

Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn.. Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được ánh xạ gần khô

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS TRƯƠNG MINH TUYÊN

THÁI NGUYÊN-2015

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong khoa Toán - Tin, trườngĐại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên nói chung và các thầy cô ở bộ mônToán ứng dụng nói riêng đã giảng dạy và dìu dắt tác giả trong suốt thời gianqua Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS.Trương Minh Tuyên, thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ tác giảtrong suốt quá trình làm luận văn

Cuối cùng tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp đãtận tình giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Học viên

Nguyễn Thị Thu

Mục lục

1.1 Không gian Hilbert và một số đặc trưng 4

1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển 8

1.3 Một số phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển 11

1.3.1 Phương pháp gradient 13

1.3.2 Phương pháp gradient tăng cường 13

1.4 Một số bổ đề bổ trợ 15

2 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ gần không giãn 17 2.1 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn 17

2.2 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được ánh xạ gần không giãn 25

Một số ký hiệu và viết tắt

h., i tích vô hướng trong không gian Hilbert Hk.k chuẩn trên không gian Hilbert H

xn * x0 dãy {xn} hội tụ yếu về x0

Fix(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T

5 f gradient của phiếm hàm khả vi f

Mở đầu

Bài toán "Bất đẳng thức biến phân" được nảy sinh trong quá trình nghiêncứu và giải các bài toán thực tế như bài toán cân bằng trong kinh tế, tài chính,bài toán mạng giao thông, lý thuyết trò chơi, phương trình vật lý toán Bàitoán này được giới thiệu lần đầu tiên bởi Hartman và Stampacchia vào năm

1966 trong tài liệu [8] Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữuhạn chiều, cũng như vô hạn chiều cùng với các ứng dụng của nó được giới thiệukhá chi tiết trong cuốn sách "An Introduction to Variational Inequalities andTheir Applications" của Kinderlehrer D và Stampacchia G xuất bản năm 1980[10]

Từ đó, bài toán bất đẳng thức biên phân được nghiên cứu và phát triển mạnh

mẽ, thu hút sự được sự quan tâm của nhiều người làm toán trong và ngoài nước.Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bài toán bất đẳng thức biếnphân là việc xây dựng các phương pháp giải Có nhiều phương pháp giải đã được

đề xuất như phương pháp gradient, gradient tăng cường hay phương pháp điểmbất động

Một trường hợp đặc biệt của bài toán bất đẳng thức biến phân là bài toán

có dạng: Tìm một phần tử x∗ ∈ C = ∩N

i=1Ci, sao cho

hF (x∗), x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C,trong đó F là một ánh xạ liên tục từ không gian Hilbert H vào chính nó, Ci,

i = 1, 2, , N là các tập con lồi và đóng trong H Bài toán này có ý nghĩa quantrọng trong việc giải bài toán tối ưu lồi có ràng buộc và một trường hợp đặc biệt

là bài toán chấp nhận lồi nổi tiếng Ta xem mỗi tập Ci là tập điểm bất độngcủa phép chiếu mêtric PCi từ H lên Ci, do đó bài toán trên có thể xem như bàitoán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữuhạn ánh xạ không giãn Ngoài ra, nó cũng đã được nghiên cứu và mở rộng thànhbài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vôhạn đếm được hay không đếm được ánh xạ không giãn.

Mục đích của luận văn là giới thiệu một số kết quả về bài toán tìm nghiệmcủa bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạnánh xạ không giãn hay vô hạn đếm được ánh xạ gần không giãn trong khônggian Hilbert H

Luận văn bao gồm 2 chương: Chương 1 nhắc lại một số tính chất đặc trưngcủa không gian Hilbert, bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển, cùng với một

số bài toán liên quan và một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biếnphân Chương 2 trình bày lại kết quả của các tác giả Buong N và Duong L T.[4] dựa trên phương pháp lặp Mann và phương pháp đường dốc cho bài toán bấtđẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạkhông giãn và các kết quả nghiên cứu của Sahu D R., Kang S M và Sagar V.[17] cho bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung củamột họ vô hạn đếm được ánh xạ gần không giãn trong không gian Hilbert thực

H Bên cạnh đó, trong chương này một số ví dụ đơn giản cũng được đề cậpnhằm minh họa thêm cho các phương pháp

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này bao gồm 4 mục Mục 1.1 trình bày về một số tính chất đặc trưngcủa không gian Hilbert thực Mục 1.2 giới thiệu về bài toán bất đẳng thức biếnphân cổ điểm trong không gian hữu hạn chiều, cùng với một số bài toán liênquan Mục 1.3 trình bày một số phương pháp cơ bản cho bài toán bất đẳng thứcbiến phân như phương pháp gradient hay gradient tăng cường Mục 1.4 đề cậpđến một số bổ đề quan trọng thường xuyên dùng đến trong chứng minh các kếtquả ở chương sau

Trong luận văn chúng tôi luôn giả thiết rằng H là không gian Hilbert thựcvới tích vô hướng được ký hiệu h., i và chuẩn được xác định bởi: kxk =phx, xivới mọi x ∈ H

Trong mục này chúng tôi đề cập đến một số vấn đề cơ bản về hội tụ mạnh, hội

tụ yếu, tập lồi, tập đóng, tập compact,

Định nghĩa 1.1 Cho H là một không gian Hilbert Dãy {xn} được gọi là hội

tụ mạnh tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn → x, nếu ||xn− x|| → 0 khi n → ∞

Định nghĩa 1.2 Dãy {xn} trong không gian Hilbert H được gọi là hội tụ yếutới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn * x, nếu hxn, yi → hx, yi khi n → ∞ với mọi

a) tập lồi nếu λx + (1 − λ)y ∈ C với mọi x, y ∈ C và mọi λ ∈ [0, 1];

b) tập đóng nếu mọi dãy {xn} ⊂ C thỏa mãn xn → x khi n → ∞, ta đều có

e) tập compact tương đối nếu mọi dãy {xn} ⊂ C đều có một dãy con hội tụ;

f) tập compact yếu nếu mọi dãy {xn} ⊂ C đều có một dãy con hội tụ yếu vềmột phần tử thuộc C;

g) tập compact tương đối yếu nếu mọi dãy {xn} ⊂ C đều có một dãy con hội

Mệnh đề 1.1 [1] Trong không gian Hilbert H, mọi tập lồi, đóng và bị chặn đều

Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf

u∈Ckx − uk Khi đó, tồn tại {un} ⊂ C sao cho

n→∞un ∈ C Do chuẩn là hàm số liên tục nên kx − uk = d Giả sử tồn tại v ∈ Csao cho kx − vk = d Ta có

Mệnh đề 1.3 Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert

H Cho PC : H −→ C là một ánh xạ Khi đó, các phát biểu sau là tương đương:a) PC là phép chiếu mêtric từ H lên C;

b) hy − PCx, x − PCxi ≤ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C;

Chứng minh Thật vậy, giả sử PC là phép chiếu mêtric từ H lên C, tức là

kx − PCxk = infu∈Ckx − uk Với mọi x ∈ H, y ∈ C và với mọi α ∈ (0, 1), đặt

yα = αy + (1 − α)PCx Vì C lồi nên yα ∈ C và do đó

Do đó, kx − PCxk = infu∈Ckx − uk, hay PC là phép chiếu mêtric từ H lên C

Ví dụ 1.1 Cho C = {x ∈ H : hx, ui = y}, với u 6= 0 Khi đó

PCx = x + y − hx, ui

kuk2 u.

Ví dụ 1.2 Cho C = {x ∈ H : kx − ak ≤ R}, trong đó a ∈ H là một phần tửcho trước và R là một số dương Khi đó, ta có:

Trong mục này, chúng tôi đề cập đến bài toán bất đẳng thức biến phân trênkhông gian hữu hạn chiều Rn và một số bài toán liên quan

Cho C là một tập con lồi và đóng của Rn và F : C −→ Rn là một ánh xạliên tục Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển của ánh xạ đơn trị được phátbiểu như sau:

Tìm x∗ ∈ C sao cho

hF (x∗), x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C (1.1)Tập hợp những điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (1.1) được gọi là tập nghiệm của bàitoán và ký hiệu là V I(F, C)

Sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.1) được cho bởi định lý dưới đây:

Định lí 1.1 Cho C là một tập lồi và compact trong Rn và F : C −→ Rn làmột ánh xạ liên tục Khi đó, bài toán (1.1) có ít nhất một nghiệm

Chứng minh Đặt PC là phép chiếu mêtric từ Rn lên C Khi đó, PC(I − γF )

là một ánh xạ liên tục từ C vào chính nó, với I là ánh xạ đồng nhất trên Rn

và γ > 0 Theo nguyên lý điểm bất động Brouwer, tồn tại x∗ ∈ C sao cho

PC(x∗ − γF (x∗)) = x∗ Theo Mệnh đề 1.3, hF (x∗), x − x∗i ≥ 0 với mọi x ∈ Chay x∗ là nghiệm của bài toán (1.1)

Bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1) có mối quan hệ mật thiết với một số

bài toán khác như là: Hệ phương trình, bài toán tối ưu, bài toán bù và bài toánđiểm bất động.

Hệ phương trình

Nhiều vấn đề cân bằng kinh tế cổ điển đã được mô hình như một hệ phươngtrình, vì điều kiện thanh toán bù trừ thị trường, nhất thiết phải có sự cân bằnggiữa cung và cầu Bài toán bất đẳng thức biến phân có thể xem như một hệphương trình thông qua mệnh đề dưới đây:

Bài toán tối ưu

Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng của Rn và f : C −→ R là một phiếmhàm lồi trên C Xét bài toán sau:

Chứng minh Giả sử x∗ là nghiệm của Bài toán (1.2) Đặt ϕ(t) = f (x∗+t(x−x∗))với t ∈ [0, 1] Khi đó, ϕ đạt cực tiểu tại t = 0, do đó 0 ≤ ϕ0(0) = h5f (x∗), x−x∗i,hay x∗ là nghiệm của Bài toán (1.1), với F (x) = 5f (x).

Ngược lại, giả sử x∗ là nghiệm của Bài toán (1.1), với F (x) = 5f (x) Vì f làhàm lồi, nên

f (x) ≥ f (x∗) + h5f (x∗), x − x∗i,với mọi x ∈ C Từ đó suy ra f (x) ≥ f (x∗) với mọi x ∈ C, hay x∗ là nghiệm củaBài toán (1.2)

Bài toán bù

Cho F : Rn −→ Rn

là một ánh xạ Bài toán bù phi tuyến trên Rn+ là một

hệ bao gồm các phương trình và bất phương trình có dạng sau:

Tìm x∗ ≥ 0 sao cho:

F (x∗) ≥ 0 và hF (x∗), x∗i = 0 (1.3)Khi F là một ánh xạ affine, tức là F (x) = M x + b, với M là ma trận cỡ n × n

và b là véc tơ cỡ n × 1, thì (1.3) được gọi là bài toán bù tuyến tính

Mối quan hệ giữa bài toán bù và bài toán bất đẳng thức biến phân được chobởi mệnh đề dưới đây:

Mệnh đề 1.6 Bài toán V I(F, Rn+) và Bài toán (1.3) có cùng tập nghiệm

Chứng minh Giả sử x∗ là nghiệm của V I(F, Rn+), tức là

Trong (1.4), lần lượt thay x bởi 2x∗ và 0, ta nhận được

hF (x∗), x∗i ≥ 0, hF (x∗), −x∗i ≥ 0 (1.5)Suy ra hF (x∗), x∗i = 0 Do đó x∗ là một nghiệm của Bài toán (1.3)

Ngược lại, giả sử x∗ là nghiệm của Bài toán (1.3) Vì x ∈ Rn+ nên

hF (x∗), x − x∗i = hF (x∗), xi − hF (x∗), x∗i ≥ 0,hay x∗ là nghiệm của bài toán V I(F, Rn+)

Bài toán điểm bất động

Mệnh đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài toán điểm bất động với bấtđẳng thức biến phân cổ điển

Mệnh đề 1.7 Phần tử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.1) khi và chỉ khi x∗

là điểm bất động của ánh xạ PC(I − γF ), với mọi γ > 0 và I là ánh xạ đồngnhất trên Rn

Chứng minh Suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 1.3

biến phân cổ điển

Trong mục trên chúng ta vừa trình bày sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thứcbiến phân cổ điển trong không gian Rn Các kết quả trên đã được nghiên cứu

và mở rộng trong không gian Hilbert Dưới đây, chúng tôi sẽ trình bày một sốphương pháp tìm nghiệm cho bài toán bất đảng thức biến phân trong khônggian Hilbert

Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert H và

F : C −→ H là một ánh xạ Xét bài toán sau:

Tìm x∗ ∈ C sao cho:

hF (x∗), x − x∗i ≥ 0 với mọi x ∈ C (1.6)

Trước hết chúng ta nhắc lại một số khái niệm sau.

Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập lồi đóng khác rỗng của H

• Ánh xạ F được gọi là α−đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại một hằng số

α > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:

hF (x) − F (y), x − yi ≥ αkx − yk2

• Ánh xạ F được gọi là α-ngược đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại mộthằng số α > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:

hF (x) − F (y), x − yi ≥ αkF (x) − F (y)k2

• Ánh xạ F được gọi là h-liên tục trên C nếu F (x + ty) * F (x) khi t −→ 0+

sao cho với mọi x, y ∈ C

• Ánh xạ F được gọi là L-liên tục Lipschitz trên C, nếu tồn tại một hằng số

L > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:

kF (x) − F (y)k ≤ Lkx − yk

Nếu L = 1 thì ánh xạ F là một ánh xạ không giãn trên C, tức ánh xạ F thỏamãn

kF (x) − F (y) ≤ kx − yk

với mọi x, y ∈ C.

Dễ dàng thấy rằng, nếu ánh xạ F là α-ngược đơn điệu mạnh thì ánh xạ F làmột ánh xạ đơn điệu và liên tục Lipschitz Sau đây là một số phương pháp tìmnghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1) trong không gian Hilbert

1.3.1 Phương pháp gradient

Từ Mệnh đề 1.3, tương tự như Mệnh đề 1.7, ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.8 Phần tử x∗ ∈ C là nghiệm của bất đẳng thức biến phân cổ điển(1.6) nếu và chỉ nếu

ở đây λ > 0 là một hằng số

Dựa vào kết quả này, khi F là ánh xạ đơn điệu mạnh và Lipschitz, năm 1967Lions J L và Stampacchia G [12] đã đề xuất phương pháp gradient, để xácđịnh nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.6) Với phương pháp lặpđược xác định như sau:

1.3.2 Phương pháp gradient tăng cường

Như đã biết, phương pháp gradient chỉ cho sự hội tụ mạnh khi ánh xạ Fđơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz Một số nhà toán học đã áp dụng mở rộng

phương pháp gradient tăng cường, được đề xuất bởi Korpelevich G M [11], đểtìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.6) và đã chứng minh đượccác phương pháp này hội tụ mạnh khi ánh xạ F chỉ có tính chất đơn điệu, thậmchí là giả đơn điệu (xem[15], [16]) Với phương pháp này dãy lặp {xn} được xácđịnh theo công thức sau:

x0 = x ∈ C,

yn = PC(xn− λF (xn)),

xn+1 = PC(xn− λF (yn)), n = 0, 1, 2

(1.10)

trong đó λ ∈ (0, 1/L) với L là hằng số liên tục Lipschitz của ánh xạ F và họ

đã chứng minh được sự hội tụ mạnh của các dãy lặp {xn} và {yn} xác định bởi(2.2) tới nghiệm x∗ của bài toán (1.6)

Năm 2006, cải tiến phương pháp gradient tăng cường, Nadezhkina N và hashi W [14] đã đề xuất một phương pháp mới để tìm nghiệm chung cho bấtđẳng thức biến phân cổ điển và bài toán tìm điểm bất động của một ánh xạkhông giãn trong không gian Hilbert Kết quả đó được trình bày trong định lýsau

Taka-Định lí 1.2 [14] Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert

H, F : C −→ H là một ánh xạ đơn điệu và L-liên tục Lipschitz trên C Giả sử

T : C −→ C là một ánh xạ không giãn, sao cho F ix(T ) ∩ V I(F, C) 6= ∅ Với x0tùy ý thuộc C, các dãy lặp {xn} và {yn} xác định bởi:

x0 = x ∈ C,

yn = PC(xn − λnF (xn)),

xn+1 = αnxn+ (1 − αn)T PC(xn− λnF (yn)), n = 0, 1, 2

(1.11)

trong đó, λn ⊂ [a, b], với a, b ∈ (0, 1/L) và {αn} ⊂ [c, d], với c, d ∈ (0, 1) Khi

đó, các dãy lặp {xn} và {yn} hội tụ yếu tới x∗ ∈ F ix(T ) ∩ V I(F, C), với

x∗ = lim

n→∞PF ix(T )∩V I(F,C)(xn)

Cùng với kết quả của Nadezhkina N và Takahashi W., năm 2006 Zeng L C vàYao J C [5] cũng có một kết quả khác Kết quả đó được trình bày trong định

lý sau

Định lí 1.3 [5] Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert

H, F : C −→ H là một ánh xạ đơn điệu và L-liên tục Lipschitz trên C Giả sử

T : C −→ C là một ánh xạ không giãn sao cho F ix(T ) ∩ V I(F, C) 6= ∅ Với x0tùy ý thuộc C, các dãy lặp {xn} và {yn} xác định bởi

ii) k(1 − t)x + tyk2 = (1 − t)kxk2+ tkyk2− t(1 − t)kx − yk2,

với mỗi t ∈ [0, 1]

Bổ đề 1.2 [2] kTλx − Tλyk ≤ (1 − λτ )kx − yk, với λ ∈ (0, 1) và µ ∈ (0,L2η2),trong đó τ = 1 −p1 − µ(2η − µL2) ∈ (0, 1) và Tλx = (I − λµF )x, ∀x ∈ H

Bổ đề 1.3 [13] Cho {xn}n∈N và {zn}n∈N là các dãy bị chặn trong không gianBanach E sao cho xn+1 = (1 − βk)xn+ βnzn, với βn ∈ [0, 1], n ≥ 0 và thỏa mãnđiều kiện

Khi đó {an} hội tụ đến 0 khi n −→ ∞

Bổ đề 1.5 [7] Cho T là một ánh xạ không giãn trên tập con lồi đóng C củakhông gian Hilbert H Nếu T có ít nhất một điểm bất động thì I −T là demi-đóng

xạ không giãn Mục 2.2 của chương này trình bày kết quả của các tác giả SahuD.R., Kang S M., Sagar V trong tài liệu [17] cho bài toán tìm nghiệm của bấtđẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm đượcánh xạ gần không giãn Ngoài ra, chúng tôi cũng trình bày một số ví dụ cùngvới thử nghiệm chạy số trên phần mềm Matlab nhằm minh họa thêm cho cácphương pháp.

chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn

Cho H là một không gian Hilbert, F : H −→ H là một ánh xạ đơn điệumạnh và liên tục Lipschitz Giả {Ti}N

i=1 là một họ hữu hạn các ánh xạ khônggiãn trên H sao cho F = ∩Ni=1F ix(Ti) 6= ∅ Xét bài toán: Tìm p∗ ∈ F sao cho

hF (p∗), p − p∗i ≥ 0 ∀p ∈ F (2.1)